Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Определение. Дифференциальное уравнение вида

                     

в котором коэффициенты при дифференциалах можно разложить на множители, зависящие только от  и только от , называется уравнением с разделяющимися переменными.

Разделим уравнение на ,     получим

Далее

                               

Проинтегрировав обе части уравнения , получим общий интеграл уравнения :

Замечание 1. При делении обеих частей уравнения на произведение  могут быть потеряны частные решения, обращающие в нуль произведение .

Замечание 2. Уравнение с разделенными переменными является частным случаем уравнения с разделяющимися переменными.

 

Однородные дифференциальные уравнения.

Определение. Функция  называется однородной функцией степени , если для   выполняется тождество

                                     

Определение. Дифференциальное уравнение первого порядка

                                     

называется однородным, если  - однородные функции одной и той же степени.

Замечание. Всякая однородная функция нулевой степени является функцией отношения её аргументов:

                                            

Тогда любое однородное дифференциальное уравнение может быть записано в следующем виде:

                                          

Однородное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки

                                                           

тогда                                                 

 

 

Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернулли.

Линейные дифференциальные уравнения.. Линейными дифференциальными уравнениями первого порядка называются уравнения, линейные относительно неизвестной функции и её производной.

Линейное дифференциальное уравнение имеет вид:

                                    

где  и   - непрерывные функции от .

Замечание 1.  и  входят в уравнение (20) только в первой степени.

Замечание 2.  или  могут быть постоянными числами, если же они одновременно являются константами, то уравнение будет уравнением с разделяющимися переменными.

Замечание. В отдельных случаях дифференциальное уравнение нелинейное относительно  и  является линейным относительно  и . Такое уравнение имеет вид: 

                                                       

где  и  - непрерывные функции от или могут быть константами.

Уравнение Бернулли

Уравнение вида    называется уравнением Бернулли, где   и  - непрерывные функции от , , .

Уравнение Бернулли приводится к линейному следующим образом:

Разделим все члены уравнения на

                              

Сделаем замену:

Тогда

Подставим    в уравнение вместо  

Умножим полученное уравнение на :

                                

Преобразованное уравнение является линейным относительно
и .  

Решив его, найдем общий интеграл уравнения 

Далее, подставив , получим общее решение уравнения Бернулли

 

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: