Основное уравнение геометрической оптики и законы

2.2.1. Основное уравнение геометрической оптики

Пусть поле в произвольной точке М определяется только одной точкой р, принадлежащей волновой поверхности S. При перемещении поверхности S в пространстве от источника поля до точки М точки поверхности описывают определенные траектории. Совокупность этих траекторий образует семейство кривых, называемых лучами. Поэтому, рассматривая лучи, можно видеть, что законы движения волновых поверхностей в пространстве приобретают чисто геометрический смысл. Они устанавливают геометрическую связь между точками, принадлежащими различным волновым поверхностям. Чтобы сформулировать эти законы, рассмотрим поле плоской волны. Напряженность электрического поля плоской волны, распространяющейся в произвольном направлении, имеет вид

,                    (2.1)

где – ;

- l, m, p  —  направляющие косинусы нормали к волновой поверхности.

Из выражения (2.1) вытекает, что поверхность равных фаз поля в разные моменты времени определяется выражением

.                 (2.2)

Следовательно, положение волновых поверхностей в поле плоской волны для любого момента времени может быть найдено непосредственно из уравнения (2.2) без учета соотношений волновой теории.

Пусть проекции векторов поля на оси прямоугольной системы координат в общем случае имеют вид, аналогичный проекциям векторов поля плоской волны. При этом, любая из указанных проекций вектора  равна

,                       (2.3)

где L (x,y,z) - функция пространственных координат

При этом поверхности равных фаз поля в различные моменты времени будут также определяться уравнением, имеющим чисто геометрический смысл

.                     (2.4)

Если среда, в которой происходит распространение, однородна [скорость распространения ν(x,y,z) = const, уравнение (2.4) преобразится в уравнение

,                     (2.5)

и окончательно равенство (2.4) примет вид

,                (2.6)

где – n = с / ν – показатель преломления среды;

- с – скорость света.

Откуда следует, что поверхность равных фаз волны типа (2.3) в общем случае определяется уравнением

.                (2.7)

В однородной среде уравнение (2.7) для распространяющейся плоской волны запишется   

.        (2.8)

Из выражения (2.8) следует, что расстояние между двумя поверхностями равных значений функций L₀ = L₁ и L₀ = L₁ + ΔL отсчитывается по нормали к ним, в поле плоской волны равно Δs=ΔL₀/n или в пределе ds =dL₀/ n, откуда

.                                  (2.9)

Так как направление s, по которому дифференцируется функция L₀ в выражении (2.9), совпадает с направлением нормали к поверхности равных значений L₀, то

,

и получается уравнение, которому удовлетворяет функция L₀

                               (2.10)

или             .

Функцию L(x¸y¸z) в решении (2.10) и определяющую волновые поверхности называют эйконалом, а уравнение (2.10) есть уравнение эйконала. Это основное уравнение геометрической оптики.

Таким образом, при движении волны, описанной выражением (2.3), в среде с переменным показателем преломления n, форма и положение волновой поверхности в любой момент времени будут определяться уравнением (2.7).

 

Рис. 2.1

В процессе распространения волны каждый элементарный участок волновой поверхности смещается в направлении нормали к последней, то есть волновая поверхность движется вдоль луча. Поэтому характер движения волны в этом случае определяется семейством кривых или лучей (рис. 2.1) , нормальных к поверхности L₀= const.

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: