ЗАКОН ЗБЕРЕЖЕННЯ РУХУ ЦЕНТРА МАС

Причиною однієї з найбільш поширених помилок є незнання; закону збереження руху центра мас. Одним з прикладів не­розуміння цього закону було порівняно недавнє (початок 60-х, років) сенсаційне відкриття "машини Діна", розрекламованої в США як "майбутнє авіації", яка нібито могла підніматися вгору без втручання зовнішніх сил.

Запишемо теорему про рух центра мас системи матеріаль­них точок у вигляді

,                                                                      (3.153)

У випадку рівності нулю головного вектора зовнішніх сил швид­кість центра мас є сталою величиною

або  .                                                       (3.154)

Якщо на початку руху система знаходилась у спокої , тобто якщо

, то .                                                  (3.155)

Тут  - радіус-вектор центра мас.

Отже у випадку, коли головний вектор зовнішніх сил і по­ чаткова швидкість центра мас дорівнюють нулю, положення центра мас системи залишається незмінним при будь-яких пе­реміщеннях точок всередині системи.

Якщо дорівнює нулю лише одна з проекцій головного вектора зовнішніх сил на будь-яку координатну вісь (наприклад, на вісь  Ох), то будемо мати закон збереження проекції швидкості центра мас на цю вісь ( ). Якщо ж проекція швид­кості на дану вісь на початку руху дорівнювала нулю (  = 0), то матимемо закон збереження даної координати центра мас ( ).

ПРИНЦИПИ  МЕХАНІКИ

Принцип - це основне, вихідне положення будь-якої на­уки. Принципами механіки називаються загальні положення, які містять у собі повну інформацію про механічний рух чи рівно­вагу матеріальних об'єктів. Різні принципи механіки можуть бути рівноцінні між собою або відрізнятись один від другого степенем загальності.

В основу побудови механіки як науки положені декілька за­гальних принципів, прикладом яких може служити принцип Да­ламбера для невільної матеріальної точки. Цей принцип являє собою не що інше, як другий закон Ньютона, доповнений ак­сіомою про звільнення від в'язей. Однак, якщо положити прин­цип Даламбера в основу побудови механіки невільної системи матеріальних точок, то ми зіткнемося зі значними труднощами. Подолання цих труднощів можливе лише при конкретизації характеру накладених на точки системи в'язей і формулюванні загальних принципів механіки, в яких, на відміну від принципу Даламбера, ця конкретизація автоматично враховується для си­стеми в цілому, а не для кожної точки зокрема. Як виявилось, такого типу конкретизація характеру в'язей можлива в їх част­ковій ідеалізації.

Стосовно питання ідеалізації в'язей, то ми з цим уже зустрічалися у статиці. До ідеальних в'язей ми віднесли в'язі у вигляді абсолютно гладеньких поверхонь або ліній, гнучких нерозтяжних ниток, ідеальних стержнів. Абсолютно шорстка нерухома поверхня є прикладом ідеальної в'язі для тіла, що ко­титься по ній без проковзування (точка контакту тіла з поверх­нею миттєво стає нерухомою).

У статиці ми розглядали найпростіші в'язі і знаходили їх ре­акції. Однак у більшості випадків при дослідженні руху механіч­них систем визначення реакцій в'язей не є необхідним. Тому виникло питання про пошуки такого методу розв'язування задач динаміки невільної механічної системи, при якому реакції в'язей автоматично виключались би з розгляду. І такий метод був знайдений Жозефом Луї Лагранжем (1736-1813), осново­положником нової механіки, названої, на відміну від класичної, аналітичною механікою.

Аналіз механічних в'язей показав Лагранжу, що більшість з них мають одну чудову властивість, а саме: сума елементар­них робіт реакцій в'язей на нескінченно малих можливих (або віртуальних) переміщеннях системи дорівнює нулю. Такі в'язі були названі ідеальними . Застосування поняття можливих пе­реміщень викликане тим, що коли на механічну систему накла­дені в'язі, то дана система не в змозі здійснювати будь-які пе­реміщення, оскільки в'язі допускають лише деякі переміщення точок системи.

До загальних принципів механіки, крім принципу Далам­бера, належать принцип Лагранжа (або принцип можливих пе­реміщень, який називають загальним рівнянням статики), а також принцип Даламбера-Лагранжа, відомий як загальне рів­няння динаміки. Ці три принципи лягли в основу аналітичної механіки, яка збагатила науку новими могутніми методами.

Аналітична механіка - це розділ механіки, який, за словами його творця Лагранжа, "не потребує ні побудов, ні геометрич­них або механічних міркувань, а потребує лише алгебраїчних операцій, підпорядкованих планомірному і одноманітному ходу". Блискучим підтвердженням цього є метод побудови диферен­ціальних рівнянь руху механічної системи в узагальнених ко­ординатах (рівняння Лагранжа II роду).

ПРИНЦИП  ДАЛАМБЕРА

 Як ми вже говорили, основний закон механіки - (II закон Ньютона) - був відкритий Ньютоном стосовно до руху вільної матеріальної точки чи тіла, тобто для задач небесної механіки. Але після того, як була додатково сформульована аксіома про звільнення від в'язей, Жан Лерон Даламбер (1717-1783) запро­понував дуже зручний метод (або принцип), який дозволив фор­мально звести задачі динаміки до рівнянь рівноваги, тобто до рівнянь статики.

У деяких книгах принцип Даламбера іменується принципом Германа-Ейлера-Даламбера, оскільки ним задовго до Даламбера користувались, але ніде цього не опублікували, петербурзькі ака­деміки Я.Ґерман (1716 р.) та Л.Ейлер (1737 р.).

Запис принципу Даламбера можемо одержати шляхом таких нескладних дій. Запишемо диференціальне рівняння руху не­вільної матеріальної точки, на яку діють активні сили Р і реакції в'язей

                                                                       (4.1)

і перепишемо цю рівність таким чином:

.                                                                  (4.2)

Оскільки добуток , взятий зі знаком"мінус", теж має розмірність сили, то цю сипу було названо даламберовою силою інерції

.                                                                     (4.3)

Силою інерції називається векторна величина, яка дорів­ нює добутку маси точки на її прискорення і направлена про тилежно прискоренню.                                  

Рівність (4.2) є математичним записом принципу Даламбера для матеріальної точки:

.                                                          (4.4)

Формулювати принцип Даламбера можемо так: у кожний мо­мент часу активні сили і реакції в'язей, що діють на точку, зрівноважуються силами інерції.

Якщо точка рухається по криволінійній траєкторії, то її прискорення складається із суми двох прискорень - дотичного (тангенціального) і нормального. Відповідно до цього сили інер­ції також називають тангенціальними і нормальними (або від­центровими) силами інерції. За модулем ці сили інерції від­повідно дорівнюють:

.                                                                    (4.5)

Якщо точка належить тілу, що обертається навколо осі, то модулі її тангенціальної і відцентрової сил інерції визначаються через параметри обертального руху тіла

.                                                                     (4.6)

Тут  R - відстань від точки до осі обертання,   і  - кутова швидкість, і кутове прискорення тіла.

Для системи матеріальних точок принцип Даламбера запи­сується у вигляді системи двох векторних рівнянь, що зв'язують між собою активні сили, реакції в'язей, сили інерції та моменти цих сил відносно деякого центра  О:

                                                      (4.7)

При практичному розв'язуванні задач рівняння (4.7) запи­сують у проекціях на осі декартової системи координат, або на осі натурального тригранника , або на будь-які інші осі.

КЛАСИФІКАЦІЯ  В'ЯЗЕЙ

Перш ніж перейти до розгляду інших принципів механіки, по­знайомимось із характером механічних в'язей, які можуть бути накладені на точки системи. Усі в'язі, що обмежують положення або рух матеріальних об'єктів, математично описуються так званими рівняннями в'язей, у які в загальному випадку можуть входити час руху об'єкта, його координати і швидкості:

.

У кожному конкретному випадку, в залежності від виду цієї функції, в'язі розрізняють (класифікують) так:

- геометричні чи кінематичні;

- стаціонарні чи нестаціонарні;

- голономні чи неголономні;

- утримуючі чи неутримуючі.

Геометричними в'язями називають в'язі, до рівнянь яких входять тільки координати і можливо час руху матеріального об'єкта. Наприклад, рівняння в'язі для математичного маят­ника сталої довжини з підвісом у початку координат має вигляд  або .

Кінематичними (або диференціальними) називаються в'язі, які накладають обмеження на швидкості точок, до рівнянь яких входять перші похідні від координат. Наприклад, при коченні циліндра без проковзування по нерухомій площині швидкість центра циліндра і його кутова швидкість зв'язані між собою за­лежністю, яка є рівнянням даної в'язі:  або .

Стаціонарні в'язі - це в'язі, до рівнянь яких час  явно не входить, а нестаціонарні - до рівнянь яких час входить у яв­ному вигляді. Наведені вище приклади рівнянь в'язей матема­тичного маятника і колеса є прикладами стаціонарних в'язей. Прикладом нестаціонарної в'язі може бути математичний маят­ник, підвішений на нитці, яка змінює свою довжину (втягується в отвір, що співпадає з точкою підвісу).

До голономних належать всі геометричні в'язі, а також ті з кінематичних в'язей, які шляхом інтегрування можуть бути приведені до геометричних. До неголономних належать ті кіне­матичні в'язі, рівняння яких не можуть бути проінтегровані. Прикладом неголономної в'язі може служити куля, що котиться по площині без просковзування. Однак циліндр, що котиться без просковзування по площині, є прикладом голономної в'язі, оскільки рівняння в'язі  допускає інтегрування х = .

Утримуючою (або двобічною) в'яззю називається в'язь, дія якої на тіло не може припинитись. Прикладом утримуючої в'язі є математичний маятник, підвішений на невагомому (ідеаль­ному) стержні. Неутримуючою (або однобічною) в'яззю є в'язь, від якої тіло може звільнитися. Прикладом неутримуючої в'язі є площина, по якій рухається тіло, що може залишити цю пло­щину.

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться: