Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Множества. Действительные числа. Основные понятия. Числовые множества и промежутки. Окрестность точки.

Множеством называется совокупность некоторых элементов. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т. п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множеств - строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х Î Х (Î - принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А Ì В (Ì - содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

В общем случае множество элементов х с помощью определяющего свойства  записывается в виде .

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается .

Действительные числа.

Простейшим множеством чисел является множество натуральных чисел   - , которые вместе с отрицательными числами   и числом  образуют множество целых чисел .

Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные составляют множество   рациональных чисел. Каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби , где   и   - целые числа. Рациональные числа представляются в виде конечных и бесконечных периодических дробей. Все остальные числа называются иррациональными и представляются в виде бесконечных, непериодических дробей.

Числовые множества и промежутки Действительные числа изображаются, точками числовой прямой, причем каждому действительному числу соответствует одна точка числовой прямой и обратно, каждой точке числовой прямой соответствует только одно действительное число. Поэтому, говоря о числовых множествах, имеются в виду как подмножества множества R действительных чисел, так и подмножества точек числовой прямой.

Множество Е действительных чисел называется ограниченным сверху (соответственно, ограниченным снизу), если существует число М, такое, что для любого  имеет место неравенство  (соответственно, ). Число М называется верхней (соответственно, нижней) границей (или гранью) множества Е. Множество Е называется ограниченным, если существуют такие числа  и , что для любого числа  имеет место двойное неравенство .

Наименьшая из верхних границ множества Е называется его точной верхней границей (или точной верхней гранью).

Наибольшая из нижних границ множества Е называется его точной нижней границей (или точной нижней гранью).

Окрестностью точки  называется любой интервал , содержащий эту точку: .

Симметричный интервал  называют (эпсилон)-окрестностью точки .

 

2  Понятие функции. Числовые функции. График функции. Способы задания функции. Обратная и сложная функции. Основные элементарные функции и их графики.

Понятие функции Рассмотрим множество  элементов  и множество  элементов . Если каждому элементу  по определенному правилу   поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве  задана функция  со значениями во множестве . Элементы  называются значениями аргумента, а элементы  - значениями функции. Множество  называется областью определения функции, множество всех значений

Графиком функции у= f(x) называется геометрическое место точек плоскости, координатами которых являются значения аргумента x и соответствующие им значения функции y=f(x).

Способы задания функции.  К традиционным, основным способам задания функции относятся: аналитический (с помощью одной или нескольких формул); графический (с помощью графиков); табличный, программа на ЭВМ.

Обратная функция

В случае, когда каждому  по некоторому закону  соответствует только одно значение , получаем функцию  заданную на множестве  со значениями во множестве . Эту функцию  называют обратной функцией, по отношению к функции . Эти функции называются взаимно обратными. Для них выполняются тождества

Сложная функция.

Пусть заданы две функции: f: D(f) ® E(f), g: D(g) ® E(g).

Если E(f) Ì D(g), то на D(f) определена сложная функция (композиция, суперпозиция)

,

.

 Основные элементарные функции и их графики

 

 

3 Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.

Числовая последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность _1, х₂, …, х _n = { x_n }

Общий элемент последовательности является функцией от n. x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента. Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Предел числовой последовательности . Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a .

В этом случае говорят, что последовательность { x_n }сходится к а при n ® ¥ .

Число е.Число е называется числом Эйлера или неперовым числом, график функции  получил название экспоненты 

Натуральные логарифмы. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами, обозначаются . К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии, анализ таких процессов, как распад радия, размножение бактерий и т.п.

Эластичность функции.

Теорема.

Если функции  и  дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы функции , ,  (при условии, что ) и при этом

;

;

, .

 

Следствия

1. , где .

2. Если , то .

3. , где .

 

 

Теорема.

Если функции  имеет производную  в точке х, а функция  имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  в точке х имеет производную , которая находится по формуле:

 или = .

Так, если , , , , то

.

Производная обратной функции Если  и  − взаимо-обратные дифференцируемые функции и , то

 или ,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

 

Записывают:  или .

Производная функции, заданной параметрически. Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:

где t − вспомогательная переменная (параметр).

Функцию , определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Так как , то

.

Производная неявной функции

Если неявная функция задана уравнением , то для нахождения производной от у по х надо продифференцировать это уравнение по х, рассматривая при этом у как функцию от х, и затем, полученное уравнение разрешить относительно , выразив  через х и у.

Дифференциал функции. Основные понятия и теоремы. Геометрический смысл. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Дифференциалы высших порядков.

Определение. Главная линейная часть приращения дифференцируемой функции называется дифференциалом функции и обозначается

                                  

 Дифференциал dy функции равен произведению ее производной и дифференциала независимой переменной: , поэтому справедливо равенство .

Операция нахождения дифференциала функции так же, как и операция нахождения производной, называется дифференцированием функции.

Свойства дифференциала ( u = u ( x ); v = v ( x ))

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается:

 

или .

 

Интегрирование по частям.

Способ основан на известной формуле производной произведения:

( uv) ¢ = u ¢ v + v ¢ u

где u и v – некоторые функции от х.

В дифференциальной форме: d( uv) = udv + vdu

Проинтегрировав, получаем: , а в соответствии с приведенными выше свойствами неопределенного интеграла:

  или     ;

Получили формулу интегрирования по частям, которая позволяет находить интегралы многих элементарных функций.

Полученная формула называется формулой интегрирования по частям. По частям берутся интегралы вида:

1)                                            

         

В этих интегралах в качестве u всегда берется

 

Функции двух переменных. Основные понятия. Предел функции. Непрерывность функции двух переменных.

Поверхностные интегралы первого и второго рода. Основные понятия. Вычисления и некоторые приложения поверхностных интегралов.

Поверхностным интегралом первого рода от функции  по поверхности  называется предел интегральной суммы  при  ( ), независящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек . Обозначается .

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

 

Пусть поверхность  задана уравнением вида , тогда поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:

,

где  – проекция  на плоскость .

Если поверхность  задана  или , то формулы принимают вид:

, ,

где  и  – проекции  на плоскости  и  соответственно.

Приложения поверхностного интеграла первого рода

Площадь поверхности. Пусть поверхность  задана уравнением , ее проекция на плоскость  есть область . Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле .

Масса поверхности. Плотность распределения массы поверхности  задана функцией . Масса поверхности вычисляется по формуле .

Поверхностным интегралом второго рода по переменным  и  по выбранной стороне поверхности называется предел интегральной суммы  при  ( ) , независящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек . Обозначается .

Аналогичным образом определяется поверхностный интеграл второго рода по переменным  и  и  и .

Поверхностным интегралом второго рода общего вида называется интеграл .

Замечание. Если  – замкнутая поверхность, то поверхностный интеграл по внешней стороне обозначается , по внутренней стороне – .

 

Признак Коши (радикальный).

Если для членов ряда (1) существует , то этот ряд сходится при L>1 и расходится при L<1. При L=1 о сходимости ряда (1) ничего сказать нельзя (есть как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых L=1); в этом случае исследование на сходимость проводится каким-либо иным способом.

 

 

46 В чём состоит интегральный признак Коши-Маклорена сходимости числового ряда с положительными членами?

 

Пусть члены ряда представляют собой значения в целых точках  непрерывной невозрастающей на полупрямой  функции f(x): . Тогда: 1) если сходится , то сходится и ряд; 2) если расходится , то расходится и ряд.

 

Множества. Действительные числа. Основные понятия. Числовые множества и промежутки. Окрестность точки.

Множеством называется совокупность некоторых элементов. Элементами множества могут быть числа, фигуры, предметы, понятия и т. п.

Множества обозначаются прописными буквами, а элементы множеств - строчными буквами. Элементы множеств заключаются в фигурные скобки. Если элемент х принадлежит множеству Х, то записывают х Î Х (Î - принадлежит). Если множество А является частью множества В, то записывают А Ì В (Ì - содержится).

Множество может быть задано одним из двух способов: перечислением и с помощью определяющего свойства.

В общем случае множество элементов х с помощью определяющего свойства  записывается в виде .

Если множество не содержит ни одного элемента, то оно называется пустым множеством и записывается .

Действительные числа.

Простейшим множеством чисел является множество натуральных чисел   - , которые вместе с отрицательными числами   и числом  образуют множество целых чисел .

Числа целые и дробные, как положительные, так и отрицательные составляют множество   рациональных чисел. Каждое рациональное число может быть представлено в виде дроби , где   и   - целые числа. Рациональные числа представляются в виде конечных и бесконечных периодических дробей. Все остальные числа называются иррациональными и представляются в виде бесконечных, непериодических дробей.

Числовые множества и промежутки Действительные числа изображаются, точками числовой прямой, причем каждому действительному числу соответствует одна точка числовой прямой и обратно, каждой точке числовой прямой соответствует только одно действительное число. Поэтому, говоря о числовых множествах, имеются в виду как подмножества множества R действительных чисел, так и подмножества точек числовой прямой.

Множество Е действительных чисел называется ограниченным сверху (соответственно, ограниченным снизу), если существует число М, такое, что для любого  имеет место неравенство  (соответственно, ). Число М называется верхней (соответственно, нижней) границей (или гранью) множества Е. Множество Е называется ограниченным, если существуют такие числа  и , что для любого числа  имеет место двойное неравенство .

Наименьшая из верхних границ множества Е называется его точной верхней границей (или точной верхней гранью).

Наибольшая из нижних границ множества Е называется его точной нижней границей (или точной нижней гранью).

Окрестностью точки  называется любой интервал , содержащий эту точку: .

Симметричный интервал  называют (эпсилон)-окрестностью точки .

 

2  Понятие функции. Числовые функции. График функции. Способы задания функции. Обратная и сложная функции. Основные элементарные функции и их графики.

Понятие функции Рассмотрим множество  элементов  и множество  элементов . Если каждому элементу  по определенному правилу   поставлен в соответствие единственный элемент , то говорят, что на множестве  задана функция  со значениями во множестве . Элементы  называются значениями аргумента, а элементы  - значениями функции. Множество  называется областью определения функции, множество всех значений

Графиком функции у= f(x) называется геометрическое место точек плоскости, координатами которых являются значения аргумента x и соответствующие им значения функции y=f(x).

Способы задания функции.  К традиционным, основным способам задания функции относятся: аналитический (с помощью одной или нескольких формул); графический (с помощью графиков); табличный, программа на ЭВМ.

Обратная функция

В случае, когда каждому  по некоторому закону  соответствует только одно значение , получаем функцию  заданную на множестве  со значениями во множестве . Эту функцию  называют обратной функцией, по отношению к функции . Эти функции называются взаимно обратными. Для них выполняются тождества

Сложная функция.

Пусть заданы две функции: f: D(f) ® E(f), g: D(g) ® E(g).

Если E(f) Ì D(g), то на D(f) определена сложная функция (композиция, суперпозиция)

,

.

 Основные элементарные функции и их графики

 

 

3 Числовая последовательность. Предел числовой последовательности. Число е. Натуральные логарифмы.

Числовая последовательность. Определение. Если каждому натуральному числу n поставлено в соответствие число х_n, то говорят, что задана последовательность _1, х₂, …, х _n = { x_n }

Общий элемент последовательности является функцией от n. x_n = f(n)

Таким образом последовательность может рассматриваться как функция порядкового номера элемента. Задать последовательность можно различными способами – главное, чтобы был указан способ получения любого члена последовательности.

Предел числовой последовательности . Определение. Число а называется пределом последовательности {x_n}, если для любого положительного e>0 существует такой номер N, что для всех n > N выполняется условие:

Это записывается: lim x_n = a .

В этом случае говорят, что последовательность { x_n }сходится к а при n ® ¥ .

Число е.Число е называется числом Эйлера или неперовым числом, график функции  получил название экспоненты 

Натуральные логарифмы. Логарифмы по основанию е называются натуральными логарифмами, обозначаются . К числу е приводят решения многих прикладных задач статистики, физики, биологии, химии, анализ таких процессов, как распад радия, размножение бактерий и т.п.

Предел функции в точке. Односторонние пределы.

Предел функции в точке Число А называется пределом функции  в точке x =х₀ (или при ), если для любой сходящейся к х₀ последовательности (1) значении аргумента x, отличных от х₀, соответствующая последовательность (2) значений функции сходится к числу А. Обозначается .

Функция  может иметь в точке х₀ только один предел. Это следует из того, что последовательность имеет только один предел.

Число А называется пределом функции  в точке х=х₀, если для любого числа существует число такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Односторонние пределы. Число А называется правосторонним (левосторонним) пределом функции  в точке , если для любой сходящейся к  последовательности , члены которой больше (меньше) , соответствующая последовательность значений функции  сходится к числу А.

Обозначение:                ( ).                           

Замечание. Запись  ( ) означает, что аргумент  стремится к  справа (слева), то есть оставаясь все время больше (меньше) .

Число А называется правосторонним (левосторонним) пределом функции  в точке , если любого числа  существует число  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству  ( ), выполняется .

Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке  называются односторонними пределами.

Можно доказать, что функция  имеет в точке  предел тогда и только тогда, когда в точке  существуют пределы этой функции, как справа, так и слева, и они равны.

 

5 Предел функции при . Бесконечно большие функции. Бесконечно малые функции. Эквивалентные бесконечно малые функции.

Предел функции при .Число А называется пределом функции  при , если для любого Е>0 можно указать такое положительное число N, что для всех значений x, удовлетворяющих неравенству , будет выполнятся неравенство .

Бесконечно большие функции Функция  называется бесконечно большой функцией (или просто бесконечно большой) в точке x=x₀ (или при ), если для любого Е>0 существует  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

В этом случае пишут . И говорят, что функция стремиться к бесконечности при , или что она имеет бесконечный предел в точке x=x₀.

Используя логические символы, можно записать:

.

Аналогично определяется бесконечно большая функция при .

Бесконечно большая функция предела (в смысле определения) не имеет – символ  не является числом.

Бесконечно малые функции Определение1. Функция  называется бесконечно малой функцией (или просто бесконечно малой) в точке x = x ₀ (или при ), если .

Аналогично определяется бесконечно малая функция при .

Определение2. Функция  называется бесконечно малой в точке x = x ₀, если для любого Е>0 существует  такое, что для всех , удовлетворяющих неравенству , выполняется неравенство .

Бесконечно малые функции обладают свойствами, которые можно сформулировать в виде теоремы.

 

Теорема. Алгебраическая сумма и произведение конечного числа бесконечно малых функции при , а также произведение бесконечно малой функции на ограниченную функцию являются бесконечно малыми функциями при .

Эквивалентные бесконечно малые функции. Если

,

то бесконечно малые при  функции  и  называются эквивалентными.

В этом случае пишут

 при .

 

 

12345678Следующая ⇒

Поделиться: