Безотказность как характеристика надежности линий

 

Безотказность – называют свойство линий работать безотказно в течение определенного периода времени. Обычно за этот период принимается время между двумя плановыми ремонтами. Как правило, это от 3 до 5 лет.

Отказом называется событие, в результате которого, линия из работоспособного состояния переходит в неработоспособное. Причины отказов могут проявляться мгновенно, а могут накапливаться долгое время (износ, старение и т.п.).

И в том и другом случаях причины отказов носят случайный характер, поэтому отказ считается случайным событием. Отсюда следует, что все показатели надежности линии оцениваются на основе теории вероятности случайного события. Согласно этой теории случайным называется элементарное событие, которое может произойти на интервале «0-t», но заранее неизвестно в какой именно момент.

Автоматические линии относятся к сложным системам машин, эксплуатация которых длится многие годы (10 лет и более). Поэтому для линий надежность наиболее объективно характеризовать функциями распределения. При оценке и анализе безотказности линий применяются три функции распределения: функция распределения вероятности отказа, функция надежности (распределение вероятности безотказной работы) и функция плотности распределения вероятности отказа.

Функция распределения вероятности отказа (в дальнейшем – функция отказа) есть вероятность t_р меньше или равна t. Полная запись функции отказа имеет вид

 

F(t)= P (0£ t_р£ t),                                    (2.17),

где t_р –время работы линии до очередного отказа;

  t – текущее время, которое может принимать любые значения,   кроме     бесконечности.

Если t_р =t  и t=0, то это значит что линия вышла из строя в момент ее включения в работу. Если t_р =t и t есть межремонтный период t=Т_рем, линия проработала без отказа положенный срок.

Короткая запись функции отказа F(t)= P (t_р£ t).

Функция надежности характеризует противоположное состояние линии

R(t) =1- F(t),                                           (2.18),

то есть вероятность безотказной работы за время t и больше t. Полная запись функции надежности:

                      R(t)= P (t£ t_р< ¥ ).                                   (2.19)

Короткая запись имеет вид: R(t)= P (t_р ³ t).

Функция надежности линий получена на основе закона Пуассона о распределении вероятности редких событий при очень длительном времени наблюдений. Представим, что длительное время ведется наблюдение за работой линии и фиксируются все отказы, которые каким-то образом распределены на оси времени «0-Т» (рис. 2.13).

Рис. 2.13 К определению функции надежности

 

Выделим на оси времени участок времени t и сделаем следующие допущения. Допустим, что случайное распределение отказов удовлетворяет трем условиям:

1. Вероятность отказов на участке времени t зависит только от длины этого участка и не зависит от его положения на оси времени. Иными словами отказы распределяются с какой-то средней интенсивностью l. Это условие называется стационарностью потока отказов.

2. Вероятность двух и более отказов за малый отрезок времени Dt пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью одного отказа. Это условие называется ординарностью потока отказов и означает, что появление двух и более отказов в одно время практически невозможно.

3. Отказы называются независимыми случайными событиями, т.е. отказы на участке времени t не зависят от того сколько было отказов до этого и когда они были. Это условие называют отсутствием последействия.

Теперь ставится задача определения вероятности Р(m), т. е количества отказов «m» на участке времени t. С этой целью разделим участок t на n равных элементарных отрезков величиной Dt=t/n.

С учетом принятых условий вероятность одного отказа на участке Dt будет приближенно равна:

lDt=                                                       (2.20)

а вероятность того, что на этом участке не произойдет отказ равна:

1-                                               (2.21)

Тогда по теореме повторения независимых опытов имеем:

 

                           (2.22)

где С – количество возможных сочетаний распределения отказов на участке времени .

Предел этого выражения при , принимает удобный вид:

 

                                        (2.23)

Поскольку мы хотим получить функцию надежности, то нас интересует вероятность безотказной работы, т.е. случай когда m=0. Учитывая, что 0! =1 и , получим выражение, которое используется как функция надежности машин:   

                                  (2.24)

 

Тогда, очевидно, функция отказов:

                                          (2.25)

Таким образом, функция надежности и функция отказов являются показательными функциями.

Функции распределения имеют следующие свойства:

- они не прерывны и дифференцируемы.

при t = 0  R(t)=1

при , а

F(t) – функция монотонно возрастающая.

Рис. 2.14 Графики функций надежности

R(t) и функции отказа F(t).

R(t) – функция монотонно убывающая:

                                      (2.26)

 

Практика эксплуатации линии показывает, что, как правило, время между двумя отказами подчиняется показательному распределению, это обозначает, что принятые выше допущения являются объективными, т.е. отражающими реальную действительность. Параметрами функции надежности отказов являются параметр , который представляет собой интенсивность потока отказов. Физический смысл этого параметра в том, что произведение  есть количество отказов за время t, т.е. если =0, 002 1/мин, а время работы 1000 мин , то в среднем приходится два отказа.

Показательное распределение играет исключительную роль в теории надежности и практике расчетов линий. Многочисленные исследования надежности линий показали, что в большинстве случаев промежуток времени между двумя последовательными отказами подчиняется именно показательному распределению. Иными словами принятые выше допущения (стационарность, ординарность и отсутствие последействия) в основном подтверждаются реальными условиями эксплуатации линий.

 

Согласно свойству функции распределения, что F(t₂)> F(t₁), вероятность отказа на участке t₁......t₂ равна приращению функции на этом участке (рис. 2.15)

P(t₁£ t £ t₂) = P(t₁, t₂) = F(t₂) – F(t₁)                        (2.27)

 

Тогда средняя вероятность на участке времени t₁…t₂ составит

                                 (2.28)

где Dt = t₂ - t₁. Предел этой вероятности при Dt ® 0 есть производная от функции отказа, которую назвали функцией плотности распределения вероятности отказа (в дальнейшем функция плотности) и обозначили через  (рис. 2.15 б):

=                       (2.29)

Функция плотности показывает, что вероятность появления отказов по времени распределения неравномерна. Вначале плотность отказов высокая, а затем плотность падает, потому что отказы происходят редко.

Для того чтобы показать свойства функции плотности возьмем на участке времени  элементарный участок протяженностью dt с плотностью f ( t ). Очевидно, что произведение есть площадь элементарного участка, которая представляет вероятность отказа на этом участке.

                       

Рис.2.15 Определение функции плотности распределения отказа

 

Эту вероятность называют элементарной вероятностью или элементом вероятности. Тогда интеграл  от  до  будет представлять собой вероятность отказа:

                              (2. 30)

Из формулы (2.30) следует первое свойство функции отказа: вероятность отказа на участке времени t₁….t₂ равна площади под кривой , ограничивающей этот участок.

Формула (1) выражает функцию плотности отказа через функцию вероятности отказа. Теперь зададимся обратной задачей: выразить функцию вероятности отказа через функцию плотности отказа. По определению

                             (2.31)

Применив формулу (2.30) получим, что интеграл функции плотности отказа есть вероятность отказа:

                                            (2.32)

Из формулы (2.32) следует второе свойство функции плотности отказа: при очень большом времени работы (при t®¥ ) появление отказа является событием достоверным, так как:

                                        (2.33)

Третье свойство функции плотности отказа состоит в том, что она показывает неравномерность распределения вероятности отказа во времени работы. Несмотря на то, что отказы происходят с какой-то средней интенсивностью l, в начальный период работы линии вероятность отказа растет быстрее (плотность распределения вероятности большая), чем в последующий период, где рост вероятности отказа замедляется (функция плотности отказа приближается к нулю).

Функция плотности распределения вероятности отказа есть неотрицательная функция, т.е. f ( t ) ³ 0. Это четвертое свойство этой функции, заключающееся в том, что она является неубывающей.

Наконец, пятое свойство функции плотности отказа выражается следующими условиями:

f ( t ) = l при t=0

                                                f ( t ) = 0 при t®¥                                     (2.34)

 

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: