Д–14. Исследование движения механической системы с применением уравнений Лагранжа второго рода

14.1.Цель: освоить один из основных методов составления дифференциальных уравнений движения механических систем - метод уравнений Лагранжа второго рода.

14.2. Базовые понятия теории и методические рекомендации по решению задач

 

Дифференциальные уравнения движения голономной механи­ческой системы в обобщенных координатах, или уравнения Ла­гранжа второго рода, имеют вид:

(14.1)

 

где Т- кинетическая энергия системы;  - обобщенные координаты;  - обобщенные скорости;  - обобщенные силы; s - число степе­ней свободы системы.

При составлении уравнений Лагранжа второго рода обычно ис­пользуются различные способы вычисления обобщенных сил.

Первый способ основан на определении обобщенной силы  как ко­эффициента при вариации , соответствующей обобщенной коор­динаты  в выражении возможной работы активных сил системы:

 

.                

 

Для вычисления обобщенной силы , системе сообщается возмож­ное перемещение ,..., , ,…, , ..., , на котором изменяется только обобщенная координата  при неизменных других координатах и определяется возможная работа активных сил на этом перемещении:

 

,

откуда

.

 

Второй способ пригоден в случае, если система находится в потенциальном поле сил:  

,  

 

причем, потенциальная энергия системы должна быть выражена как функция обобщенных координат.

Основное назначение уравнений Лагранжа второго рода - со­ставление дифференциальных уравнений движения механической системы, подчиненной идеальным удерживающим голономным свя­зям. Если среди связей, наложенных на систему, имеются неидеаль­ные, то реакции этих связей следует ввести в число активных сил.

Составление дифференциальных уравнений движения с помо­щью уравнений Лагранжа второго рода рекомендуется проводить в следующем порядке:

1. Определить число степеней свободы и выбрать обобщенные координаты.

2. Записать уравнения Лагранжа (14.1) с учетом выбранных обобщенных координат.

3. Вычислить кинетическую энергию системы как функцию обобщенных координат и обобщенных скоростей.

4. Найти производные от кинетической энергии, входящие в левую часть уравнений Лагранжа.

5. Найти обобщенные силы.

6. Подставить результаты, полученные в п. 4 и 5, в уравнения п.2. Если в задаче требуется найти уравнения движения системы, то следует проинтегрировать полученную систему дифференциальных уравнений движения, определив постоянные интегрирования по на­чальным условиям.

 

Примеры решения задач

Задача 14.3.1. К нижнему шкиву 3 подъемника (рис.14.1) приложен постоянный вращающий момент М. Определить ускорение груза 1 массы т₁, поднимаемого вверх, если масса противовеса 2 равна т₂, шкивы 3 н 4 массы т₃ каждый представляют собой однородные цилиндры радиуса r. Массой ремня и трением в подшипниках шкивов пренебречь.

 

Рис. 14.1Рис. 14.2

 

Решение. Система имеет одну сте­пень свободы, если тела, входящие в сис­тему, считать абсолютно твердыми, ре­мень нерастяжимым, а проскальзывание ремня на шкивах отсутствующим. При этих предположениях положение системы вполне определяется углом поворота  ведущего шкива 3, который будем отсчи­тывать в направлении вращения шкива. Имея в виду цель задачи, примем за обобщенную координату перемещение s груза 1 (рис.14.2). Запишем уравнение Лагранжа

 

 .                              (14.2)

 

Вычислим кинетическую энергию системы как сумму кинетических энер­гий тел, входящих в ее состав,

.

 

Так как тела 1 и 2 движутся поступа­тельно, а тела 3 и 4 совершают враща­тельное движение, то

 

,

 

где - скорости груза и противовеса,  - угловые скорости шкивов,  - моменты инерции шкивов относительно их осей вращения.

Таким образом,

.              (14.3)

 

Запишем выражение (14.3) в обобщенных координатах. Заме­тив, что

,

 

получаем после подстановки последних формул в (14.3):

 

.                     (14.4)

 

Таким образом, в рассматриваемом случае кинетическая энергия системы является функцией только обобщенной скорости.

Вычислим производные от кинетической энергии, входящие в уравнение (14.2):

                           (14.5)

,   (14.6)

.   (14.7)

 

Найдем обобщенную силу. Заметив, что связи, наложенные на систему, являются идеальными, вычислим сумму работ вращающего момента и сил тяжести на перемещении системы из положения, в котором обобщенная координата равна нулю, в произвольное положение с координатой s > 0:

Поскольку , то

откуда

.                        (14.8)

 

Подставляя формулы (14.5), (14.7) и (14.8) в уравнение (14.2), получаем дифференциальное уравнение движения системы

,                         (14.9)

 

из которого находим ускорение груза

 

.

 

Задача 14.3.2. Грузоподъемная установка (рис. 14.3) состоит из бараба­на 1 массой m₁= 200 кг и радиусом r= 0,2 м, невесомого нерастяжимого троса, который перемещает груз 2 по на­клонной плоскости, составляющий угол α = 30° с гори­зонтом. Масса груза т₂ = 1000 кг, коэффициент трения между грузом и наклонной плоскостью f = 0,2. К бараба­ну приложен вращающий момент М = 1,6 кНм. Опреде­лить величину ускорения груза а. Барабан считать одно­родным цилиндром.

           Рис. 14.3                                   Рис. 14.4

 

Решение. Рассматриваемая система имеет одну сте­пень свободы (s = 1) и может быть описана одним уравне­нием Лагранжа второго рода

 

 

В качестве обобщенной координаты выберем координа­ту х груза на наклонной плоскости q = x, тогда обобщенная скорость будет являться скоростью груза.

Кинетическая энергия системы имеет вид

 

,

 

где ω — угловая скорость барабана; J — его момент инер­ции относительно оси вращения. Для однородного цилиндра

и, следовательно, J = 4 кгм².

При учете кинематической связи v = ω r, т. е. кинетическая энергия запишется в виде

.

 

где приведенная (к грузу) масса системы равна

 

кг.

 

Вычислим производные, входящие в левую часть урав­нения Лагранжа. Частная производная по обобщенной координате    

 

 

так как кинетическая энергия явно от координаты х не зависит. Частная производная по обобщенной скорости

 

.

 

Полная производная по времени

 

 

дает левую часть уравнения Лагранжа.

Входящую в правую часть уравнения обобщенную силу Q вычислим через возможную работу. Рассмотрим дей­ствующие в системе силы (рис. 14.4) и придадим телам системы возможное перемещение: бесконечно малое пере­мещение груза δх и поворот барабана на бесконечно ма­лый угол δφ. Соотношение между этими величинами мож­но получить из уравнения кинематической связи v = ω r. Интегрируя обе части этого уравнения по времени, находим

,

или

,

 

гдеС — постоянная интегрирования.

Варь­ируя последнее соотношение, получаем равенство

 

,

 

которое в данном случае имеет простой геометрический смысл — равенство длины дуги окружности произведе­нию радиуса на величину угла в радианах.

На возможном перемещении работу будут совершать сила трения

,

сила тяжести груза

и вращающий момент

.

 

Таким образом, возможная работа для механической системы будет равна

 

,

 

где F_np — приведенная сила системы.

Поскольку для системы с одной степенью свободы воз­можная работа записывается в видеδА = Qδq, и в нашей задаче δq = δx, сравнивая последние два соотношения, находим Q = F_np, т. е. обобщенная сила является в данной постановке задачи приведенной силой

 

.

 

Вычислим ее, учитывая, что

 

.

Тогда

.

 

Составляем теперь уравнение Лагранжа, приравнивая правую и левую части: т _np а = F _np, откуда находим ускорение груза       

 

.

 

Задача 14.3.3. В планетарном механизме, расположенном в гори­зонтальной плоскости, колесо 1 неподвижно (рис. 14.5). К рукоятке О₁О₃ приложен постоянный вращающий момент М. Определить уг­ловое ускорение рукоятки, считая колеса 2 и 3 однородными диска­ми с одинаковыми массами т и радиусами r. Массой рукоятки и сопротивлением пренебречь.

Рис. 14.5

 

Решение. Система имеет одну степень свободы. За обобщенную координату принимаем угол поворота рукоятки  (рис. 14.6), тогда обобщенная скорость будет . Уравнение Лагранжа второго рода запишется в виде

.                              (14.10)

 

Кинетическая энергия системы равна сумме кинетических энер­гий колес 2 и 3:

.                                   (14.11)

 

Предполагая, что колеса 2 и 3 совершают плоское движение, определяем их кинетические энергии по теореме Кёнига:

 

.               (14.12)

 

Рис. 14.6

 

Найдем скорости центров масс колес:

 

.      (14.13)

 

Угловую скорость колеса 2 определим с помощью мгновенного центра скоростей этого звена (точка , рис. 14.6):

 

.                                  (14.14)

 

Колесо 3 движется поступательно, так как скорости его точекА и  равны, поэтому

.                                                   (14.15)

 

Моменты инерции колес

.                                 (14.16)

 

Подставляя (14.12) в (14.11) с учетом (14.13)—(14.16), получаем кинетическую энергию системы как функцию обобщенной скорости

 

.                                   (14.17)

 

Вычислим производные от кинетической энергии системы, вхо­дящие в уравнение (14.10):

.                        (14.18)

    Для определения обобщенной силы сообщаем рукоятке возмож­ное перемещение  и вычисляем сумму элементарных работ актив­ных сил на возможных перемещениях точек их приложения. Так как связи, наложенные на систему, являются идеальными, а механизм расположен в горизонтальной плоскости (поэтому работа сил тяже­сти колес равна нулю), то

 

,

откуда

.                                    (14.19)

 

Подставив (14.18) и (14.19) в (14.10), получим дифференциаль­ное уравнение движения механизма

 

,

из которого находим угловое ускорение рукоятки

 

.

Задания Д–6

 

Для приведенных на схемах 1-30 механических си­стем, используя уравнения Лагранжа второго рода, опре­делить указанное на схеме угловое ускорение или линей­ное ускорение. Нити невесомы и нерастяжимы. Принятые обозначения: т — массы тел, R и r — радиусы, ρ — ради­ус инерции (если он не указан, тело считать однородным цилиндром); при наличии трения указываются: f — коэф­фициент трения скольжения, f_к — коэффициент трения качения.

 

 

Вопросы для самоконтроля

(защиты контрольной работы)

 

1. Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода? уравнений для данной механической системы?

2. Функцией каких переменных является кинетическая энергия механической системы в обобщенных координатах?

3. Что представляют собой уравнения Лагранжа второго рода: систему дифференциальных уравнений в обыкновенных или в частных производных?

4. Какой вид имеют уравнения Лагранжа второго рода для консервативной системы?

5. Как определяются обобщенные силы? Каково их число для данной механической системы?

6. Как формулируется вторая задача динамики в обобщенных координатах?

 

ЛИТЕРАТУРА

         

     1.Тарг, С.М. Краткий курс теоретической механики: Учеб. Для втузов/ С.М. Тарг.-18-е изд., стер.- М.: Высш.шк.,2008. -416 с.

     2. Яблонский А.А., Никифорова В.М. Курс теоретической механики: Учебник. 11-е изд.,стер.-СПб.: Издательство «Лань», 2004.-768 с.

     3.Тарасов В.Н., Бояркина И.В., Коваленко М.В., Федорченко Н.П., Фисенко Н.И. Теоретическая механика: Учебное пособие. -М.: изд-во ТрансЛит, 2010.-560 с.

     4. Доев В.С., Доронин Ф.А. Сборник заданий по теоретической механике на базе Mathcad:Учебное пособие.-СПб.: Издательство «Лань», 2010.-592 с..-(Учебники для вузов. Специальная литература).

5.Арсеньев О.Н., Степаненков О.С., Шаповалов А.В. и др.; под общ. ред. С.К. Слезкинского.-СПб.: Политехника, 2007.-487 с.

     6.Диевский В.А., Малышева И.А. Теоретическая механика. Сборник заданий: Учебное пособие.-СПб.: Издательство «Лань», 2007.-192 с.-(Учебники для вузов. Специальная

литература).

7. Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н.Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Статика: Учеб.пособие. – СПб: ВАТТ, 2010. – 285 с.

8.Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н.Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Кинематика: Учеб.пособие. – СПб: ВАТТ, 2011. – 170 с.

9. Стативка В.С., Хлюпин В.А., шабаев В.Н.Теоретическая механика. Руководство по решению задач. Динамика: Учеб.пособие. – СПб: ВАТТ, 2011. – 185 с.

 

 

 

 

 

⇐ Предыдущая891011121314151617

Поделиться: