Понятие о криволинейных интегралах первого и второго рода. Вычисления и некоторые приложения криволинейных интегралов.

⇐ ПредыдущаяСтр 7 из 8Следующая ⇒

Определение криволинейного интеграла 1 го рода. Пусть функция определена и ограничена в точках гладкой или кусочно-гладкой кривой , лежащей в плоскости . Разобьем кривую точками на частичных дуг , , , , длины которых равны , , , . Выберем на каждой частичной дуге , точку .

Криволинейным интегралом первого рода называется предел (если он существует) интегральной суммы при и обозначается = .

Вычисление криволинейного интеграла 1-го рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

, , ,

где и – непрерывно дифференцированные функции параметра , причём точке соответствует , точке – значение , .

Тогда дифференциал длины дуги равен:

и криволинейный интеграл 1-го рода вычисляется по формуле:

Явное представление кривой интегрирования. Пусть кривая задана уравнением , , и имеет непрерывную производную на отрезке .

Дифференциал дуги имеет вид и справедливо равенство

Для вычисления криволинейного интеграла 1-го рода от функции по пространственной кривой , заданной параметрическими уравнениями , , , , справедлива формула: .

Приложения криволинейного интеграла 1-го рода. Криволинейный интеграл 1-го рода используется для вычисления:

– длины кривой

;

– площади цилиндрической поверхности, направляющей которой служит кривая , лежащая в плоскости , и образующая параллельна оси

;

– массы материальной кривой с плотностью

;

Определение криволинейного интеграла 2 го рода. Пусть в плоскости задана непрерывная кривая . И пусть функции и определены в каждой точке кривой . Разобьем дугу точками в направлении от точки к точке на частичных дуг , , , , длины которых равны , , , . Выберем на каждой частичной дуге , , точку . Проекциями дуги на оси и являются и

Сумма называется интегральной суммой по переменной для функции ; сумма называется интегральной суммой по переменной для функции .Обозначим .

Криволинейным интегралом по координате по кривой от функции называется предел (если он существует) интегральной суммы при : . Криволинейным интегралом по координате по кривой от функции называется предел (если он существует) интегральной суммы при : .

Криволинейным интегралом 2-го рода по кривой от функций и называется предел (если он существует) при интегральной суммы ,

и обозначается .

Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода. Вычисление криволинейного интеграла 2-го рода сводится к вычислению определенного интеграла.

Параметрическое представление кривой интегрирования. Пусть кривая задана параметрическими уравнениями

, , ,

где и – непрерывно дифференцированные функции параметра , причём точке соответствует , точке – значение , . И пусть функции и непрерывны на кривой . Тогда криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле: .

Явное представление кривой интегрирования. Пусть кривая задана уравнением , , где функции и непрерывны на отрезке . Тогда криволинейный интеграл 2-го рода вычисляется по формуле:

Приложения криволинейного интеграла 2-го рода. Криволинейный интеграл 2-го рода используется для вычисления:

– работы силы по перемещению материальной точки вдоль кривой от точки до точки : ,

где и , проекции силы на координатные оси , , соответственно;

– площади плоской фигуры , ограниченной замкнутым контуром :

, , .

Поверхностные интегралы первого и второго рода. Основные понятия. Вычисления и некоторые приложения поверхностных интегралов.

Поверхностным интегралом первого рода от функции по поверхности называется предел интегральной суммы при ( ), независящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек . Обозначается .

Вычисление поверхностного интеграла первого рода

Пусть поверхность задана уравнением вида , тогда поверхностный интеграл можно вычислить по формуле:

где – проекция на плоскость .

Если поверхность задана или , то формулы принимают вид:

, ,

где и – проекции на плоскости и соответственно.

Приложения поверхностного интеграла первого рода

Площадь поверхности. Пусть поверхность задана уравнением , ее проекция на плоскость есть область . Тогда площадь поверхности вычисляется по формуле .

Масса поверхности. Плотность распределения массы поверхности задана функцией . Масса поверхности вычисляется по формуле .

Поверхностным интегралом второго рода по переменным и по выбранной стороне поверхности называется предел интегральной суммы при ( ) , независящий ни от способа разбиения поверхности на части, ни от выбора точек . Обозначается .