Законы геометрической оптики

В основе законов геометрической оптики лежит так называемый принцип Ферма, утверждающий, что при движении волны типа (2.3) длина оптического пути между волновыми поверхностями должна быть экстремальна, то есть она может иметь либо минимальное, либо максимальное значение. Принцип Ферма дает возможность определить форму лучей в пространстве [5,6]. Из него непосредственно получается важное определение: при распространении волн в однородной среде лучи имеют характер прямых линий. Принцип позволяет вывести законы отражения и преломления волн.

Пусть рассматривается процесс отражения волны, источник которой находится в точке Р₁ однородной среды, от криволинейной поверхности S (рис. 2.2).

 

Рис. 2.2

 

Согласно принципу Ферма волна из точки Р₁ должна распространяться в точку Р₂ прямолинейно так, что длина оптического пути, отсчитываемая по лучам Р₁О и ОР₂, была бы экстремальна. Условие экстремума длины оптического пути означает, что приращения этой величины при бесконечно малых отклонениях лучей от истинного их положениях должны быть равны нулю. Если приращение длины оптического пути обозначить через δL, то условие экстремума будет иметь вид

.                                   (2.11)

Если точка О на поверхности S перемещена в бесконечно близкую точку О₁ (рис. 2.2), то на основании выражения (2.11) приращение длины оптического пути δL в этом случае должно быть равно нулю.

Длина оптического пути из точки Р₁ в точку Р₂, отсчитываемая по лучам Р₁О и ОР₂, равна

.

При смещении точки отражения в точку О₁ новая оптическая длина пути становится равной

Следовательно,

. (2.12)

В соответствии с рисунком 2.2 смещение имеет параметры:

-  – орт, направленный по Р₁О;

-  – орт, направленный по ОР₂;

- (  + d ) – орт, направленный по Р₁О₁;

- (  + d ) – орт, направленный по О₁Р₂;

-  - орт, направленный по касательной к поверхности;

-  dl - длина бесконечно малого отрезка ОО₁.

После ряда преобразований выражения (2.12), с учетом введенных параметров, можно получить                

.                                           (2.13)

На основании рисунка 2.2 видно, что

;

,

откуда следует, что θ = θ₁.

Так как равенство (2.13) должно выполняться при любых направлениях единичного орта , проходящего через точку О, то лучи Р₁О, ОР₂ и нормаль к поверхности S в точке О должны лежать в одной плоскости.

Таким образом, при отражении волн, описываемых выражением (2.3), от поверхности S обосновано, что:

- луч падающей волны, луч отраженной волны и нормаль к поверхности S в точке падения лежат в одной плоскости;

- угол между нормалью к поверхности S и лучом падающей волны равен углу между нормалью и лучом отраженной волны.

Законы преломления волн типа выражения (2.3) на границе раздела двух сред выводятся аналогично. В этом случае приращение длины оптического пути из точки Р₁ в точку Р₂ (рис. 2.3) при смещении точки О в точку О₁ будет равно

.                      (2.14)

По принципу Ферма выражение (2.14) равно нулю. Так как

 и

то получается       

Данное условие выполнимо при любом направлении единичного орта .

 

Рис. 2.3

 

Отсюда следует, что лучи Р₁О, ОР₂ и нормаль к поверхности раздела в точке О должны лежать в одной плоскости. Далее, принимая во внимание, что

и

то можно обосновать следующее равенство:

                          (2.15)

Следовательно, в случае преломления волны, описанной выражением (2.3), на границе раздела двух сред доказано, что:

- луч падающей волны, луч преломленной волны и нормаль к поверхности раздела в точке падения лежат в одной плоскости;

- угол падения и угол преломления связаны между собой соотношением (2.15).

Таким образом, любой элементарный участок поверхности равных фаз волны, описанной выражением (2.3), при распространении ведет себя как элемент волновой поверхности плоской волны.

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: