Производные и дифференциалы функции нескольких переменных.

 

Если существует предел отношения  частного приращения  функции в точке  к соответствующему приращению  аргумента  при  то этот предел называется частной производной функции  в точке  по аргументу :

Для частных производных общеприняты следующие обозначения:

Дифференциалом  дифференцируемой в точке  функции  называется главная линейная относительно приращений аргументов часть  приращения функции в точке . Если все коэффициенты  в представлении  приращения дифференцируемой функции равны нулю, то дифференциал  функции в точке М считается равным нулю.

Таким образом, дифференциалом  дифференцируемой в точке  функции  называется выражение

Пусть частная производная  по аргументу  функции , определенной в области  существует в каждой точке  области. В этом случае указанная частная производная представляет собой функцию переменных  также определенную в области . Если эта функция  имеет частную производную по аргументу  в некоторой точке  области , то ее называют второй частной производной, или частной производной второго порядка функции  в точке  сначала по аргументу  а затем по аргументу  и обозначают одним из следующих символов:

При этом если  то частную производную  называют смешанной частной производной второго порядка. Аналогично понятию второй частной производной, можно последовательно ввести понятие третьей частной производной, затем четвертой и т. д.

Так как частная производная функции по аргументу  определяется как обыкновенная производная функции одной переменной  при фиксированных значениях остальных переменных, то методика вычисления частных производных высших порядков предполагает умение вычислять только обыкновенные производные первого порядка.

Принцип, по которому мы находили частные производные высших порядков, мы можем применить к нахождению дифференциалов высших порядков:

 

27 Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

Пусть N и N₀ – точки данной поверхности. Проведем прямую NN₀. Плоскость, которая проходит через точку N₀, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN₀ и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN₀.

Нормалью к поверхности в точке N₀ называется прямая, проходящая через точку N₀ перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.

В какой-либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.

Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М₀(х₀, у₀), касательная плоскость в точке N₀(x₀,y_0,(x₀,y₀)) существует и имеет уравнение:

                        

Уравнение нормали к поверхности в этой точке                                             

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: