Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии |
Теоремы Вейерштрасса о непрерывных на отрезке функциях
Теорема 1 (первая теорема Вейерштрасса). Всякая непрерывная на отрезке функция ограничена на этом отрезке. Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим противное. Тога для любого натурального найдется такая точка , что
Так как последовательность ограничена ( ), то по теореме Больцано-Вейерштрасса она содержит сходящуюся подпоследовательность . Пусть при . Очевидно, что (для того, чтобы убедиться в этом достаточно в неравенствах перейти к пределу при ). Поэтому в силу непрерывности функции на отрезке
Следовательно, последовательность ограничена, что, противоречит тому, что согласно (1) □
Пусть функция определена на множестве . Далее вместо символов и , служащих для обозначения точных верхней и нижней граней множества значений функции на множестве часто будем использовать символы и , соответственно. , . Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем, например, утверждение теоремы относительно точной верхней грани. Доказательство проведем от противного. А именно, положим и предположим, что . Тогда, очевидно, функция будет непрерывной на отрезке . Поэтому по теореме 1 она будет ограниченной на этом отрезке. В частности, найдется такое , что Следовательно , а это противоречит тому, что □ Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке обычно обозначаются символами и
С учетом следствия из второй теоремы Больцано-Коши, из второй теоремы Вейерштрасса вытекает такое Следствие. Множество значений непрерывной на отрезке функции является отрезком , где , . §12а. Непрерывность и разрывы монотонных функций. n01. Точки разрыва монотонных функций. Теорема 1 (о существовании односторонних пределов монотонной функции). Пусть функция монотонна на интервале . Тогда в каждой точке существуют конечные, односторонние пределы , причем а) если функция не убывает на интервале , то
б) если же функция не возрастает на нем, то
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть для определенности функция не убывает на интервале . Тогда при множество ее значений ограничено сверху: Пусть ≜ Из предыдущего неравенства следует, что
Так как каждую точку можно представить в виде при некотором , то по определению точной верхней грани : , а поскольку функция – неубывающая, то при имеем . В силу произвольности это означает, что и . Поэтому в силу (3) . Аналогично устанавливается, что и □
Следствие. Если функция – монотонна на интервале , то каждая точка является либо точкой непрерывности функции , либо точкой ее разрыва 1-го рода, и, следовательно, монотонная функция не может иметь точек разрыва 2-го рода. Теорема 2 (о мощности множества точек разрыва монотонной функции). Множество точек разрыва монотонной на интервале функции не более чем счетно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности пусть – неубывающая на интервале функция. Пусть – некоторая точка разрыва функции . Тогда одно из неравенств (1) строгое и, следовательно, Так как между любыми двумя различными вещественными числами лежит хотя бы одно рациональное число, то отсюда следует, что найдется такое рациональное число , что . Таким образом, каждой точке разрыва может быть поставлено в соответствие некоторое рациональное число. Если и – две точки разрыва функции на интервале , а и – соответствующие им рациональные числа: , , то в силу того, что при для неубывающей функции по теореме 1 будем иметь и, следовательно, . т.е. различным точкам разрыва поставлены в соответствие различные рациональные числа. Таким образом, установлено взаимно однозначное соответствие между множеством всех точек разрыва функции и некоторым подмножеством множества рациональных чисел. А поскольку всякое подмножество множества рациональных чисел не более чем счетно, то не более чем счетно и множество точек разрыва функции □
n02. Непрерывность монотонных функций. Теорема 3 (критерий непрерывности монотонной функции). Для того, чтобы монотонная на отрезке функция была непрерывной на нем, необходимо и достаточно, чтобы множество ее значений было отрезком. Д о к а з а т е л ь с т в о. Необходимость условия теоремы имеет место в силу следствия из второй теоремы Вейерштрасса. Поэтому нужно доказать лишь достаточность условия теоремы. Пусть функция – монотонна и . Предположим, тем не менее, что она не является непрерывной на отрезке . Для определенности будем считать, что функция – неубывающая. Пусть – точка разрыва функции . Тогда, либо
либо
В первом из этих случаев, в силу того, что функция – неубывающая, имеем при и при . Поэтому в случае (4) функция не принимает значений из интервала , но принимает значения как слева от него, так и справа. Аналогично устанавливается, что в случае (5) функция не принимает значений из интервала , но принимает значения как слева от него, так и справа. В обоих случаях множество значений функции не может быть отрезком. Полученное противоречие и доказывает теорему □
Теорема 4 (об обратной функции к непрерывной, строго монотонной). Пусть функция непрерывна и строго монотонна на отрезке . Тогда существует обратная к ней функция , которая является непрерывной и строго монотонной в том же смысле, что и функция . Д о к а з а т е л ь с т в о. Для определенности пусть функция возрастает на отрезке . В этом случае множество ее значений является отрезком .Тогда, очевидно, она, как отображение является взаимно-однозначным отображением «на» и, следовательно, имеет обратную функцию . Покажем, что она возрастающая. Предположим противное. Тогда найдутся такие , , что . Но в этом случае , т.е. , а это противоречит тому, что . Наконец, поскольку множество значений монотонной функции является отрезком, то по теореме 3 она непрерывна на отрезке □
Очевидно, справедливо следующее обобщение теоремы 4. Следствие. Пусть функция непрерывна и строго монотонна на произвольном промежутке . Тогда обратная к ней функция непрерывна и строго монотонна в том же смысле на промежутке . |
Последнее изменение этой страницы: 2019-04-19; Просмотров: 247; Нарушение авторского права страницы