ОСЬОВІ  МОМЕНТИ  ІНЕРЦІЇ ТІЛ  ПРОСТОЇ  ФОРМИ

Дуже часто при розв'язуванні задач про обертальний рух необхідно мати осьові моменти інерції однорідних тіл простої форми. Розглянемо деякі з них:

1. Тонкий однорідний стержень

Момент інерції однорідного стержня довжиною  відносно осі , що перпендикулярна до стержня і проходить через його кінець (рис. 3.8), визначається як сума добутків маси кожної окремої -ої частинки стержня на квадрат відстані від осі

 

Рис. 3.8.

.                                                                     (3.101)

де  - відстань від -ої точки до осі. Однак у випадку неперервного розподілу маси в стержні замість суми застосує інтеграл поширений по всій масі стержня

.                                                                     (3.102)

Тут  dm - маса елемента стержня довжиною  dx , х - відстань елемента від осі .

Оскільки елементарна маса , то підставивши цей вираз у (3.102), маємо

,

звідки

.                                                               (3.103)

Отже, момент інерції тонкого однорідного стержня від носно осі, що перпендикулярна до стержня на його кінці, дорів нює третині добутку маси на квадрат довжини стержня.

Якщо нам потрібний момент інерції однорідного стержня відносно осі, що проходить через його середину (центр мас  С), то маємо

,                                                                (3.104)

 звідки

.                                                                                     (3.105)

2. Однорідне тонке кільце (обруч)

Нехтуючи товщиною кільця радіуса R, знайдемо його момент інерції відносно центральної осі . Для цього виділимо в кільці елемент маси  dm (рис. 3.9). Тоді

,                                                   (3.106)

або

.                                                               (3.107)

Рис. 3.9.

Отже, момент  інерції  однорідного тонкого кільця (обруча) відносно осі  дорівнює добутку маси кільця на квадрат його радіуса.

Оскільки товщиною кільця знехтувано, то неважко побачити, що ,  де  - полярний момент інерції кільця відносно його центра. Через те, що кільце симетричне, моменти інерції від­носно двох інших (поперечних) осей рівні . Викори­ставши залежність між полярним і осьовими моментами інерції, запишемо

,

звідки

.

Отже

,                                                    (3.108)

тобто моменти інерції кільця відносно поперечних осей Ох та Оу  дорівнюють половині момента інерції .

3. Однорідний суцільний диск

Якщо радіус диска ,то момент інерції відносно центральної осі  (рис. 3.10) визначимо з формули

 

Рис. 3.10.

,                                                                                              (3.109)

де  dm - елементарне кільце диска тов­щиною  dr, взяте на відстані  r  від осі. Маса цього елементарного кільця

.

Отже

,

звідки

.                                                                                    (3.110)

Таким чином, момент інерції суцільного однорідного диска відносно центральної осі  дорівнює половині добутку маси диска на квадрат його радіуса.

Моменти інерції диска відносно осей  Ох  і  Оу  знаходяться аналогічно до відповідних моментів обруча і становлять поло­вину від , тобто

.                                                                               (3.111)

4. Однорідний суцільний циліндр

Розіб'ємо циліндр, що має висоту  h  і радіус  R, на елементарні диски товщиною  dz (рис. 3.11). Маса   кожного з цих дисків

,                                                            (3.112)

а момент інерції кожного елементар­ного диска відносно осі Ох визна­чається з формули

 

 

Рис. 3.11.

.                                                                        (3.113)

Інтегруючи по всій висоті, знайдемо

,

звідки

.                                                             (3.114)

Отже, момент інерції однорідного суцільного циліндра відносно  поздовжньої осі не залежить від висоти циліндра і дорівнює половині добутку маси циліндра на квадрат його радіуса, тобто моменти інерції циліндра і тонкого диска відносно осі співпадають.

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться: