Дифференцирование элементарных функций.

    n ^о 1. Таблица производных

Элементарные функции ( за исключением функций  и ) дифференцируемы в своих областях определения, причем справедливы следующие формулы (они обосновываются в следующих пунктах):

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.  

.

.

    Определим так называемые гиперболические функции:

 - гиперболический синус;

 - гиперболический косинус;

   - гиперболический тангенс;

  - гиперболический котангенс.

Для гиперболических функций справедливы следующие формулы:

.

.

.

.

 

    n^о 2. Показательная и логарифмическая функции.

    Здесь будут установлены формулы ,  ,  и  из предыдущего пункта. Прежде всего, вычислим некоторые пределы.

     Покажем, что

(1)

                                                                                                                                             

Как было установлено ранее

.

Поэтому, доопределив функцию f(x) =  в точке  равенством  можно считать, что она непрерывна в этой точке. Учитывая это, а также то, что функция  непрерывна в точке , по теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций будем иметь

.

Следовательно, равенство (1) действительно имеет место.

    Покажем теперь, что

(2)

                                                                                                                             

Доопределим функцию  в точке  равенством . В силу равенства (1) можно считать, что она непрерывна в этой точке. Положим . Эта функция непрерывна на всей вещественной оси и, в частности, непрерывна в точке , при этом . Тогда по теореме о непрерывности суперпозиции непрерывных функций сложная функция  непрерывна в точке . Поэтому будем иметь

.

Таким образом равенство (2) доказано.

    Теперь используя равенство (2) и то, что постоянную можно выносить за знак предела получим:

=

Таким образом установлена формула .

     Далее, так как функция  является обратной к функции , по формуле для производной обратной функции имеем:

= .

Следовательно, установлена и формула .

    Для вывода формулы  установим формулу дифференцирования показательно-степенной функции.

где  и  – дифференцируемые на некотором промежутке  функции, причем  на .

    Используя формулу для производной сложной функции, формулы  и , а также формулу для производной произведения функций будем иметь

Таким образом,

.

В частности, если здесь , а , то

,

т.е. установлена и формула . Формула  вытекает из нее в силу формулы дифференцирования обратной функции:

(здесь , ).

 

    n^о 3. Производная степенной функции.

    Производную от степенной функции ( ) можно вычислить с помощью формулы дифференцирования сложной функции, предварительно представив функцию  в виде  :

Формула , таким образом, также доказана.

 

    n^о 4. Тригонометрические функции.

    Используя формулу

,

а также известный замечательный предел

,

по определению производной с учетом непрерывности функции будем иметь

    Далее, по правилу дифференцирования сложной функции получим

    Производные от функции  и  вычисляются с использованием установленных выше формул  и  и формул дифференцирования частного. Читателю предлагается сделать это самостоятельно.

 

n^о 5. Обратные тригонометрические функции.

    Формулы  выводятся с помощью формулы для производной обратной функции и одной из соответствующих .

    Например, функция

Является обратной к функции , ( ). Поэтому

Перед радикалом здесь берется знак «+», поскольку  при .

    Аналогично вычисляется производная от функции

Далее, функция  является обратной к функции . Поэтому

Аналогично вычисляется производная от функции

⇐ Предыдущая12345678Следующая ⇒

Поделиться: