Базовые понятия теории и методические

рекомендации по решению задач

 

При движении механической системы в каждый момент времени сумма элемен­тарных работ активных сил и сил инерции на любом возможном перемещении системы равна нулю, т.е.

 

,                             (13.1)

 

где  - активные силы,  - силы инерции.

Уравнение (13.1) называют общим уравнением динамики, так как из него при различных дополнительных предположениях могут быть получены дифференциальные уравнения движения механиче­ской системы, общие теоремы динамики и т.п. В координатной форме уравнение (13.1) записывается в виде

, (13.2)

 

где F _kx , F _ky , F_kz - проекции активных сил на координатные оси; , ,  - проекции сил инерции; , ,  - вариации координат точек приложения сил.

Задачи с помощью общего уравнения динамики рекомендуется решать в следующем порядке:

1. Определить число степеней свободы s рассматриваемой системы.

2. Выбрать независимые величины  (обобщенные ко­ординаты), с помощью которых можно однозначно задать положение системы, т.е. назначить параметры, относительно которых будут составляться дифференциальные уравнения движения.

3. Изобразить на рисунке активные (задаваемые) силы и реакции неидеальных связей.

4. Приложить к телам (массам) системы силы инерции, напра­вив их в сторону, противоположную соответствующим ускорениям

5. Сообщить одной из точек системы возможное перемещение, изобразив его на расчетной схеме:

а) если в качестве обобщенной координаты выбрана линейная величина, то возможное перемещение следует сообщить той точке системы, положение которой определяет эта координата;

б) если в качестве обобщенной координаты принята угловая величина, то возможное перемещение следует сообщить тому телу, положение которого определяет эта координата;

6. Изобразить на расчетной схеме векторы возможных переме­щений точек приложения сил, указанных в п. 3 и 4.

7. Составить общее уравнение динамики; для этого следует вычислить и приравнять нулю сумму элементарных работ активных сил, реакций неидеальных связей и сил инерции на возможном пе­ремещении системы.

8. Подставить в уравнение п. 7 формулы для сил инерции из п. 4.

9. Выразить возможные перемещения точек приложения сил че­рез возможное перемещение, соответствующее выбранной координате системы.

10. Выразить ускорения точек приложения сил через обобщен­ное ускорение (вторую производную от обобщенной координаты по времени).

11. Подставив формулы, полученные в п. 9 и 10, в уравнение п. 8, получить после простых преобразований дифференциальное уравнение движения системы.

12. Дальнейшие действия зависят от цели, поставленной в задаче:
    а) решение закончено, если требовалось составить дифференци­альное уравнение движения;

б) если требуется найти закон движения системы, то далее следует проинтегрировать полученное дифференциальное уравнение при заданных начальных условиях;

в) если в задаче требуется определить ускорение какой-либо точки или угловое ускорение какого-либо тела (такая задача, как правило, ставится для систем, движущихся под действием постоян­ных сил), то искомую величину легко найти из полученного диффе­ренциального уравнения.

 

Примеры решения задач

Задача 8.2.1. Составить дифференциальное уравнение движения механической системы, состоящей из груза 1, блока 2 и катка 3, имеющих соответственно массы т₁, т₂, т₃, и пружины с коэффици­ентом жесткости с (рис. 13.1). Груз и каток, расположенные на наклонных плоскостях, составляющих с горизонтом углы  и , связаны невесомой и нерастяжимой нитью, перекинутой через блок. Тре­нием груза о плоскость, массой пружины и сопротивлением каче­нию пренебречь. Проскальзывание нити на блоке отсутствует. Каток катится без скольжения. Блок считать однородным цилиндром, мо­мент инерции катка относительно центральной оси равен , радиусы ступеней катка R и r.

Решение. Рассматриваемая система имеет одну степень свобо­ды при выполнении следующих условий:

1. Тела, входящие в систему, абсолютно твердые.

2. Нить нерастяжимая и при движении системы всегда натянута.

3. Проскальзывание нити на блоке отсутствует.

4. Каток катится без скольжения.

 

Рис. 13.1

 

Будем определять положение системы с помощью координаты х, направив соответствующую осьОх параллельно наклонной плос­кости, на которой расположен груз. Начало оси совместим с поло­жением центра масс груза при равновесии системы (рис. 13.2). Пусть ,  и  - соответствующие координате х углы поворота блока и катка и смещение центра масс катка от положения его равновесия.

      (13.3)

где  - радиус блока.

Для составления дифференциального уравнения движения вос­пользуемся общим уравнением динамики. Построим расчетную схему задачи. Изобразим на рисунке активные силы , , , реакцию неидеальной связи (пружины) ; приложим к телам сис­темы силы инерции.

Рис. 13.2

 

Груз движется поступательно. Силы инерции его частиц эквива­лентны равнодействующей

,                           (13.4)

приложенной в центре масс (  - ускорение груза).

Блок вращается вокруг главной центральной оси инерции. Силы инерции его частиц эквивалентны паре сил с моментом

 

,                          (13.5)

 

где  - момент инерции блока относительно оси вращения.

Вектор  направлен по оси вращения блока противоположно вектору углового ускорения . На расчетной схеме это отражено дуговыми стрелками противоположного направления.

Каток совершает плоское движение. Силы инерции его частиц эквивалентны системе, состоящей из одной силы

 

,                          (13.6)

 

приложенной в центре масс катка (  - ускорение центра масс), и пары сил с моментом

,                          (13.7)

где  - угловое ускорение катка.

Сообщим грузу возможное перемещение . Возможным пере­мещением блока является поворот на угол  вокруг собственной оси. Возможным перемещением катка является поворот на угол  вокруг оси, проходящей через мгновенный центр скоростей Р₃ пер­пендикулярно плоскости рисунка. Векторы  и  направлены по соответствующим осям, на расчетной схеме направления воз­можных поворотов блока и катка показаны дуговыми стрелками.

Запишем общее уравнение динамики

 

   . (13.8)

 

Заметим, что элементарная работа силы  равна нулю, так как равно нулю возможное перемещение точки ее приложения.     

Подставив в уравнение (13.8) формулы (13.4)-(13.7) и раскрыв ска­лярные произведения, получим

   . (13.9)

 

Используя формулы (13.3), находим

 

                    (13.10)

                 (13.11)

 

Подставляя формулы (13.10) и (13.11) в уравнение (13.9), находим после сокращения на  и простых преобразований:

 

       (13.12)

 

Из уравнения (13.12) легко получить условие равновесия систе­мы. Действительно, поскольку

,                         (13.13)

 

где  - статическая деформация пружины, то, подставляя (13.13) в уравнение (13.12) и имея в виду, что при равновесии  x = 0,  = 0, на­ходим

 

.             (13.14)

 

С учетом условия (13.14) уравнение (13.12) принимает вид

 

 (13.15)

 

Назовем приведенной массой и приведенной жесткостью величины   

.

 

Тогда дифференциальное уравнение (13.15) можно записать в виде

 

,                            (13.16)

где

.

Задача 8.2.2. Груз 3 массы т₃ поднимается с помощью устройства, состоящего из шкивов 1 и 2, связанных невесомым ремнем (рис. 13.3). К ведущему шкиву 1 радиуса R₁ при­ложена пара сил с посто­янным моментом М. Оп­ределить угловое уско­рение ведущего шкива, если R₂, r₂ - радиусы ступеней ведомого шки­ва; I₁ и I₂ - моменты инерции шкивов относи­тельно осей их вращения. Сопротивлением и мас­сой троса пренебречь.

 

Рис. 13.3

 

Решение. Рассмат­риваемая механическая система имеет одну степень свободы, если выполняются следующие условия:

1. Тела 1, 2, 3 - абсолютно твердые.

2. Ремень и трос нерастяжимые.

3. Проскальзывание ремня на шкивах отсутствует.

4. Груз поднимается, не раскачиваясь (по направляющим).

Построим расчетную схему задачи. Связи, наложенные на сис­тему, являются идеальными. Поэтому на расчетной схеме (рис. 13.4) показаны только активные силы (вращающий момент и силы тяже­сти тел) и силы инерции.

Рис. 13.4

 

Шкив 1 вращается вокруг своей главной центральной оси инер­ции. Поэтому система сил инерции его частиц эквивалентна паре сил, момент которой направлен противоположно угловому ускоре­нию шкива  и имеет величину

.                                        (13.17)

 

Шкив 2 также вращается вокруг своей главной центральной оси инерции. Поэтому система сил инерции его частиц эквивалентна паре сил, момент которой направлен противоположно угловому ускорению шкива  и имеет величину

.          (13.18)

 

Груз движется поступательно. Система сил инерции частиц гру­за эквивалентна равнодействующей силе, которая приложена в цен­тре масс, направлена противоположно его ускорению и имеет вели­чину

 

.             (13.19)

 

Сообщим шкиву 1 возможное перемещение . Шкив 2 и груз 3 получат при этом возможные перемещения  и  соответствен­но. Запишем общее уравнение динамики

 

.    (13.20)

 

Нетрудно установить, что

 

,                    (13.21)

.            (13.22)

 

Подставив формулы (13.17)-(13.19), (13.22) в уравнение (13.20), по­лучим, с учетом (13.21), уравнение

.

 

из которого, после сокращения на  находим

 

.

 

Задача 13.2.3. Для заданной механической системы определить ускорение груза 1, к которой прикреплен груз. Массами нитей пренебречь. Система движется из состояния покоя. Считать, что , , , , см, , f= 0,1 (рис. 1).

 

Рис 1

Решение.

1. Составление расчетной схемы. На механическую систему действуют активные силы , , . Применяя принцип освобождаемости от связей к внешним связям, покажем , , N. Силу трения  изобразим в сторону, противоположную предполагаемую направлению движения.

 

Рис. 2

 

Так как система пришла в движение из состояния покоя, то ускорения точек системы 1 направлены в сторону движения.

Приложим силы инерции. Тела 1 и 3 движутся поступательно, силы инерции этих тел выражаются векторами

 

 

и показываются на расчетной схеме противоположно ускорениям.

Силы инерции блока 2, вращающегося вокруг неподвижной оси Oz с угловым ускорением , приводятся к паре, момент которой равен

 

 

и изображается на схеме в сторону противоположную .

2. Выбор теоремы.

Применим общее уравнение динамики

 

.

 

Произведение силы, перемещения точки приложения силы и косинуса угла, который образуют сила и направление движения, представляет собой работу силы на данном перемещении.

Работа силы на заданном перемещении равна нулю, если точка приложения силы неподвижна или сила перпендикулярна направлению движения.

3. Составление уравнения.

 

, (1)

 

где  - возможное перемещение тела 1,  - угол поворота блока 2,  -возможное перемещение центра масс тела 3 по направлению скорости, -высота, на которую поднимется центр масс тела 3 при перемещении на .

Уравнения связей. В общее уравнение динамики входят неизвестные перемещения. Выразим скорости центров масс и угловую скорость тел системы через скорость тела 1. Зависимости между возможными перемещениями такие же, как и между соответствующими скоростями.

Скорость любой точки обода блока малого радиуса  равна скорости тела 1, а также произведению угловой скорости тела 2 и радиуса вращения .

 

,

отсюда

.                                                   (2)

 

Вращательная скорость любой точки обода блока большого радиуса  с одной стороны, равна произведению угловой скорости блока  и радиуса вращения R, а с другой - скорости тела 3.

 

.

 

Подставляя значение угловой скорости, получим

 

.                                                       (3)

 

Проинтегрируем при нулевых начальных условиях равенство (2) и (3) и получим соотношения возможных перемещений точек системы

 

.

 

Подставим полученные возможные перемещения в (1) и произведем замену

 

.

 

Поделив обе части равенства на  запишем

 

 

Модули силы инерции: тела 1 ; тела 2 .

Момент пары сил инерции

 

.

 

Связь между ускорениями точек системы получим, продифференцировав по времени уравнения (2) и (3)

 

.

 

Тогда силы инерции точек системы запишутся

 

; .

 

Момент инерции блока

 

.

    Тогда

.

 

Сила трения скольжения

.

 

В выражение (4) подставим значения сил инерции, силы трения и учитывая, что ,  запишем

 

.

 

4. Определение неизвестных.

 

.

Откуда

 

.

Окончательно

 

 

Задания

 

Для приведенных на схемах 1-30 механических си­стем опре­делить указанное на схеме угловое ускорение или линей­ное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — ради­ус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэф­фициент трения скольжения, f_к — коэффициент трения качения.

 

 

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Что называется возможным перемещением материальной точки?

2. Что называют возможными перемещениями механической системы?

3. Какие связи называются идеальными?

4. Что называется обобщенными координатами механической системы?

5.Сущность принципа Даламбера для механической системы.

6 Сущность  принципа  возможных перемещений.

7.Сущность  общего уравнения динамики.

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: