ГЛАВА 2. Предел и непрерывность функции одной переменной

Б. Теорема о пределе суперпозиции

       Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция  определена на множестве ,  – точка сгущения множества  и существует предел

.

(2)

Пусть, кроме того, функция  определена на множестве , – точка сгущения множества  и существует предел.

.

(3)

Тогда, если , то на множестве  имеет смысл суперпозиция  и существует предел.

.

(4)

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную окрестность  точки . Тогда, в силу равенства (3), найдется окрестность  точки  такая, что

(5)

В свою очередь, в силу равенства (2), для окрестности  точки  найдется такая окрестность  точки , что

,

а так как  и по условию , то отсюда следует, что

.

(6)

Из включений (5) и (6) следует, что

.

Таким образом, для произвольно выбранной окрестности  точки  нашлась такая окрестность  точки , что . По определению предела это и означает, что имеет место равенство (4) □

Односторонние пределы

       Пусть  - точка сгущения множества . Тогда она является точкой сгущения, по крайней мере, одного из множеств

и

Вместе с тем, точкой сгущения обоих этих множеств, одновременно, она может и не быть, так как одно из них может быть, например, пустым.

       Пусть . Положим  и .

       Определение 1. Пусть  - точка сгущения множества  (соотв., ). Если существует предел  (соотв., ), то он называется левосторонним (соотв., правосторонним) пределом функции  в точке , или также пределом функции  при  слева (соотв., при  справа).

       В отличие от левостороннего и правостороннего пределов «обычный» предел функции  при  называется иногда двусторонним.

       Левосторонний предел функции  в точке  обозначается обычно одним из символов

 или ,

а правосторонний, соответственно, – одним из символов

 или ..

    Замечание 1. Поскольку односторонние пределы являются в то же время и обычными пределами, то для них справедливы все теоремы, которые устанавливаются для обычных двусторонних пределов.

            

            

       Теорема 1. Пусть ,  и  – точка сгущения каждого из множеств  и . Тогда, если существуют равные между собой односторонние пределы  и , то существует и равный им двусторонний предел

= = .

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что пересечение любых двух окрестностей точки  является окрестностью этой точки.

       Пусть

= =

и  - произвольная окрестность точки .

       По определению  имеем:  - окрестность точки точки  такая, что

(1)

       Аналогично, по определению  имеем:  - окрестность точки  такая, что

(2)

       Рассмотрим теперь следующую окрестность точки : . Очевидно,

 и .

Следовательно,

,

и, кроме того, ясно, что

.

Поэтому из (1) и (2) следует, что

В силу произвольности выбранной окрестности  точки , это и означает, что  □

      
§4. Расширение понятия предела: бесконечные пределы и пределы в бесконечности

    Определения. 1. Окрестностью точки  в  называется всякое множество , которое содержит некоторую -окрестность  этой точки.

       2. Окрестностью точки  в  называется любой промежуток вида , где .

       3. Окрестностью точки  в  называется любой промежуток вида , где .

       4. Пусть  и –окрестность этой точки (в ). Тогда множество

называется проколотой окрестностью точки .

       5. Точка  называется точкой сгущения множества , если для любой окрестности  этой точки

Æ.

       Теперь естественным образом можно расширить понятие предела  для случая, когда обе или одна из точек  и  являются бесконечными точками расширенной числовой оси . Соответствующее определение почти дословно повторяет определение 2” из §1.

       Определение 6. Пусть  – точка сгущения множества  и функция  определена на множестве . Конечное или бесконечное число (точка)  называется пределом функции  при  (или в точке ), если для любой окрестности  точки  (в ) существует такая окрестность  точки  (в ), что

.

       Замечание 1. Для различных типов точек  и  определение 5 можно детализировать с учетом определения окрестностей для соответствующих типов точек. Например, равенство  означает, что  такое, что .

       Упражнение 1. По аналогии с тем, как это сделано в замечании 2, сформулировать, что означает

       А) ,

       Б) ,

       В) ,

       Г)      ( ),

       Д)      ( ),

       Е)        ( ),

       Ж)        ( ).

       Замечание 2. Если существуют пределы функции  как при , так и при , причем

,

то пишут

.

 

    §5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

       Определение 1. Пусть функция  определена на множестве  и  - его точка сгущения. Функция  называется бесконечно малой при  если .

    Упражнения. 1. Покажите, что - бесконечно малая функция при .

           2. Докажите, что функция  - бесконечно малая при  в том и только том случае, если функция - бесконечно малая при .

    Следующая теорема является простым следствием теоремы о пределе суммы.

       Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при  функций есть бесконечно малая при  функция.

        Теорема 2. Произведение бесконечно малой при  функции  и ограниченной в окрестности точки  функции  является бесконечно малой при  функцией.

    Замечание 1. Точнее в этой теореме предполагается, что функция  ограничена на множестве , где  – некоторая окрестность точки , которая является точкой сгущения множества  (это же множество, без ущерба для общности, можно считать и областью определения функции ).

    С учетом определения предела функции по Гейне, эта теорема является прямым следствием аналогичной теоремы для числовых последовательностей (теоремы о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность).

       Определение 2. Пусть – точка сгущения множества . Функция  называется бесконечно большой при , если .

       Теорема 3 (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими). Пусть  - точка сгущения множества  и  на  (или, хотя бы, в некоторой окрестности точки ). Тогда

1) если  – бесконечно малая при  функция, то  – бесконечно большая при  функция;

2) если же  – бесконечно большая при  функция, то  – бесконечно малая при  функция.

       Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Выберем произвольное  и положим . Так как , то найдется такая окрестность  точки , что

и, следовательно, . В силу произвольности  это и означает, что  – бесконечно большая при  функция.

       2) Возьмем произвольное  и положим . Поскольку , то найдется такая окрестность  точки , что

,

Поэтому , т.е. то  – бесконечно малая при  функция □

 

§6. Символы «о» и «О». Эквивалентные при  функции.

       Пусть функции  и  определены на множестве  и  – точка сгущения множества . Пусть также в некоторой проколотой окрестности  точки  функция  отлична от нуля (точнее, ). Там где это ниже необходимо по смыслу, будем также считать, что в той же проколотой окрестности отлична от нуля и функция .

       Определения: 1. Если 

,

то говорят, что функция  есть о-малое от функции  при , и пишут

 при .

       2. Если функция  ограничена в некоторой проколотой окрестности  точки , т.е. если она ограничена на множестве , то говорят, что функция  есть о-большое от функции  при , и пишут

 при .

       3. Говорят, что функции  и  одного порядка при , если

 и   при .

       4. Говорят, что функции  и  асимптотически равны при , если

.

    Замечания: 1. Как следует из определений 1 и 2, соответственно, запись  (при ) означает, что функция  – бесконечно малая при , а запись  (при ) означает, что функция  ограничена в окрестности точки .

           2. Если  при , то в силу теоремы о локальной ограниченности функции, имеющей (конечный) предел, тем более  при .

    Упражнение 1. Покажите, что (функции  и  – функции одного порядка) ⇔ ( , - окрестность точки , что  при ).

 

       Определения: 5. Пусть  и  – бесконечно малые при  функции. Функция  называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией , если  при .

       6. Если бесконечно малые при  функции  и  асимптотически равны, то говорят, что они эквивалентны при , при этом пишут ~  ( ).

       Теорема 1. Пусть  и  при . Тогда

[ ~  ( )] ⇔ [ ≜  при ]

 

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость (⇒). Так как ~  ( ), то

,

т.е.  при .

       Достаточность (⇐). Поскольку  при , то

,

т.е. ~  ( ) □

       Теорема 2. Пусть и  – бесконечно малые при  функции, причем ~ , а ~  при . Тогда если

,

то и

.

 

    Замечание 3. Иными словами в этой теореме утверждается, что при отыскании предела частного бесконечно малых функций, каждую из этих бесконечно малых можно заменить на эквивалентную бесконечно малую.

 

       Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Поскольку

и по условию

,

,

,

то по теореме о пределе частного имеем

□

 

       По аналогии с определениями 5 и 6 вводятся следующие определения для бесконечно больших функций.

       Определения: 7. Пусть  и  – бесконечно большие при   функции. Функция  называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией , если  – бесконечно большая при  функция, т.е. если  при .

       8. Если бесконечно большие при  функции  и  асимптотически равны при , то говорят, что они эквивалентны при .

 

    Замечание 4. Теоремы 1 и 2 при надлежащих изменениях сохраняют свою силу для бесконечно больших функций.

 

           Определение 9. Пусть  и  – бесконечно малые (бесконечно большие) при  функции. Если  и функции  и  одного порядка при  (здесь ), то говорят, что  – бесконечно малая (бесконечно большая) порядка  по сравнению .

       Определение 10. Пусть  и  – бесконечно малые (бесконечно большие) при  функции. Если  и  ~  при , то говорят, что функция  (при сравнении с ) имеет главную часть

 

 

Понятие непрерывной функции

    Определение 1. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого  существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенству

,

(1)

справедливо также и неравенство

(2)

        

           Замечание 1. Данное определение иногда называется определением непрерывности функции на языке . По форме оно явно напоминает определение предела функции в форме Коши, при этом в отличие от него здесь требуется, чтобы точка  принадлежала множеству , но не требуется, чтобы она была точкой сгущения этого множества.

 

       В связи с последним замечанием отметим, что если точка  не является точкой сгущения множества , то она называется изолированной точкой этого множества. Иными словами точка  называется изолированной точкой множества , если существует такая ее окрестность , что Æ или, что тоже самое, .

           Замечание 2. Согласно определению 1 в любой изолированной точке своей области определения всякая функция является непрерывной. Действительно, каково бы ни было  по определению изолированной точки можно выбрать столь малое , что  и, следовательно, при этом  среди точек множества  неравенству (1) будет удовлетворять только точка , но для  неравенство (2) очевидно выполняется для любой функции .

 

           Замечание 3. В силу того, что для  неравенство (2) выполняется очевидным образом, можно заключить, что в том случае, когда точка  является точкой сгущения множества , неравенство (1) можно заменить неравенствами: , при этом определение 1 превратится в определение предела  при . Таким образом, можно сказать, что если точка  является точкой сгущения множества , то функция  будет непрерывной в этой точке в том и только том, случае, когда .

           Замечание 4. На языке окрестностей определение 1 можно переформулировать следующим образом:

           Определение 1’. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любого  существует такое , что  

(т.е.  ).

 

           Это определение, а значит и определение 1, очевидно равносильно следующему определению:

           Определение 1”. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой окрестности  точки  существует такая окрестность  точки , что

.

 

       С учетом замечаний 2 и 3, теоремы о равносильности определений предела по Коши и по Гейне, а также с учетом того, что всякую точку  можно представить в виде ,^*) заключаем, что определения 1 и 1’ равносильны следующему определению:

       Определение 2. Функция , , называется непрерывной в точке , если для любой последовательности точек , , последовательность  сходится и

.

       Как будет показано далее все элементарные функции являются непрерывными в своих областях определения. В связи с этим напомним, что к числу, так называемых, основных элементарных функций относятся:

– постоянная функция:

– степенная функция: ;

– показательная функция: ;

– логарифмическая функция: ;

– тригонометрические функции: 

;

 

– обратные тригонометрические функции:

.

В свою очередь, элементарной называется всякая функция, которая может быть получена из основных элементарных функций с помощью конечного числа арифметических операций и образования суперпозиций.

Теорема 1 (О непрерывности сужения). Пусть функция  непрерывна в точке  и  причем . Тогда функция  также непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о вытекает из определения сужения и определения непрерывности.

 

Теорема 2 (Арифметические свойства непрерывных функций). Пусть функции  и  определены на множестве  и непрерывны в точке . Тогда и функции:

, , ,  (при  на )

 непрерывны в точке .

Теорема 3 (О локальной ограниченности). Пусть функция  определена на множестве  и непрерывна в точке . Тогда существует такая окрестность  точки , что функция  ограничена на множестве .

Теорема 4 (О стабилизации знака). Пусть функция  определена на множестве  и непрерывна в точке . Тогда если , то существует такая окрестность  точки , что .

Наконец отметим еще две простые теоремы

Теорема 5. Пусть функция  определена на множестве  и непрерывна в точке, а функция определена на множестве  и непрерывна в точке , причем  и . Тогда сложная функция  непрерывна в точке .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную последовательность , . Так как  - непрерывна в точке , то

,

а так как , то . Поэтому, в силу непрерывности функции  в точке , имеем

,

то есть

,

что и означает, что функция  - непрерывна в точке . 

 

Пусть функция  определена на множестве  и . Рассмотрим множества:

Определение 1. Функция  называется непрерывной слева (непрерывной справа) в точке , если функция  (соответственно ) непрерывна в точке .

Замечание. На языке  определение, например, непрерывности слева, формулируется следующим образом: функция  называется непрерывной слева в точке , если  такое, что  удовлетворяющего неравенствам

 справедливо неравенство

.

Теорема 6. Функция  непрерывна в точке  она непрерывна в ней слева и справа одновременно.

Если  - изолированная точка множества , то утверждение очевидно. Если же  - точка сгущения множества , то оно вытекает из аналогичной теоремы об односторонних пределах.

 

    §9. Точки разрыва функции. Классификация точек разрыва.

    Определение 1. Пусть функция  определена на множестве  и . Если функция  непрерывна в точке , то она называется точкой непрерывности функции . В противном случае, точка  называется точкой разрыва функции .

    Замечание 1. Так как всякая изолированная точка множества  является точкой непрерывности определенной на нем функции , то точками разрыва могут быть только точки сгущения множества .

    Замечание 2. Если  – точка разрыва функции , то либо предел  не существует, либо он существует, но .

      

       Определение 2. Точка разрыва 1-го рода называется точкой устранимого разрыва функции , если в ней существует предел функции , но он не равен ее значению в этой точке.

       Замечание 4. Если точка  – точка устранимого разрыва функции , то изменив ее значение в этой точке на значение, равное величине предела в этой точке, получим непрерывную функцию в этой точке

.

Этим и объясняется термин точка устранимого разрыва.

 

       В следующих двух определениях предполагается, что точка  принадлежит области определения функции  вместе с некоторой своей окрестностью .

    Определение 3. Пусть  – точка разрыва функции . Если оба односторонних предела  и  существуют и конечны, то она называется точкой разрыва 1-го рода

       Определение 4. Точка разрыва функции называется точкой разрыва 2-го рода, если она не является точкой разрыва 1-го рода.

    Замечание 3. Иными словами точка разрыва функции является точкой разрыва 2-го рода, если в ней хотя бы один из односторонних пределов не существует, либо является бесконечным.

 

    Проиллюстрируем данные выше определения на некоторых примерах.

           Пример 1 (всюду разрывной функции). Функция Дирихле, определенная на всей числовой оси равенствами:

является разрывной в каждой точке . Действительно, для любой последовательности рациональных чисел , сходящейся к точке , имеем , а для любой последовательности иррациональных чисел , , в свою очередь, имеем . Следовательно, ни в одной точке  не существует предел  и, следовательно каждая точка  – точка разрыва функции Дирихле. Более того, нетрудно видеть, что ни в одной точке  не существуют оба односторонних придела  и , так как описанные выше последовательности  и , с одной стороны, можно выбрать так, что , а с другой стороны, можно выбрать и так, что . Таким образом, каждая точка  – точка разрыва 2-го рода функции Дирихле.

 

           Пример 2. Функция «сигнум »

 

очевидно, разрывна в точке , причем эта точка – точка разрыва 1-го рода.

           Пример 3. Функция  разрывна в точке , которая, очевидно, является точкой устранимого разрыва.

        

        

Формула Тейлора.

 

    n.1. Формула Тейлора для многочлена.

Глава 1 Рассмотрим некоторый многочлен степени  с вещественными коэффициентами:

Глава 2

Глава 3 (1)

Зададим произвольное вещественное число  и в правой части равенства (1) представим  в виде :

Раскрыв здесь квадратные скобки и приведя подобные члены при одинаковых степенях , в результате получим разложение многочлена (1) по степеням :

,

(2)

где  - постоянные, зависящие от исходных коэффициентов и от числа  .

    При больших , на практике, указанный выше способ разложения многочлена по степеням  весьма трудоемок. Оказывается, имеется простой способ отыскания коэффициентов  разложения многочлена по степеням . Будем последовательно дифференцировать равенство (2):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

    Полагая в каждом из этих равенств  получим

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

    Если кроме того положить  в (2), то считая, как обычно,  и  будем также иметь

    Таким образом, для коэффициентов разложения (2) многочлена по степеням имеем следующие формулы

,

(3)

    В итоге заключаем, что разложение (2) можно записать в виде (4):

(4)

    Формула (4) называется формулой Тейлора по степеням  для многочлена  степени . Из вывода этой формулы следует, что разложение многочлена по степеням  является единственным, так как коэффициенты любого такого разложения однозначно определяются по формулам (3).

    Формулу Тейлора по степеням  для многочлена , то есть формулу

называют также формулой Маклорена.

 

        

    n.2. Локальная формула Тейлора.

    Пусть функция  раз дифференцируема в точке . Напомним, это означает, что существует такая окрестность  точки , в которой определена сама функция  и существуют конечные производные

при этом в точке  существует также конечная производная . Поэтому, в частности, определен многочлен

,

называемый ( -ым) многочленом Тейлора функции  в точке .

    Положим

Тогда

Эта формула или, в более явном виде, формула

(1)

называется формулой Тейлора функции в точке , а функция  - остаточным членом формулы Тейлора.

    Ниже будет доказано, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в виде

(при )

(2)

    Остаточный член в такой форме обычно называют остаточным членом в форме Пеано, а формулу Тейлора с остаточным членом в такой форме, т. е. формулу

(3)

 

называют, соответственно, формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, также, локальной формулой Тейлора.

    Лемма 1. Пусть функция  раз дифференцируема в точке  и

.

(4)

Тогда

.

(5)

 

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение леммы по индукции.

    При  в силу дифференцируемости функции  в точке  имеем

А так как по условию (4)

,

то это означает, что

таким образом, при  утверждение леммы справедливо.

    Предположим, что оно справедливо при , и покажем, что тогда оно справедливо и при .

    Действительно, поскольку , то функция  имеет в некоторой окрестности  производную , и по условию (4) (для )

Тогда по индукционному предположению

(6)

    Далее, так как функция  раз дифференцируема в точке  и , то для любой точки  из окрестности , в которой существует конечные производные

,

Имеет место и формула конечных приращений Лагранжа

,

(7)

где точка  лежит между точками  и . (Рекомендуется проверить, что на отрезке с концами в точках  и  функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа).

    Поскольку по условию , то из формул (6) и (7) следует, что

Полагая здесь

будем иметь

Поэтому равенство (5) при  будет доказано, если будет показано, что

(8)

Действительно, так как точка  лежит между точками  и , то

(9)

и, следовательно,

(10)

Остаётся заметить, что в силу (8)  при  и, значит,

Тогда по принципу двух милиционеров из (10) следует (8) 

    Теорема 1. Если функция  раз дифференцируема в точке , то для нее имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (3). 

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что при выполнении условий теоремы функция

Удовлетворяет условиям леммы 1 

    Замечание 1. Вот другая, равносильная формулировка теоремы 1: Если функция  имеет в точке  конечные производные до порядка  включительно, то для нее имеет место локальная формула Тейлора (3).

 

    n^о3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши и в форме Лагранжа.

Теорема 2. Пусть на отрезке  с концами в точках  и  функция  и все ее производные до порядка  включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная . Тогда, для любой непрерывной на этом отрезке функции , дифференцируемой во внутренних точках этого отрезка и имеющей в каждой из этих точек отличную от нуля производную, существует точка , лежащая между точками  и , такая, что остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в виде

.

(1)

                                                                

    Д о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке  с концами в точках  и  рассмотрим функцию переменной :

 

,

где

.

    Из условий теоремы и определения функции  следует, что она непрерывна на отрезке  и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. По условию теоремы функция  обладает теми же свойствами.

Таким образом, функции  и  на отрезке I удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении для дифференцируемых функций.

    По этой теореме между точками  и  найдется такая точка , что

(2)

Поскольку

,

(3)

то нетрудно видеть, что

.

(4)

                                                                                      

К тому же, как следует из (3),

(5)

и         

(6)

                                                                           

Из формулы (2), (4) – (6) имеем

В свою очередь отсюда, с учетом того, что по условию теоремы

(  - внутренняя точка отрезка ), получим искомое равенство (1).

    Следствие. Если на отрезке с концами в точках  и  функция  и все ее производные до порядка  включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная , то остаточный член в формуле Тейлора

(7)

может быть записан, как в форме Коши:

,

(8)

так и в форме Лагранжа:

(9)

(здесь  лежит между точками  и , при этом является, вообще говоря, разной в формулах (8) и (9)).

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (8) вытекает из формулы (1), если в ней положить

В свою очередь, формула (9) вытекает из той же формулы (1), если в последней положить

  

Таким  образом, если выполнены условия следствия из теоремы 2, то формулу Тейлора для функции  можно записать как в виде

(10)

(формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа),

так и в виде                                               

(11)

(формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши).

    n^о4. Разложение некоторых элементарных функцией по формуле Тейлора.

    Если , то формула Тейлора функции  имеет особенно простой вид:

(1)

В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид

,

,

и

    Укажем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

    . Пусть . Эта функция имеет производные любого порядка и в любой точке  (в таких случаях говорят, что функция бесконечно дифференцируема ).

    Как известно

Поэтому формула Маклорена функции  имеет вид ( ):

где остаточный член можно записать в любой из форм:

 ( в форме Пеано)

 ( в форме Лагранжа)

и

 (в форме Коши),

где точка  в каждой из двух последних формул лежит между точками  и .

    . Пусть . Так как эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и

,

 

то

;

и, следовательно,

При этом остаточный член в форме Пеано имеет вид:

,

соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом:

(2)

а остаточный член в форме Коши имеет вид:

(3)

 

    Замечание 1. Для доказательства, например, равенства (2) достаточно заметить, что остаточный член  в форме Лагранжа в общем случае имеет вид:

а затем убедиться в том, что для функции  имеют место равенства

    . Пусть . Эта функция также бесконечно дифференцируема . Поскольку здесь

,

 то

Поэтому имеем,

при этом остаточный член имеет вид:

 

( в форме Пеано);

 
( в форме Лагранжа);

( в форме Коши).

    Приведем без доказательства еще несколько разложений по формуле Маклорена:

.

.

.

 

 

 

 

ГЛАВА 2. Предел и непрерывность функции одной переменной

    §1. Понятие предела числовой функции.

    Напомним, что числовой функцией или функцией одной (вещественной) переменной называется отображение , область определения которой есть числовое множество, т.е. .

       Пусть  и  – окрестность точки  (т.е.  – такое числовое множество, которое содержит некоторую -окрестность  ( )точки ). Множество  далее будем называть проколотой окрестностью точки .

       Определение 1. Точка  называется точкой сгущения или предельной точкой множества , если в любой ее проколотой окрестности имеется хотя бы одна точка этого множества, т.е. для любой окрестности  точки  

Æ.

     

 

    Определение 2 (предела функции по Коши). Пусть функция  определена на множестве  и  – точка сгущения этого множества. Число  называется пределом функции  при  или, также, пределом функции  в точке , если для любого  существует такое , что для любого , удовлетворяющего неравенствам:

(1)

имеет место неравенство

(2)

           

       Если число  является пределом функции  в точке , то пишут

, или , или .

    Замечание 3. Определение предела  по Коши часто называют определением предела на языке . На языке окрестностей оно, очевидно, может быть переформулировано следующим образом:

           Определение 2^’. Пусть функция  определена на множестве  и  – точка сгущения этого множества. Число  называется пределом функции  при  или, также, пределом функции  в точке , если для любого  существует такое , что

(т.е. ).

           В свою очередь, нетрудно видеть, что это определение равносильно следующему определению.

           Определение 2”. Пусть функция  определена на множестве  и  – точка сгущения этого множества. Число  называется пределом функции  при  или, также, пределом функции  в точке , если для любой окрестности  точки  существует такая окрестность  точки , что

.

       Определение 3 (предела по Гейне). Пусть функция  определена на множестве  и  – точка сгущения этого множества. Число  называется пределом функции  при  или, также, пределом функции  в точке , если для любой последовательности  последовательность  сходится и

.

(3)

        

    Замечание 4. Последнее определение называют также определением предела функции на языке последовательностей.    

 

    Теорема 1. Определения предела функции по Коши и по Гейне равносильны.

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Требуется доказать, что если число  является пределом функции  при  в смысле одного из определений 2 и 3, то оно является также и ее пределом в точке  (точке сгущения множества ) и в смысле другого из этих определений.

       Пусть

(в смысле Коши)

(4)

Выберем произвольную последовательность

и произвольное . В силу условия (4) и определения 2 найдется  такое, что для любого , удовлетворяющего неравенствам (1) имеет место и неравенство (2). В свою очередь, поскольку , то для этого  найдется такой номер , что

,

а так как по условию  и , то по определению 2

.

(5)

 

В силу произвольности  это и означает, что имеет место равенство (3), т.е.

(в смысле Гейне)

(6)

       Обратно, пусть имеет место равенство (6). Докажем, что тогда имеет место и равенство (4). Предположим противное. Тогда :

.

Зафиксируем это . Для него, в частности, :

,

при этом очевидно, что . Таким образом, нашлась последовательность  такая, что

(7)

Однако, для той же последовательности и того же  в силу условия (6), определения 3 и определения предела числовой последовательности найдется такой номер , что будет иметь место и неравенство (5), противоречащее неравенству (7). Следовательно (6)⇒(4) □

 

    Следующие теоремы, с учетом определения предела функции по Гейне являются прямыми следствиями аналогичных теорем о пределе последовательности.

    Теорема 2. Если функция  имеет предел в точке , где  – точка сгущения множества , то этот предел единственный.

       Теорема 3 (об арифметических свойствах предела функции). Пусть функции  и  определены на множестве  и  - точка сгущения этого множества. Тогда если существуют пределы

 и ,

то существуют и пределы

, , ,

(последний при дополнительном предположении, что и ),

причем

       а) ,

       б)  (теорема о пределе суммы и разности),

       в)   (теорема о пределе произведения),

       г)  (теорема о пределе частного).

       Теорема 4 (о предельном переходе в неравенстве). Пусть функции  и  определены на множестве  и  - точка сгущения множества . Тогда если

и существуют пределы  и , то

.

       Теорема 5 (принцип двух милиционеров). Пусть функции ,  и определены на множестве  и  - точка сгущения множества . Тогда если

и существуют равные между собой пределы

 и ,

то существует и равный им предел

,

т.е.

.

        

 

 §2. Критерий Коши существования предела функции.

       Теорема  (критерий Коши). Пусть функция  определена на множестве  и  точка сгущения этого множества. Для того, чтобы существовал предел

(7)

необходимо и достаточно, чтобы

.

(8)

 

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость. Пусть существует предел (7) и для определенности пусть . Выберем произвольное . Тогда найдется такое , что для любых , удовлетворяющих неравенствам  и  справедливы неравенства

 и .

Поскольку , то тогда при тех же  справедливо и неравенство (8). Необходимость доказана.

       Достаточность. Покажем сначала, что для любой последовательности , последовательность  – фундаментальная и, следовательно, она имеет предел. Выберем произвольную последовательность  и произвольное . По условию  такое, что  справедливо неравенство (8). Зафиксируем это . Тогда в силу того, что  и  найдется такой номер , что при

.

Таким образом,  при , но тогда по выбору  имеем

.

В силу произвольности выбранного  это и означает, что последовательность  – фундаментальная.

       Покажем теперь, что для любой последовательности  предел  один и тот же. Тогда в силу определения предела функции по Гейне это и будет означать, что существует предел (7). Предположим противное, т.е. пусть имеются две последовательности  и  ( ), которые сходятся к точке  и , , причем . Рассмотрим последовательность

.

Очевидно, она сходится к точке , при этом все ее точки принадлежат множеству  и отличны от точки . Тогда по доказанному выше последовательность

сходится и, следовательно, любые ее подпоследовательности имеют один и тот же предел, а это противоречит тому, что ,  и □

    § 2а. Локальные свойства функций, имеющих предел.

        Определение 1. Пусть функция  определена на множестве  и  – некоторое его подмножество ( ). Говорят, что функция  ограничена на множестве , если его образ  есть ограниченное множество.

           Замечание 1. Аналогично вводятся понятия ограниченности функции  на множестве  сверху и снизу.

           Замечание 2. Ограниченность функции  на множестве  очевидно означает, что .

 

       Теорема 1 (о локальной ограниченности). Пусть функция  определена на множестве  и  - точка сгущения этого множества. Тогда если существует предел , то в некоторой окрестности точки  функция  является ограниченной. Точнее, существует такая окрестность  точки , что функция  ограничена на множестве  .

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть  и  Тогда по определению предела для  найдется такая окрестность  точки , что

А так как

,

то 

 

Следовательно функция  ограничена на множестве , а тогда она, очевидно, ограничена и на множестве □

 

       Ниже знак числа  обозначается через .

       Теорема 2 (о стабилизации знака). Пусть функция  определена на множестве  и  - точка сгущения этого множества. Тогда если существует отличный от нуля предел , то в некоторой проколотой окрестности точки  функция  имеет тот же знак, что и этот предел: точнее, существует такая окрестность  точки , что

(1)

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности .

Тогда  - некоторая окрестность точки  . По определению предела существует такая окрестность  точки , что , а по выбору окрестности  это означает, что , и, следовательно, имеет место равенство (1) □

        § 2б. Предел суперпозиции.
       Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция  определена на множестве ,  – точка сгущения множества  и существует предел

.

(2)

Пусть, кроме того, функция  определена на множестве , – точка сгущения множества  и существует предел.

.

(3)

Тогда, если , то на множестве  имеет смысл суперпозиция  и существует предел.

.

(4)

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную окрестность  точки . Тогда, в силу равенства (3), найдется окрестность  точки  такая, что

(5)

В свою очередь, в силу равенства (2), для окрестности  точки  найдется такая окрестность  точки , что

,

а так как  и по условию , то отсюда следует, что

.

(6)

Из включений (5) и (6) следует, что

.

Таким образом, для произвольно выбранной окрестности  точки  нашлась окрестность  точки  такая, что . По определению предела это и означает, что имеет место равенство (4) □

        

           

 

12345678Следующая ⇒

Поделиться: