Б. Теорема о пределе суперпозиции

       Теорема (о пределе суперпозиции). Пусть функция  определена на множестве ,  – точка сгущения множества  и существует предел

.

(2)

Пусть, кроме того, функция  определена на множестве , – точка сгущения множества  и существует предел.

.

(3)

Тогда, если , то на множестве  имеет смысл суперпозиция  и существует предел.

.

(4)

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Выберем произвольную окрестность  точки . Тогда, в силу равенства (3), найдется окрестность  точки  такая, что

(5)

В свою очередь, в силу равенства (2), для окрестности  точки  найдется такая окрестность  точки , что

,

а так как  и по условию , то отсюда следует, что

.

(6)

Из включений (5) и (6) следует, что

.

Таким образом, для произвольно выбранной окрестности  точки  нашлась такая окрестность  точки , что . По определению предела это и означает, что имеет место равенство (4) □

Односторонние пределы

       Пусть  - точка сгущения множества . Тогда она является точкой сгущения, по крайней мере, одного из множеств

и

Вместе с тем, точкой сгущения обоих этих множеств, одновременно, она может и не быть, так как одно из них может быть, например, пустым.

       Пусть . Положим  и .

       Определение 1. Пусть  - точка сгущения множества  (соотв., ). Если существует предел  (соотв., ), то он называется левосторонним (соотв., правосторонним) пределом функции  в точке , или также пределом функции  при  слева (соотв., при  справа).

       В отличие от левостороннего и правостороннего пределов «обычный» предел функции  при  называется иногда двусторонним.

       Левосторонний предел функции  в точке  обозначается обычно одним из символов

 или ,

а правосторонний, соответственно, – одним из символов

 или ..

    Замечание 1. Поскольку односторонние пределы являются в то же время и обычными пределами, то для них справедливы все теоремы, которые устанавливаются для обычных двусторонних пределов.

            

            

       Теорема 1. Пусть ,  и  – точка сгущения каждого из множеств  и . Тогда, если существуют равные между собой односторонние пределы  и , то существует и равный им двусторонний предел

= = .

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Прежде всего заметим, что пересечение любых двух окрестностей точки  является окрестностью этой точки.

       Пусть

= =

и  - произвольная окрестность точки .

       По определению  имеем:  - окрестность точки точки  такая, что

(1)

       Аналогично, по определению  имеем:  - окрестность точки  такая, что

(2)

       Рассмотрим теперь следующую окрестность точки : . Очевидно,

 и .

Следовательно,

,

и, кроме того, ясно, что

.

Поэтому из (1) и (2) следует, что

В силу произвольности выбранной окрестности  точки , это и означает, что  □

      
§4. Расширение понятия предела: бесконечные пределы и пределы в бесконечности

    Определения. 1. Окрестностью точки  в  называется всякое множество , которое содержит некоторую -окрестность  этой точки.

       2. Окрестностью точки  в  называется любой промежуток вида , где .

       3. Окрестностью точки  в  называется любой промежуток вида , где .

       4. Пусть  и –окрестность этой точки (в ). Тогда множество

называется проколотой окрестностью точки .

       5. Точка  называется точкой сгущения множества , если для любой окрестности  этой точки

Æ.

       Теперь естественным образом можно расширить понятие предела  для случая, когда обе или одна из точек  и  являются бесконечными точками расширенной числовой оси . Соответствующее определение почти дословно повторяет определение 2” из §1.

       Определение 6. Пусть  – точка сгущения множества  и функция  определена на множестве . Конечное или бесконечное число (точка)  называется пределом функции  при  (или в точке ), если для любой окрестности  точки  (в ) существует такая окрестность  точки  (в ), что

.

       Замечание 1. Для различных типов точек  и  определение 5 можно детализировать с учетом определения окрестностей для соответствующих типов точек. Например, равенство  означает, что  такое, что .

       Упражнение 1. По аналогии с тем, как это сделано в замечании 2, сформулировать, что означает

       А) ,

       Б) ,

       В) ,

       Г)      ( ),

       Д)      ( ),

       Е)        ( ),

       Ж)        ( ).

       Замечание 2. Если существуют пределы функции  как при , так и при , причем

,

то пишут

.

 

    §5. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

       Определение 1. Пусть функция  определена на множестве  и  - его точка сгущения. Функция  называется бесконечно малой при  если .

    Упражнения. 1. Покажите, что - бесконечно малая функция при .

           2. Докажите, что функция  - бесконечно малая при  в том и только том случае, если функция - бесконечно малая при .

    Следующая теорема является простым следствием теоремы о пределе суммы.

       Теорема 1. Сумма любого конечного числа бесконечно малых при  функций есть бесконечно малая при  функция.

        Теорема 2. Произведение бесконечно малой при  функции  и ограниченной в окрестности точки  функции  является бесконечно малой при  функцией.

    Замечание 1. Точнее в этой теореме предполагается, что функция  ограничена на множестве , где  – некоторая окрестность точки , которая является точкой сгущения множества  (это же множество, без ущерба для общности, можно считать и областью определения функции ).

    С учетом определения предела функции по Гейне, эта теорема является прямым следствием аналогичной теоремы для числовых последовательностей (теоремы о произведении бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность).

       Определение 2. Пусть – точка сгущения множества . Функция  называется бесконечно большой при , если .

       Теорема 3 (о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими). Пусть  - точка сгущения множества  и  на  (или, хотя бы, в некоторой окрестности точки ). Тогда

1) если  – бесконечно малая при  функция, то  – бесконечно большая при  функция;

2) если же  – бесконечно большая при  функция, то  – бесконечно малая при  функция.

       Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Выберем произвольное  и положим . Так как , то найдется такая окрестность  точки , что

и, следовательно, . В силу произвольности  это и означает, что  – бесконечно большая при  функция.

       2) Возьмем произвольное  и положим . Поскольку , то найдется такая окрестность  точки , что

,

Поэтому , т.е. то  – бесконечно малая при  функция □

 

§6. Символы «о» и «О». Эквивалентные при  функции.

       Пусть функции  и  определены на множестве  и  – точка сгущения множества . Пусть также в некоторой проколотой окрестности  точки  функция  отлична от нуля (точнее, ). Там где это ниже необходимо по смыслу, будем также считать, что в той же проколотой окрестности отлична от нуля и функция .

       Определения: 1. Если 

,

то говорят, что функция  есть о-малое от функции  при , и пишут

 при .

       2. Если функция  ограничена в некоторой проколотой окрестности  точки , т.е. если она ограничена на множестве , то говорят, что функция  есть о-большое от функции  при , и пишут

 при .

       3. Говорят, что функции  и  одного порядка при , если

 и   при .

       4. Говорят, что функции  и  асимптотически равны при , если

.

    Замечания: 1. Как следует из определений 1 и 2, соответственно, запись  (при ) означает, что функция  – бесконечно малая при , а запись  (при ) означает, что функция  ограничена в окрестности точки .

           2. Если  при , то в силу теоремы о локальной ограниченности функции, имеющей (конечный) предел, тем более  при .

    Упражнение 1. Покажите, что (функции  и  – функции одного порядка) ⇔ ( , - окрестность точки , что  при ).

 

       Определения: 5. Пусть  и  – бесконечно малые при  функции. Функция  называется бесконечно малой высшего порядка по сравнению с функцией , если  при .

       6. Если бесконечно малые при  функции  и  асимптотически равны, то говорят, что они эквивалентны при , при этом пишут ~  ( ).

       Теорема 1. Пусть  и  при . Тогда

[ ~  ( )] ⇔ [ ≜  при ]

 

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость (⇒). Так как ~  ( ), то

,

т.е.  при .

       Достаточность (⇐). Поскольку  при , то

,

т.е. ~  ( ) □

       Теорема 2. Пусть и  – бесконечно малые при  функции, причем ~ , а ~  при . Тогда если

,

то и

.

 

    Замечание 3. Иными словами в этой теореме утверждается, что при отыскании предела частного бесконечно малых функций, каждую из этих бесконечно малых можно заменить на эквивалентную бесконечно малую.

 

       Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы 2. Поскольку

и по условию

,

,

,

то по теореме о пределе частного имеем

□

 

       По аналогии с определениями 5 и 6 вводятся следующие определения для бесконечно больших функций.

       Определения: 7. Пусть  и  – бесконечно большие при   функции. Функция  называется бесконечно большой высшего порядка по сравнению с функцией , если  – бесконечно большая при  функция, т.е. если  при .

       8. Если бесконечно большие при  функции  и  асимптотически равны при , то говорят, что они эквивалентны при .

 

    Замечание 4. Теоремы 1 и 2 при надлежащих изменениях сохраняют свою силу для бесконечно больших функций.

 

           Определение 9. Пусть  и  – бесконечно малые (бесконечно большие) при  функции. Если  и функции  и  одного порядка при  (здесь ), то говорят, что  – бесконечно малая (бесконечно большая) порядка  по сравнению .

       Определение 10. Пусть  и  – бесконечно малые (бесконечно большие) при  функции. Если  и  ~  при , то говорят, что функция  (при сравнении с ) имеет главную часть

 

 

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: