Выпуклость графика функции. Точки перегиба. Асимптоты графика функции.

Выпуклость графика функции Пусть функция  дифференцируема на интервале (а, в). Тогда существует касательная к графику функции  в любой точке этого графика ( ), причем касательная не параллельна оси OY , так как ее угловой коэффициент, равный , конечен.

Определение Будем говорить, что график функции  на (а, в) имеет выпускать, направленную вниз (вверх), если он расположен не ниже (не выше) любой касательной к графику функции на (а, в).

Теорема 1 (необходимое условие выпуклости (вогнутости) кривой).

Если график дважды дифференцируемой функции выпуклая (вогнутая) кривая, то вторая производная на интервале (а, в) отрицательна (положительна) на этом интервале.

Теорема 2 (достаточное условие выпуклости (вогнутости) кривой).

Если функция  дважды дифференцируема на (а, в) и  ( ) во всех точках этого интервала, то кривая, являющаяся графиком функции  выпуклая (вогнутая) на этом интервале.

Точки перегиба Определение Точка  называется точкой перегиба графика функции , если в точке  график имеет касательную, и существует такая окрестность точки , в пределах которой график функции  слева и справа точки  имеет разные направления выпуклости.

Очевидно, что в точке перегиба касательная пересекает график функции, так как с одной стороны от этой точки график лежит над касательной, а с другой – под нею, т. е. в окрестности точки перегиба график функции геометрически переходит с одной стороны касательной на другую и «перегибается» через нее. Отсюда и произошло название «точки перегиба».

Теорема ( необходимое условие точки перегиба). Пусть график функции  имеет перегиб в точке  и пусть функция  имеет в точке  непрерывную вторую производную. Тогда .

Не всякая точка , для которой , является точкой перегиба. Например, график функции  не имеет перегиба в точке (0, 0), хотя  при . Поэтому равенство нулю второй производной является лишь необходимым условием перегиба.

 

Точки  графика, для которых  называется критическими точками II -го рода. Необходимо дополнительно исследовать вопрос о наличии перегибав каждой критической точке.

Теорема (достаточное условие точки перегиба). Пусть функция  имеет вторую производную в некоторой окрестности точки . Тогда, если в пределах указанной окрестности имеет разные знаки слева и справа от точки , то график  имеет перегиб в точке .

Асимптоты графика функции. Определение 1. Прямая  называется асимптотой кривой L, если расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки по кривой к бесконечности. Существует три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Определение 2. Прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции , если хотя бы один из односторонних пределов равен , т. е. или

Определение 3. Прямая у=А называется горизонтальной асимптотой графика функции  при   если .

Определение 4. Прямая  ( ) называется наклонной асимптотой графика функции  при если ;

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: