ТЕОРЕМА ПРО ЗМІНУ КІНЕТИЧНОЇ ЕНЕРГІЇ СИСТЕМИ

Запишемо для кожної  k-ої точки системи, що складається з  п  матеріальних точок, диференціальні рівняння руху у векторній формі

,                                                             (3.58)

де   і  - рівнодійні зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на -ту точку системи.

Домножимо скалярно кожне рівняння системи на елементар­ний приріст  радіуса-вектора кожної точки

,                                                           (3.59)

а потім ліву частину рівності (3.59) перетворимо таким чином

,                                        (3.60)

а в правій частині введемо позначення:   і  - елементарні роботи рівнодійних зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на k-ту точку системи.

Величина   є диференціалом кінетичної енергії  k-ої точки системи.

Перепишемо рівність (3.59) у вигляді

                                                                 (3.61)

 і підсумуємо такі рівності для всіх  n  точок системи

.                                                 (3.62)

Оскільки операції додавання і диференціювання перемістимі, то запишемо

,                                                (3.63)

або

.                                                      (3.64)

Тут - кінетична енергія системи.

Проінтегрувавши обидві частини рівності (3.64) у визначе­них границях, одержимо

,                                                      (3.65)

де   і  - початкова і кінцева кінетичні енергії системи.

Вираз (3.65) являє собою запис теореми про зміну кінетич­ної енергії системи матеріальних точок і формулюється так; зміна кінетичної енергії матеріальної системи на деякому пе­реміщенні дорівнює сумі робіт усіх зовнішніх і внутрішніх сил, що діють на точки системи на цьому переміщенні.

У порівнянні з розглянутими нижче загальними теоремами динаміки, теорема про зміну кінетичної енергії має такі від­мінності: по-перше, записується в скалярній, а не у векторній формі; по-друге, враховує дію внутрішних сил системи.

РОБОТА  СИЛИ

При використанні теореми про зміну кінетичної енергії точки чи системи необхідно вміти обчислювати роботу, яку ви­конують прикладені сили на даних переміщеннях.

Елементарна робота сили  на елементарному переміщенні  дорівнює скалярному добутку цих величин

,

або, розкриваючи модуль скалярного добутку двох векторів, одержимо

.                                                             (3.66)

Тут  – кут між напрямом сили  i напрямом переміщення . Позначивши проекції сили  на осі декартової системи координат через , а проекції елементарного переміщення через ,можемо записати вираз для елементарної роботи у вигляді

.                                                               (3.67)

Дещо інший вираз елементарної роботи отримаємо, якщо запишемо елементарне переміщення . Тоді матимемо:

,                                                  (3.68)

оскільки  - елементарне переміщення точки.

З формул (3.68) видно, що робота може бути додатньою, від'ємною чи рівною нулю в залежності від кута  між векто­ром сипи і напрямом переміщення:

- якщо напрям сили і напрям руху співпадають ( < ), то робота додатня;

- якщо сила перпендикулярна до переміщення ( )  - робота сили дорівнює нулю;

- якщо сила протидіє переміщенню ( < )  - робота сили від'ємна.

Повною роботою сили на скінченному переміщенні точки, від  до  буде інтегральна сума елементарних робіт

.                                                                        (3.69)

Застосуємо одержані вирами до визначення роботи таких найбільш поширених силових проявів, як сила ваги, сила пруж­ності, момент сили тощо.

РОБОТА  СИЛИ ВАГИ

 

Нехай точка , на яку діє сила ваги , перемістилась із положення  з координатами , в положення  з координатами    (рис. 3.7).

Елементарна робота сили ваги, згідно з формулою (3.67), дорівнює

.                                                                (3.70)

Оскільки ,  а , то повна робота

.                                      (3.71)

Тут  - висота, на яку опустилася точка під дією сили ваги . Якщо, незважаючи на дію сили , точка буде підніма­тися від   до , то робота сили буде від'ємною.

 

 

Рис. 3.7.

Отже ми встановили, що робота сили ваги не залежить від форми траєкторії, а лише від кінцевого переміщення по ви­соті. Знак роботи сили ваги додатній при русі тіла вниз і від'ємний при підйомі вгору: .

РОБОТА  СИЛИ  ПРУЖНОСТІ

Розглянемо матеріальний об'єкт (точку  М), який лежить на горизонтальній гладенькій площині і прикріплений до нерухомої стіни пружиною з жорсткістю с  (див. рис. 3.1).

При переміщенні точки із положення рівноваги вліво чи вправо виникає сила пружності , протилежна цьому переміщенню. Оскільки проекції вектора сили  на осі коор­динат , а проекція , то елементарна робота сили пружності

.                                                 (3.72)

Повна робота

,                                                          (3.73)

або остаточно

.                                                      (3.74)

Отже, робота сил пружності дорівнює половині добутку коефіцієнта жорсткості на квадрат розтягу чи стиску пружини.

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться: