Производные и дифференциалы высших порядков.

       Понятие производной порядка . Пусть функция  определена в некоторой окрестности  точки  и дифференцируема в этой окрестности, т.е. дифференцируема в каждой точке . Тогда в окрестности  определена новая функция , которая, называется производной функции  на множестве . Если функция  имеет в точке  производную, то ее называют второй производной функции  в этой точке и обозначают одним из символов

при этом часто аргумент – точку, в которой вычисляется эта производная, опускают. Таким образом.

.

       Вместе с тем, если функция  дифференцируема в точке , то говорят, что функция  дважды дифференцируема в этой точке.

       Аналогично понятию второй производной функции  в точке  вводится понятие третьей производной  (ее обозначают также  или ) и, вообще производной любого порядка . Точнее, общее определение производной порядка  вводится индуктивно. А именно, если функция  имеет в каждой точке  конечную производную , то производная функции  в точке  называется производной -го порядка функции  в точке  и обозначают одним из символов

.

Таким образом,

       Наконец, мы будем говорить, что функция  раз дифференцируема в точке , если в некоторой окрестности этой точки она имеет конечную производную  порядка  (а стало быть имеет и все производные , ,…, ) и функция  дифференцируема в точке .

       В соответствии с данным выше определением производную функции  в точке  называют также первой производной функции  в этой точке или, также, производной первого порядка этой функции в точке . В дальнейшем условимся считать, что

.

       Непосредственно из определения производной -го порядка вытекают следующие ее свойства:

( )

,

где  и  –  раз дифференцируемые в точке  функции.

       Отметим без доказательства, что если функции  и  –  раз дифференцируемы в точке , то имеет место следующая формула (формула Лейбница):

       Механический смысл второй производной. Если  кинематический закон движения материальной точки вдоль некоторой кривой, т.е. если  – путь, пройденный ей вдоль этой кривой к моменту времени  из некоторой начальной точки, то, как известно, первая производная , если она существует, представляет собой мгновенную скорость точки в момент времени .

       Вместе с тем отношение

называют средним ускорением точки за отрезок времени , а предел (если он существует)

называют ускорением точки в момент времени .

       Таким образом вторая производная  – ускорение точки в момент времени .

       Понятие дифференциала порядка . Пусть функция  раз дифференцируема в точке  (в соответствии с данным выше определением это означает, напомним, что в некоторой окрестности этой точки она имеет конечные производные до порядка  включительно, а в самой точке  имеет и конечную производную порядка ). Тогда степенная функция  переменной  называется дифференциалом функции  в точке  порядка  и обозначается  или  (короче также пишут  или ).

       Таким образом, для дифференциала порядка  функции  в точке  имеем формулу

,

(1)

При этом понятия дифференциала и первого дифференциала (дифференциала порядка 1) совпадают друг с другом.

       На практике вычисление дифференциалов высших порядков можно проводить по правилам, которые описываются. Предварительно условимся под арифметическим выражением понимать выражение, полученное из конечного набора функций переменной  в результате следующих действий: сложения, умножения и вычисления дифференциала. Тогда вычисление дифференциалов высших порядков можно производить последовательно используя следующую формулу (при ,  и т.д.)

,

(2)

а также правила

       1) ,

       2) ,

       3) ,

где  и  –арифметические выражения.

       Пример 1. Найдем  для .

Имеем

,  ……….

 

           

 

Формула Тейлора.

 

    n.1. Формула Тейлора для многочлена.

Глава 1 Рассмотрим некоторый многочлен степени  с вещественными коэффициентами:

Глава 2

Глава 3 (1)

Зададим произвольное вещественное число  и в правой части равенства (1) представим  в виде :

Раскрыв здесь квадратные скобки и приведя подобные члены при одинаковых степенях , в результате получим разложение многочлена (1) по степеням :

,

(2)

где  - постоянные, зависящие от исходных коэффициентов и от числа  .

    При больших , на практике, указанный выше способ разложения многочлена по степеням  весьма трудоемок. Оказывается, имеется простой способ отыскания коэффициентов  разложения многочлена по степеням . Будем последовательно дифференцировать равенство (2):

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

    Полагая в каждом из этих равенств  получим

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

    Если кроме того положить  в (2), то считая, как обычно,  и  будем также иметь

    Таким образом, для коэффициентов разложения (2) многочлена по степеням имеем следующие формулы

,

(3)

    В итоге заключаем, что разложение (2) можно записать в виде (4):

(4)

    Формула (4) называется формулой Тейлора по степеням  для многочлена  степени . Из вывода этой формулы следует, что разложение многочлена по степеням  является единственным, так как коэффициенты любого такого разложения однозначно определяются по формулам (3).

    Формулу Тейлора по степеням  для многочлена , то есть формулу

называют также формулой Маклорена.

 

        

    n.2. Локальная формула Тейлора.

    Пусть функция  раз дифференцируема в точке . Напомним, это означает, что существует такая окрестность  точки , в которой определена сама функция  и существуют конечные производные

при этом в точке  существует также конечная производная . Поэтому, в частности, определен многочлен

,

называемый ( -ым) многочленом Тейлора функции  в точке .

    Положим

Тогда

Эта формула или, в более явном виде, формула

(1)

называется формулой Тейлора функции в точке , а функция  - остаточным членом формулы Тейлора.

    Ниже будет доказано, что остаточный член формулы Тейлора может быть записан в виде

(при )

(2)

    Остаточный член в такой форме обычно называют остаточным членом в форме Пеано, а формулу Тейлора с остаточным членом в такой форме, т. е. формулу

(3)

 

называют, соответственно, формулой Тейлора с остаточным членом в форме Пеано или, также, локальной формулой Тейлора.

    Лемма 1. Пусть функция  раз дифференцируема в точке  и

.

(4)

Тогда

.

(5)

 

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Докажем утверждение леммы по индукции.

    При  в силу дифференцируемости функции  в точке  имеем

А так как по условию (4)

,

то это означает, что

таким образом, при  утверждение леммы справедливо.

    Предположим, что оно справедливо при , и покажем, что тогда оно справедливо и при .

    Действительно, поскольку , то функция  имеет в некоторой окрестности  производную , и по условию (4) (для )

Тогда по индукционному предположению

(6)

    Далее, так как функция  раз дифференцируема в точке  и , то для любой точки  из окрестности , в которой существует конечные производные

,

Имеет место и формула конечных приращений Лагранжа

,

(7)

где точка  лежит между точками  и . (Рекомендуется проверить, что на отрезке с концами в точках  и  функция удовлетворяет всем условиям теоремы Лагранжа).

    Поскольку по условию , то из формул (6) и (7) следует, что

Полагая здесь

будем иметь

Поэтому равенство (5) при  будет доказано, если будет показано, что

(8)

Действительно, так как точка  лежит между точками  и , то

(9)

и, следовательно,

(10)

Остаётся заметить, что в силу (8)  при  и, значит,

Тогда по принципу двух милиционеров из (10) следует (8) 

    Теорема 1. Если функция  раз дифференцируема в точке , то для нее имеет место формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано (3). 

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Достаточно заметить, что при выполнении условий теоремы функция

Удовлетворяет условиям леммы 1 

    Замечание 1. Вот другая, равносильная формулировка теоремы 1: Если функция  имеет в точке  конечные производные до порядка  включительно, то для нее имеет место локальная формула Тейлора (3).

 

    n^о3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши и в форме Лагранжа.

Теорема 2. Пусть на отрезке  с концами в точках  и  функция  и все ее производные до порядка  включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная . Тогда, для любой непрерывной на этом отрезке функции , дифференцируемой во внутренних точках этого отрезка и имеющей в каждой из этих точек отличную от нуля производную, существует точка , лежащая между точками  и , такая, что остаточный член в формуле Тейлора может быть записан в виде

.

(1)

                                                                

    Д о к а з а т е л ь с т в о. На отрезке  с концами в точках  и  рассмотрим функцию переменной :

 

,

где

.

    Из условий теоремы и определения функции  следует, что она непрерывна на отрезке  и дифференцируема во внутренних точках этого отрезка. По условию теоремы функция  обладает теми же свойствами.

Таким образом, функции  и  на отрезке I удовлетворяют всем условиям теоремы Коши о среднем значении для дифференцируемых функций.

    По этой теореме между точками  и  найдется такая точка , что

(2)

Поскольку

,

(3)

то нетрудно видеть, что

.

(4)

                                                                                      

К тому же, как следует из (3),

(5)

и         

(6)

                                                                           

Из формулы (2), (4) – (6) имеем

В свою очередь отсюда, с учетом того, что по условию теоремы

(  - внутренняя точка отрезка ), получим искомое равенство (1).

    Следствие. Если на отрезке с концами в точках  и  функция  и все ее производные до порядка  включительно являются непрерывными функциями, а во внутренних точках этого отрезка существует конечная производная , то остаточный член в формуле Тейлора

(7)

может быть записан, как в форме Коши:

,

(8)

так и в форме Лагранжа:

(9)

(здесь  лежит между точками  и , при этом является, вообще говоря, разной в формулах (8) и (9)).

    Д о к а з а т е л ь с т в о. Формула (8) вытекает из формулы (1), если в ней положить

В свою очередь, формула (9) вытекает из той же формулы (1), если в последней положить

  

Таким  образом, если выполнены условия следствия из теоремы 2, то формулу Тейлора для функции  можно записать как в виде

(10)

(формула Тейлора с остаточным членов в форме Лагранжа),

так и в виде                                               

(11)

(формула Тейлора с остаточным членом в форме Коши).

    n^о4. Разложение некоторых элементарных функцией по формуле Тейлора.

    Если , то формула Тейлора функции  имеет особенно простой вид:

(1)

В этом случае она называется формулой Маклорена. Остаточный член в ней в форме Пеано, Лагранжа и Коши, соответственно, имеет вид

,

,

и

    Укажем разложения некоторых элементарных функций по формуле Маклорена.

    . Пусть . Эта функция имеет производные любого порядка и в любой точке  (в таких случаях говорят, что функция бесконечно дифференцируема ).

    Как известно

Поэтому формула Маклорена функции  имеет вид ( ):

где остаточный член можно записать в любой из форм:

 ( в форме Пеано)

 ( в форме Лагранжа)

и

 (в форме Коши),

где точка  в каждой из двух последних формул лежит между точками  и .

    . Пусть . Так как эта функция бесконечно дифференцируема на всей вещественной оси и

,

 

то

;

и, следовательно,

При этом остаточный член в форме Пеано имеет вид:

,

соответственно остаточный член в форме Лагранжа выглядит следующим образом:

(2)

а остаточный член в форме Коши имеет вид:

(3)

 

    Замечание 1. Для доказательства, например, равенства (2) достаточно заметить, что остаточный член  в форме Лагранжа в общем случае имеет вид:

а затем убедиться в том, что для функции  имеют место равенства

    . Пусть . Эта функция также бесконечно дифференцируема . Поскольку здесь

,

 то

Поэтому имеем,

при этом остаточный член имеет вид:

 

( в форме Пеано);

 
( в форме Лагранжа);

( в форме Коши).

    Приведем без доказательства еще несколько разложений по формуле Маклорена:

.

.

.

 

 

 

 

⇐ Предыдущая12345678

Поделиться: