Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.

    Определение 1. Функция  называется равномерно непрерывной на множестве , если для любого  такое, что , удовлетворяющих неравенству

(1)

имеет место неравенство

.

(2)

                                                          

    Замечание 1. Очевидно, если функция  равномерно непрерывна на множестве , то она и непрерывна на нем, т.е. непрерывна в каждой точке этого множества. Как показывает приводимый ниже пример, обратное утверждение, вообще говоря, неверно, т.е. из непрерывности функции  на множестве , вообще говоря, не следует, что она равномерно непрерывна на этом множестве.

    Пример 1. Функция

непрерывна на множестве . Покажем, что она не является равномерно непрерывной на нем. Предположим противное, т.е. что она все же является равномерно непрерывной на множестве . Тогда  такое, что при

, ,

(3)

будет справедливо неравенство

.

(4)

           Пусть . Тогда условия (3) выполнены и, следовательно, имеет место неравенство (4). Это неравенство, в частности показывает, что при фиксированном ,  функция

ограничена на интервале . Но это противоречит тому, что . Таким образом, непрерывная на множестве  функция  не является равномерно непрерывной на этом множестве.

    Замечание 2. Отличие понятия равномерно непрерывной на множестве  функции от понятия непрерывной на нем функции состоит в том, что если функция  – непрерывна на множестве , то для каждой точки  и для каждого  существует свое, т.е. зависящее и от , и от точки  число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству

,

(5)

гарантирует выполнение неравенства

.

(6)

Если же функция  – равномерно непрерывна на множестве , то для каждого  независимо от выбора точки   существует зависящее только от выбранного  число , которое для всех , удовлетворяющих неравенству (5), гарантирует выполнение неравенства (6).

 

    Следующая теорема указывает тот важный, частный случай, когда из непрерывности функции  на множестве  следует также и ее равномерная непрерывность на том же множестве.

    Теорема 1 (Кантора). Непрерывная на отрезке  функция  равномерно непрерывна на этом отрезке.

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Пусть функция  непрерывна на отрезке , но не является равномерно непрерывной на нем. Тогда существует такое , что для любого  найдутся такие точки , , что

    Рассмотрим последовательность . Тогда, в соответствии со сказанным выше, для любого  найдутся такие , что наряду с неравенством

(7)

имеет место и неравенство

.

(8)

    Так как , то последовательность  ограничена. Тогда по теореме Больцано-Вейерштрасса из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность . Пусть . Очевидно . Рассмотрим последовательность  и покажем, что . Действительно, в силу неравенства (7) и определения подпоследовательности имеем

и, следовательно,

.

Поэтому в силу того, что

и ,

по принципу двух милиционеров имеем .

    Так как функция  непрерывна на отрезке , и, стало быть – и в точке , а 

 и ,

то

 и .

Учитывая теперь, что из неравенства (8) вытекает неравенство

, и переходя в последнем неравенстве к пределу при , получим , что противоречит выбору  □                                                                      

    Колебанием функции  на отрезке  называется величина

.

Нетрудно убедиться, что

(9)

 

 

    С учетом равенств (9) легко доказать, что справедлива следующая

    Теорема 2. Для того, чтобы функция  была равномерно непрерывной на отрезке  необходимо и достаточно, чтобы для любого  существовало такое , что для любого отрезка  длиной меньшей колебание функции  на этом отрезке было меньше , т.е. .

     

 

    Еще один критерий равномерной непрерывности можно сформулировать в терминах так называемого модуля непрерывности функции : модулем непрерывности функции , определенной на множестве  называется определенная при  функция

.

     Теорема 3. Для того, чтобы функция  была равномерно непрерывной на множестве , необходимо и достаточно, чтобы ее модуль непрерывности на этом множестве стремился к нулю при , т.е.

 

      

    §11. Теоремы о промежуточных значениях непрерывной функции.

    Теорема 1 (первая теорема Больцано-Коши). Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке   ( ) и на концах его принимает значения разных знаков ( ). Тогда найдется такая точка , в которой функция обращается в нуль:

(1)

 

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности будем считать, что

(2)

Разделим отрезок  на два средней его точкой . Тогда либо в этой точке имеет место равенство (1), либо на концах одного (и только одного) из отрезков

, ,

(3)

функция будет принимать значения разных знаков, причем, в силу (2), отрицательное значение – на левом конце и положительное – на правом. Обозначив эту половину отрезка  через . Таким образом, будем иметь:

.

(4)

       Разделим теперь пополам отрезок . Тогда опять-таки, либо в точке  имеет место равенство (1), либо на концах одной из его половин функция принимает значения разных знаков. Обозначим через  ту из этих половин, для которой

(5)

       Продолжая описанный процесс деления отрезков пополам и далее, либо через конечное число шагов мы обнаружим, что в точке деления очередного отрезка функция обращается в нуль и тем самым завершим доказательство теоремы, либо получим бесконечную последовательность вложенных друг в друга отрезков , длины которых стремятся к нулю при ,

(6)

 

при этом на концах каждого из этих отрезков функция принимает значения разных знаков, а именно,

(7)

       По лемме о вложенных отрезках рассматриваемые отрезки имеют единственную общую точку , при этом

(8)

Тогда переходя в неравенствах (7) к пределу при , с учетом непрерывности функции на отрезке  и, в частности, непрерывности ее в точке , получим

и, следовательно, , причем из неравенств (2) следует, что  □

 

       Замечание 1. Для непрерывной на некотором отрезке  функции , принимающей в каких-то двух точках этого отрезка значения разных знаков, доказанная теорема очевидно доставляет метод приближенного отыскания корней уравнения . Этот метод часто называют методом деления отрезка пополам.

 

           Замечание 2. Теорема 1 позволяет также установить наличие вещественного корня у всякого многочлена нечетной степени

Действительно, при достаточно больших по абсолютной величине значениях   этот многочлен имеет знак старшего члена, т.е. члена .  Точнее, при положительных таких  он имеет знак, равный знаку , а при отрицательных таких   он имеет обратный знак. Так как многочлен – непрерывная на всей числовой оси функция, то по теореме 1 хотя бы в одной точке  он обращается в нуль.
               

           Теорема 2 (вторая теорема Больцано-Коши).  Пусть функция  определена и непрерывна на отрезке , причем на концах этого отрезка она принимает разные значения

.

Тогда каковы бы ни было число , лежащее между  и  найдется такое , что

.

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности . Выберем произвольное , , и рассмотрим вспомогательную функцию . Она, очевидно, непрерывна на отрезке  и на его концах принимает значения разных знаков:

.

По теореме 1 существует такое , что , т.е.  или  □

 

           Следствие. Если функция  определена и непрерывна на конечном или бесконечном промежутке , то множество ее значений  также есть некоторый промежуток.

       Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть

.

Выберем произвольное . Из определения точных граней следует, что найдутся такие значения  и  ( ), что

По теореме 2 существует число , лежащее между  и , такое, что . В силу произвольности выбранного  это означает, что . С учетом определения чисел  и  отсюда следует, что множество  есть некоторый промежуток □

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: