КІНЕТИЧНА  ЕНЕРГІЯ  ТВЕРДОГО  ТІЛА

Кінетична енергія механічної системи, як ми встановили вище, дорівнює арифметичній сумі кінетичних енергій окремих тіл (точок) системи. Ці тіла можуть рухатись поступально, обертатись навколо нерухомої осі або здійснювати більш склад­ний плоско-паралельний рух. Розглянемо почергово ці три ви­падки руху.

1. Якщо тіло здійснює поступальний рух, то всі його точки (у тому числі і центр мас) мають однакові швидкості . Кіне­тична енергія  обчислюється як сума кінетичних енергій всіх  n  точок тіла

,                                             (3.81)

або

.                                                      (3.82)

Тут - маса тіла, - швидкість центра мас тіла.

Таким чином, кінетична енергія при поступальному русі тіла дорівнює половині добутку маси тіла на квадрат швид­ кості його центра мас.

2. При обертанні тіла навколо нерухомої осі лінійні швид­кості окремих точок визначаються з формули Ейлера

,                                                                          (3.83)

де  - кутова швидкість обертання,  - радіус -ої точки тіла.

Кінетична енергія  визначається так:

,                                    (3.84)

або

(3.85)

.                                                                        (3.85)

Тут  - момент інерції тіла відносно осі обертання, який дорівнює сумі добутків маси кожної точки на квадрат її відстані від осі.

Отже, при обертанні тіла навколо осі кінетична енергія дорівнює половині добутку момента інерції тіла відносно даної осі на квадрат кутової швидкості.

3. Одним і складних рухів тіла, які дуже часто зустріча­ються в механічних системах, є плоско-паралельний рух, прикла­дом якого є кочення колеса або циліндра по нерухомій площині без проковзування. Оскільки плоско-паралельний рух тіла можна розкласти на поступальний рух тіла разом з полюсом і миттєвий оберталь­ний рух навколо полюса, то вибравши за полюс центр мас тіла, можемо визначити кінетичну енергію як суму

.                                                         (3.86)

Отже, кінетична енергія тіла при плоско-паралельному русі дорівнює сумі кінетичної енергії поступального руху зі швид­кістю центра мас і кінетичної енергії при обертанні тіла на­вколо центра мас. Цей висновок у літературі часто навивають теоремою Кеніга. З її доведенням студенти можуть познайоми­тись у повних курсах теоретичної механіки.

МОМЕНТИ  ІНЕРЦІЇ

При визначенні кінетичної енергії тіл, що обертаються, ми зустрілись із новою фізичною величиною, яка називається мо­ментом інерції тіла. Поняття момента інерції було введене Леонардом Ейлером. Слід зауважити, що якщо маса тіл є мірою їх інертності при поступальному русі, то мірою інертності тіл при обертанні є момент інерції (або момент інертності).

Моментом інерції тіла називається скалярна величина, яка характеризує розподіл маси в тілі (або в системі тіл) і є мірою інертності при обертальному русі.

Розрізняють слідуючі моменти інерції:

1) полярний ;

2) осьові  ;

3) відцентрові .

Для визначення полярного момента інерції  розглянемо  будь-яку -ту точку тіла з масою   і радіусом-вектором . Момент інерції -ої точки відносно центра  О  дорівнює добутку маси точки на квадрат відстані від цього центра

.                                                          (3.87)

Оскільки

,                                                               (3.88)

то

.                                                     (3.89)

Підсумовуючи для всіх точок тіла , маємо

,     або .                                                       (3.90)

Таким чином, за формулою (3.90), полярний момент інерції дорівнює сумі добутків маси кожної точки тіла на квадрат її відстані до полюса (початку координат).

Осьові (або аксіальні) моменти інерції визначаються для кож­ної  -ої точки тіла як добуток маси точки на квадрат її відстаю від даної осі. Наприклад, осьовий момент інерції точки відносно осі  дорівнює

.                                                                       (3.91)

Відстань  точки від осі виражається через координати точки

.                                                                     (3.92)

Отже

.                                                (3.93)

Підсумувавши для всіх точок тіла, маємо

.                                                                              (3.94)

Аналогічно можемо записати вирази для  і :

.                                                          (3.95)

Осьовий момент інерції тіла дорівнює сумі добутків маси кож­ ної точки на квадрат її відстані до осі.

Якщо складемо всі три осьові моменти інерції (3.94) і (3.95), то одержимо

,                 (3.96)

або

.                                                                                    (3.97)

Отже, сума осьових моментів інерції тіла дорівнює подвоє­ному полярному моменту, взятому відносно початку координат.

Відцентровими моментами інерції називають величини, які дорівнюють алгебраїчній сумі добутків маси кожної точки тіла на добуток її відповідних координат:

.                            (3.98)

Якщо відносно деякої системи координат, вибраної в тілі, відцен­трові моменти інерції дорівнюють нулю, то осі такої системи називають головними осями інерції . Якщо ж початок такої си­стеми координат співпадає з центром мас тіла (чи системи), то такі осі називають головними центральними осями інерції.

Момент інерції тіла відносно заданої осі можна представити  як добуток маси тіла на квадрат деякої умовної лінійної вели­чини, яка являє собою відстань центра мас тіла до даної осі і називається радіусом інерції тіла:

.                                                              (3.99)

Тут - маса тіла,  - радіус інерції тіла відносно осі . Радіус інерції знаходиться із формули

                                                              (3.100)

 і може бути визначений експериментально.

⇐ Предыдущая12131415161718192021Следующая ⇒

Поделиться: