Определение производной. Ее механический, геометрический и экономический смысл. Уравнения касательной и нормали к кривой. Эластичность функции.

Определение производной. Ее механический, геометрический и экономический смысл Определение. Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента при произвольном стремлении , то этот предел называется производной функции в точке  и обозначается :

 (1)

Механический смысл производной: производная функции в точке , есть скорость изменения функции в точке .

Так как при различных значениях аргумента x скорость изменения функции различна, то производная функции является функцией от x: .

Экономический смысл производной: производная объема произведенной продукции по времени

есть производительность труда z(t) в момент времени

Уравнения касательной и нормали к кривой. Пусть f ( x ) определена на некотором промежутке (a, b). Тогда  тангенс угла наклона секущей МР к графику функции.

 

,

 

где a - угол наклона касательной к графику функции f ( x ) в точке (x₀, f(x₀)).

 

           Угол между кривыми может быть определен как угол между касательными, проведенными к этим кривым в какой- либо точке.

 

           Уравнение касательной к кривой:  

 

           Уравнение нормали к кривой: .

 

Фактически производная функции показывает как бы скорость изменения функции, как изменяется функция при изменении переменной.

Эластичность функции.

Производная суммы, разности, произведения и частного функций.

Теорема.

Если функции  и  дифференцируемы в точке х, то в этой точке дифференцируемы функции , ,  (при условии, что ) и при этом

;

;

, .

 

Следствия

1. , где .

2. Если , то .

3. , где .

 

 

Производная сложной и обратной функций. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций. Логарифмическое дифференцирование.

Производная сложной функции. Пусть  и , тогда  − сложная функция с промежуточным аргументом u и независимым аргументом х.

Теорема.

Если функции  имеет производную  в точке х, а функция  имеет производную  в соответствующей точке , то сложная функция  в точке х имеет производную , которая находится по формуле:

 или = .

Так, если , , , , то

.

Производная обратной функции Если  и  − взаимо-обратные дифференцируемые функции и , то

 или ,

т.е. производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции.

 

Записывают:  или .

Производная функции, заданной параметрически. Зависимость между переменными х и y может быть задана параметрически в виде двух уравнений:

где t − вспомогательная переменная (параметр).

Функцию , определяемую этими уравнениями, можно рассматривать как сложную функцию , где .

По правилу дифференцирования сложной функции имеем:

.

Так как , то

.

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: