Полос а пmрот практическ и постоянног о масштаба

для Земли-эллипсоида

с1;   с2 = N1cosq>  1/ N2 cosq> 2 .  (

 

Рассмотрим характер изменения масштаба  на карте, со­ ставленной в проекции  Меркатора. Для этого сравним частные масштабы по двум параллелям  q> 1 и q> 2, принимая Землю за шар.

Частный  масштаб  по  параллели  АоАо'  с широтой 'Pt  (см.  рис.

5.1):

 

Особый интерес представляет отношение

 

C 0 jC= v,                                                                                             (

 

где С0 - знаменатель главного масштаба  карты;  С - знамена масштаба произвольной параллели; v - модуль параллели.

n 1 = АА' 1 АоАо'  = RdЛ/ R cosq>  1 d'л. = 1/cosq>  1 = sec q> 1.           (5.6)

Модуль  параллели - число,  разделив  на  которое  знамена

Частный масштаб по параллели  Ао" А 0 " ' с широтой q> 2

главного масштаба карты, получают знаменатель масштаба пр вольной параллели.

 

 

На основании полученных  выражений  можно  заключить,  что частный масштаб по параллели зависит только от широты этой па­ раллели. И как следствие: масштаб вдоль параллели не изменяется.

При изменении же широты  масштаб изменяется:

 

 

(5.8)

Модуль параллели  рассчитывают,  выбирая  из Картографи ких таблиц длину Р 0  одной минуты дуги главной параллели  к по ее широте q> 0 , указанной в заголовке карты, а также длину

ной минуты дуги параллели с заданной  широтой  q>:

v= Р 0 /Р.                                                                    ( При отсутствии  Картографических таблиц,  Землю  приним

за шар и расчет ведут по упрощенной формуле

 

V  = COSq> 0jCOSq>.                                                          (

 

70                                                                                                   Раздел 2. Картография

Глава 5. Нормальная равноугольная проекция  Меркатора

 

Поскольку с увеличением широты  масштаб непрерывно возра­ стает, то при  работе на карте это обстоятельство принимается во внимание, и отрезки  расстояний на карте в проекции Меркатора измеряются той частью линейного масштаба, который расположен около средней параллели измеряемого отрезка.

Для перевода масштабов по главным параллелям, указанным  на картах в проекции Меркатора,  в экваториальный масштаб, можно

ругление  производится также  в  меньшую  сторону  до  значе кратного одной целой минуте.

 

 

5.5    Едиmща карты

 

Для вычисления размеров рамки карты и построения

использовать табл.  2.30,  помещенную в  справочнике  МТ-2000. При построении линейного (широтного) масштаба  вертикальную

рамку нужно разбить (разделить) на отрезки,  равные одной мину­

тографической сетки  потребовалась  особая  единица  измере

которая не бьша бы подвержена искажениям. Морская миля- на дуги меридиана в качестве таковой не подходит, так как яв

те дуги меридиана (одной  морской  миле),  имеющей  в различных

ся переменной величиной. На меркаторской проекции не иск

широтах разную длину. Наиболее строгим и точным решениемта­

кой задачи бьш бы расчет картографических абсцисс  х = j{) для

ется  только  земной  экватор,  и именно  поэтому  одна  его ми

бьша выбрана в качестве картографической единицы длины.

всех параллелей  от широты  южной  рамки  до  широты  северной рамки карты с широтным интервалом в одну минуту. Однако такой расчет является  сложным  и трудоемким. Этого и не требуется для практических задач. Поэтому при составлении карты параллели проводят  через определенные промежутки  (широтный интервал) А, внутри которых деление рамки на минуты осушествляется раз­

на одной минуты дуги земного экватора иначе называется  экв

риальной  или географической милей (минутой).  Длина  экват альной  мили в метрах

 

3

А1 ' = aarc1' = 6378245/3437, 75 = 1855, 36 м.      (

бивкой их на равные части, соответствующие средней длине мину­

ты меридиана  в данном промежутке.  Внутри такой полосы широт

Аизменение масштаба  настолько мало,  что оно  не превышает ошибок  графических  построений. Представляет  интерес  та  раз­ ность  широт,  в пределах  которой  длина  минуты  меридиана  без ушерба для точности графических построений может быть приня­ та постоянной величиной.

Профессор В.В. Каврайский установил  зависимость полосы широт практически постоянного масштаба от широты  и масштаба карты:

Длина графического изображения одной минуты дуги эква

на меркаторской проекции называется единицей карты.

Единица карты выражается, как правило, в миллиметрах  и считывается по формуле

 

 

Al 1                  aarcl 1

(

е=--э  =--

сэ  сэ  '

 

 

3

где С  -знаменатель масштаба по экватору.

На меркаторской проекции  меридианы  параллельны  друг

А< р1=

CNctg< pN

674

(5.15)

гу, а масштаб не изменяется по долготе, поэтому графическое бражение  одной  минуты дуги экватора  равно изображению о минуты дуги любой параллели.  По этой же причине  единица

где С N- знаменатель частного масштаба на рамке карты, ближай­

шей к полюсу, Nш-ирота этой рамки.

В готовом виде величины промежутков А' приводятся в Карто­ графических  таблицах. Рассчитанный (или выбранный из таблиц) промежуток практически  постоянного  масштаба округляется в меньшую сторону до значения, кратного 5' или 10', и принимается затем в качестве широтного  интервала,  через который на карте проводятся  параллели  картографической сетки.  Если выбранный

или рассчитанный широтный  интервал окажется меньше 5', то ок-

ты для данной  карты является  величиной постоянной и ее мо рассчитать по радиусу произвольной параллели:

 

rarcl 1           N cos < parcl 1

е= -с-= --с-'---,                                     (

 

 

где r- радиус параллели в широте ·

72                                                                                                    Раздел 2. Картография

 

 

Единица  карты  используется  при  расчете  картографической сетки меркаторской проекции, а также при графических построе­ ниях на карте в качестве постоянной единицы длины.

Для стандартных масштабов  значения единицы карты  приво­

Глава 5. Нормальная  равноугольная проекция  Меркатора

 

5.7    Меркаторека я миля

 

Если на карте в проекции Меркатора провести парал через  одну минуту  широты,  то РМЧ этих параллелей  предст

дятся в табл. 4 сборника  " Картографические таблицы".

собой длину отрезка дуги меридиана,  выраженную в экватори ных  минутах.  Длина  графического изображения  одной  ми широты  на  меркаторской карте  называется  меркаторской м

5.6    Меридиональные части

Вертикальная рамка карты в меркаторской проекции разбита в

 

При составлении карт каждую параллель проводят,  рас­

нутах широты так, что ее используют как шкалу широты.  Поск

ку одна минута широты соответствует морской миле, то шкала

считывая расстояние  от экватора до этой параллели в постоянных единицах длины.  Расстояние на меркаторской проекции по мери­ диану между экватором и данной  параллелью, выраженное в эква­ ториальных минутах, называется меридиональной частью параллели (МЧили D).

Уравнение  параллелей (5.5) для практических расчетов неудоб­

но. Подставляя в (5.5) величину  радиуса экватора  а=  3437, 747 эк­

роты одновременно является и шкалой расстояний, выраженн морских милях.

Меркаторскую милю выражают в миллиметрах и рассчиты по  отношению длины  одной  минуты  меридиана к  знамена

масштаба карты:

 

 

! 11' Marc1'

ваториальных минут,  и разделив  ее на модуль  перехода  от нату­

ральных логарифмов к десятичным Mod = 0, 434294, получим фор­

0=с

- -с-.

мулу для расчета меридиональной части параллели с широтой  < р  на

эллипсоиде:

Подставляя  в числитель  величину  морской  мили,  выражен в миллиметрах, получим

-es

D = 7915,  70447lgtg(45> + )( 1

n< p f.

 

(5.19)

2 l+esш< p)

 

По формуле  (5.19) составлена  табл. 2.28а сборника " Мореход­ ные таблицы" (МТ-2000).  Меридиональные части параллелей  Се­ верного полушария  положительны, параллелей  Южного  полуша­ рия - отрицательны.

Расстояние по  меридиану  на  меркаторской  проекции  между

двумя параллелями, выраженное в экваториальных минутах, назы­

вается разностью  меридиональных частей (РМЧили дD):

 

РМЧ= МЧ 2 - МЧ 1  или ! lD = D2 - D1.

Знак разности меридиональных частей соответствует знаку раз­

ности широт этих параллелей.

О= 1000(1852, 3-9, 3cos2< p).

с

Меркаторекая миля,  являясь  масштабным отображением ской мили, увеличивается с ростом широты. Поэтому,  как уж мечалось, при измерении расстояний на карте необходимо пол ваться  шкалой  вертикальной рамки в том диапазоне широт, тором находится  измеряемый отрезок.

 

5.8 Главная параллель карты

При приближенном решении  навигационных задач, когда Зем­

лю принимают за шар, необходимые  меридиональные части МЧш

При проектировании условного  глобуса на касатель по экватору цилиндр (см. рис. 5.2), с увеличением  широты иск

получают по формуле

 

МЧш = МЧ +дМЧ,

 

где дМЧ- поправка, выбираемая из табл. 2.286 МТ-2000.

ния длин растут быстро. Так, частный  масштаб в широте 48° б в 1, 5 раза больше масштаба на экваторе, а в широтах 60° и 70° ответственно в 2 и 3 раза больше масштаба на экваторе. Пропо онально  изменению масштаба увеличится  в этих широтах и д меркаторской мили.

74                                   Раздел 2. Картография

 

Для уменьшения искажения длин в пределах листа карты услов­ ный глобус проектируют не на касательный, а на секуший цилиндр (рис.  5.4)  так,  чтобы  параллель сечения примерно совпадала со средней широтой картографируемого участка.

При таком способе проектирования параллель сечения перено­

сится на плоскость карты без искажений, а остальные параллели, в том числе  и экватор, будут искажены: параллели, расположенные между полюсом и параллелью сечения, увеличат свою  длину, па­ раллели же,  расположенные между экватором и параллелью сече­ ния, уменьшат свою длину на плоскости.

Таким образом, главный масштаб карты  вдоль параллели сече­

ния  не  изменится. Параллель, вдоль которой сохраняется главный масштаб карты, называется главной. Широта главной параллели

u

с: рm указывается в заголовке карты.

В России для  различных мореи  и широтных поясов установле-

ны  единые главные параллели в зависимости от крайних широт, охватываемых данным морем  (районом Мирового океана), назы­ ваемые  стандартными  главными  параллелями.  Масштабы  всех карт  данного моря  (района)  рассчитываются для  установленной

Глава 5. Нормальная равноугольная проекция  Меркатора

 

Каспийское море  ............................ ·< Рrп = 42' Средиземное море  ............................< рrп = 40' Моря  в пределах широт  от 10' до 33'............ ·< Рrп = 25' Моря  в пределах широт от О' до 10'  ............. ·< Рrп = 0'.

 

Полный перечень стандартных главных  параллелей приве

Картографических таблицах.

Стандартизация главных параллелей, издаваемых в Россий Федерации морских карт,  позволяет склеивать карты одного штаба  соседних участков моря, упрощает процесс переноса корабля с карты  на карту одинакового масштаба при  ведени вигационной прокладки и уменьшает вероятность промахов боте судоводителей.

 

 

5.9    Расчеr и ПОС! Роение картографической сеrки меркаторскои проекции

 

Рассмотрим порядок решения таких  задач на приме

Предположим, предстоит вычислить и вычертить картогр

стандартной главной параллели (при  этом  главной параллели на карте может и не быть).

Примеры стандартных главных параллелей:

ческую сетку меркаторской карты на  район, ограниченный раллелями с: р s = 30'00' N и с: р N = 36'00' N, а также  меридианами

= 11'00'Е и 'АЕ = 21'00'Е в масштабе J..Lo  = 1: 1000000 для главно

 

Баренцево море  ............................. ·< Рrп = 69' Балтийское море............................ · ·< Рrп = 60'

раллели с: р0 = 40'.  Параллели провести через  1' широты, а мери ны - через 2' долготы.

Для решения задачи  необходимо:

Черное и Азовское моря  ...................... ·< Рrп = 44'

• вычислить размеры вертикальной и горизонтальной рамок ка

• вычислить положение меридианов и параллелей на листе ка

• вычислить промежуток практически постоянного масштаб

• вычертить  рамку  карты,  картографическую сетку  и  нан опорные пункты (заданные ориентиры).

 

 

е

 

Рис. 5.4. Проектирование глобуса на секу­

щийцилиндр

Порядок решения задачи.

1. Вычислить единицу карты е по формуле

 

е= Р 0 /  С0,

 

где  Р 0 - длина одной минуты  главной параллели в миллиме выбираемая из  табл.  N22 сборника " Картографические табл

по широте с: р0 главной параллели карты; С0 - знаменатель мас ба по главной параллели.

е= 1423255/1000000 = 1, 423255  мм.

 

76                                                                                                   Раздел 2. Картография

 

Иногда возникает необходимость рассчитать, в каком масштабе нужно  составить карту,  чтобы  она  вмещала заданную разность долгот. Или  в другой  формулировке: какой выбрать масштаб, что­ бы нужный район  поместился на имеющемся листе бумаги. В этом случае сначала определяют единицу карты по формуле

 

е=а/РД:,

 

где  а  - длина  горизонтальной  рамки  карты  в  миллиметрах

(рис. 5.5);  РД: - заданная разность долгот  в дуговых  минутах.

Далее  находят знаменатель главного масштаба

 

С 0 = P 0 je.

2. Рассчитать длину  а горизонтальной рамки карты  в миллиме­

трах по формуле

 

а= е (t, E- Лw),

где ЛЕ и Лw- долготы  восточной и западной рамок карты  соответ­

ственно.

а= 1, 423255(1260- 660)  = 853, 94  мм.

 

3. Рассчитать длину  Ь вертикальной рамки карты в миллиметрах по формуле

Глава  5. Нормальная равноугольная проекция Меркатора

 

 

где DNи Ds- меридиональные части северной и южной рамок ты соответственно, выбираемые из табл. 1 сборника " Картогр ческие таблицы" по заданной широте.

 

ь = 1, 423255(2304, 5- 1876, 9) = 608, 59  мм.

 

l                                                   l

4. Рассчитать расстояния bs. от нижней и bN· от верхней р карты  до каждои из заданных параллелеи с меридиональным стями Di:

 

bsi = e(Di- Ds);

 

bNi = e(DN- D).

 

Для  контроля выполнить проверку: bs. + bN = Ь.

Расчеты удобно проводить в табличноh форме (табл. 5.1)

 

5. Рассчитать расстояния awioт  западной и aEi от восточно мок карты до каждого из заданных меридианов с долготой Лi:

 

aW; = е(Лi- Лw);

 

аЕ. = е(ЛЕ- Лi).

l

 

Для контроля выполнить проверку: а W· + а Е-= а.

1           1

Расчеты удобно проводить в табличной форме (табл. 5.2).

 

6. Вычислить промежуток практически постоянного масш по формуле

 

 

 

Рис. 5.5. Построение  картографической сетки в меркаторской проекции

Таблица 5.1. Расчет расстояний  Ь 5 и hн

 

Параллели

Величина     31·N зz·N зз·N 34·N зs· D;, экв. мили D 5, экв. мили Dн, экв. мили bs = e(D; - Ds), мм Ьн= е(Dн- D; ), мм bs+ Ьн= Ь, мм 1946, 2' 1876, 9' 2304, 5' 98, 63 509, 95 608, 58 2016, 2' 1876, 9' 2304, 5' 198, 26 410, 32 608, 58 2087, 0' 1876, 9' 2304, 5' 299, 03 309, 56 608, 59 2158, 6' 1876, 9' 2304, 5' 400, 93 207, 65 608, 58 2231, 1876 2304 504 104 608,

N

78                                  Раздел 2. Картография

Глава 6. Равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса

 

 

где < рN- широта ближайшей к полюсу рамки карты; С N- знамена­

тель частного масштаба по этой рамке.

 

< р = (lOбctg 40°/674)0•5 = 42'.

мещения шкал широты и долготы. Погрешности вычисления несения всех элементов  картографической сетки не должны вышать 0, 2 мм - погрешностей графических построений.

9. При необходимости нанести  на планшет опорный пункт вигационный ориентир), следует выписать  его координаты пользовать  их для вычисления расстояний от рамок карты д ридиана  и до параллели опорного пункта М:

Ь MN = e(DN- Dм)  - от северной  рамки карты до параллели

 

Округляя  в меньшую сторону до величины, кратной  5, примем

< р =40'. Если результат получен меньше 5', то принимают  < р =1'. Именно в пределах такого промежутка допустимо  производить разбивку  рамок данной  карты  путем деления  отрезков  рамки  на

Ь мs  = e(D м- D5) - от южной рамки карты до параллели  М

Для контроля выполнить проверку: Ь MN + Ь мs = Ь.

а м w = е( Л м- Лw) - от западной  рамки карты до меридиан

а МЕ  = е( ЛЕ- Лм) - от восточной  рамки карты до меридиан

Для контроля выполнить проверку: а м w + а МЕ = а.

равные части.

7. Вычерчивание планшета начинают с прокладки любой диаго­

нали рамки,  направляя ее по диагонали  листа бумаги. Углы рамки находят,  выполняя  засечки  из концов  диагонали как  из  центров радиусами,  равными  рассчитанным сторонам  рамки. Для провер­

ки прямоугольности полученной фигуры,  необходимо  измерить длину второй диагонали и сравнить с ее с расчетной длиной диаго­ нали прямоугольника.

Длина диагонали

Место  опорного пункта  (навигационного ориентира) пол ют, проводя  его меридиан  и параллель.

 

 

Глава 6

 

РАВНОУГОЛЬНАЯ ПОПЕРЕЧНАЯ ЦИЛИНДРИЧЕСКАЯ ПРОЕКЦИЯ ГАУССА

 

 

6.1    Сферические и mоские прямоугольные координаты

 

Проекция Карла Гаусса бьша разработана им в 1825-183

Промежуточные параллели  и меридианы проводят,  используя рассчитанные их удаления от рамок карты. Далее, с внешней сто­ роны всех рамок карты проводят полосу шириной 3-5 мм для раз-

а затем ее изменили  и упростили в 1911 г.- И. Крюгер, а в 1919

Ф.Н.  Красовский.

В проекции, предложенной К.  Гауссом издаются  крупно

штабные  карты  и планшеты  для геодезических и гидрографи

ких работ. Эта равноугольная поперечная цилиндрическая пр

Таблица 5.2. Расчет расстояний  аwи а Е

ция используется также для составления топографических кар

Величина Меридианы   lЗ'Е lS'E 17'Е 19'Е Л.;, дуг. мин Лw, дуг. мин ЛЕ, дуг. мин aw= е(Л; - Лw), мм а Е= е(ЛЕ- Л; ), мм aw+ а Е= а, мм 780 660 1260 170, 78 683, 16 853, 94 900 660 1260 341, 56 512, 37 853, 95 1020 660 1260 512, 37 341, 58 853, 95 1140 660 1260 683, 16 170, 79 853, 95

Основные требования, которые предъявляются к топограф ской карте:

•  равноугольность;

• постоянство масштаба по всем направлениям в пределах ка

•  ортодромичность.

 

Изображение поверхности эллипсоида  осуществляется по тям  - отдельными зонами  шириной в 6° долготы.  Каждая имеет свою  обособленную систему  прямоугольных сфероиди ких координат. Началом системы координат  в каждой зоне явл

 

80                                                                                                   Раздел  2. Картография

Глова 6. Равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса

 

Сферическая координата У- расстояние в метрической сис

х                                                                                  мер от осевого меридиана  до малого крута, проходящего  чере данную точку параллельно плоскости  осевого меридиана.

Координата Х точки А положительна, если точка располага

1

...

 

 

А(х, у)

 

в северном  полушарии  и отрицательна, если  точка  находит южном  полушарии. Координата У точки  А положительна,

 

 

Ао              у

точка удалена от осевого меридиана к востоку, и отрицательна ли точка расположена к западу от осевого меридиана.

Если через точку

А провести  географический меридиан, т

направление не совпадет  с направлением малого крута, прох щего через эту точку. Угол между меридианом точки А и напра нием  малого  крута  в данной точке  называется углом  сближ

Ps

Рис. 6.1. Прямоугольная  система сфероидических  координат

(схождения) меридианов и обозначается буквой  у (гамма) грече го алфавита. Плоскость малого крута параллельна плоскости

 

 

ся точка Ао пересечения осевого (среднего) меридиана зоны с эква­

тором (рис. 6.1).

Примем  Землю за шар и рассмотрим  систему сферических ко­

ординат (рис. 6.2).

Координатными осями являются осевой меридиан  зоны и эква­

вого меридиана, поэтому утол сближения меридианов выража

формулой

 

 

 

0

где L  - долгота осевого меридиана;  < р  и Л - географические к динаты заданной  точки.

тор. Координатными линиями являются  дути взаимно  перпенди­ кулярных больших крутов, один из которых совпадает с осевым меридианом данной  зоны,  а друтой проходит  через точку  А пер­ пендикулярно плоскости осевого меридиана.

На поверхности  сферы  положение  заданной  точки А определя­

ется сферическими координатами Х и У.

Сферическая координата Х- расстояние в метрической системе

мер от экватора  до большого  крута, проходящего  через заданную

На плоскости (на карте)  положение  точки  определяется п

кими прямоутольными (декартовыми) координатами х, у.

 

 

6.2     Пр1ПЩШ1 ПОС1рое1ШЯ картографической   сетки.

УравнеiШЯ проекщm

 

При построении картографической сетки в проекци

точку А перпендикулярно плоскости осевого меридиана.

усса координатные линии  рассмотренной сферической сист

координат проектируются на боковую поверхность цилиндра

сающегося  поверхности  условного глобуса по осевому мерид каждой зоны поочередно (рис. 6.3). При этом ось цилиндра раз нута относительно оси глобуса на 90° - проекция поперечная этот цилиндр  проектируются осевой меридиан, дути больших гов и малые крути, параллельные осевому меридиану.

Если теперь разрезать цилиндр по образующей и развернуть плоскость, то получится сетка плоских прямоутольных координа

е                                                   q                                                                                              которой вертикальными прямыми линиями  изображены осевой

Рис. 6.2. Прямоугольная сис­

тема сферических координат

ридиан и малые круги, параллельные осевому меридиану, а гори

тальными  прямыми линиями  - большие круги, перпендикуля осевому меридиану. При этом малые крути, параллельные осе

82                                                                                                    Раздел  2. Картография

 

Глава 6. Равноугольная поперечная ЦИJIИJЩрическая щ: юекция Гаусса

 

 

в   с     dx   А dy D

а              N                         б              х

 

о,

у

 

Рис. 6.4. К выводу уравнений проекции Гаусса на сфере (а) и плоскости  (б)

 

т n

\                                                                                                                                             где r- радиус параллели; R- радиус экватора;  У/ R -  угол при

к г-К                                   к'

j

ь г-В                                  Ь'

тре сферы.

Поэтому отрезок дуги малого  круга

 

а А      

 

о  т' n' s'

-

 

Рис. 6.3. Построение  про­

екции Гаусса

 

 

 

На плоскости бесконечно малая трапеция А 0 В 0 C 0 D 0 изобра

меридиану, растянулись пропорционально sec У/ R (до длины осевого меридиана). Для соблюдения условия равноугольности соответствен­ но растянуты и дуги больших кругов, перпендикулярных осевому ме­ ридиану (аналогично построению меркаторской проекции).

В общем виде  уравнения поперечной цилиндрической проек­

ции  имеют  вид:

 

х= СХ;

 

у= j( }').                                                                       (6.2)

 

Для  вывода  уравнений проекции Гаусса на поверхности сферы (рис.  6.4,  а) вьщелена  бесконечно малая  трапеция A 0 B 0 C 0 D 0, огра­ ниченная двумя  дугами  больших  ( A 0 D 0, В 0 С0)  и  малых  кругов

(А 0 В, D  C ). Расстояние между большими кругами A 0 D 0 и В 0 С 0  по

ся бесконечно малым прямоугольником ABCD, в котором АВ=

а AD = dy (рис.  6.4, б).

Условие равноугольности проекции:

 

т=п.

 

Согласно определению масштаба

 

 

АВ    AD

АоВо  = AoDo;

 

 

dx        dy

 

d.X cos у dY

0 0  0                                                                                                                                                                                      R

осевому меридиану MN равно dX, а расстояние между малыми кру­

гами А 0 В 0  и D 0 C 0 равно  dY.

Длина отрезка  малого круга  А 0 В 0  определяется из  известного

соотношения радиусов параллели и экватора

у

r = Rcos-,

R

 

Отсюда

 

 

dy=dY     dx

у

d.X cos­

R

84                                                                                                  Раздел  2. Картография

 

Осевой меридиан  проектировался без искажений (dx = dX), по­

этому

Глава б. Равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса

1

dy=dy--y·

cos­

R

 

(6.3)

 

 

Интегрируя выражение  (6.3) в пределах от О до У, получим фор­ мулу для вычисления плоской ординаты  у в зависимости от сфери­ ческой ординаты  У:

 

Рис. 6.5. Схема зон при изображе­ нии поверхности Земли в проекции Гаусса

 

Уравнения  равноугольной поперечной цилиндрической проек­

ции  Гаусса, выражающие  связь географических координат точки

Поэтому для изображения поверхности Земли в проекции Г

са и принята координатная зона общей шириной в 6°, распола

на поверхности  Земли с плоскими  координатами на карте, имеют

вид:

 

х=Х;

щаяся  на 3° по долготе  по обе стороны  от осевого  меридиан

пределах такой  шестиградусной координатной зоны  искаж длин не превысят 111 м. Иногда для особо точных работ могут меняться и трехградусные зоны.

Счет  зон  ведется от Гринвича  к востоку.  Всего таких  зон

Границами зон являются  меридианы, кратные шести (рис. 6.5

3

(6.4)

Если известен номер зоны N, то долгота осевого меридиан

 

Анализ полученных уравнений  позволяет определить основные свойства проекции:

• координатные  линии  х и у - прямые,  при этом линии  х парал­

лельны осевому меридиану, а линии у параллельны экватору, т. е.

линии х и у являются взаимно перпендикулярными прямыми;

• масштаб карты по оси Х (по осевому меридиану) не изменяется;

• масштаб карты по оси У теоретически возрастает с удалением от осевого меридиана пропорционально sec У/ R.

 

При удалении от осевого меридиана на 100 км искажение длин - разность (у- У) -составит 1, 1 м, а при удалении на 300 км- 110, 6 м. Для карты масштаба  М= 1: 1 000 000 предельная  точность масшта­ ба составит 200 м, что примерно вдвое меньше указанного искаже­ ния. Далее искажения будут возрастать очень быстро. Удаление от осевого меридиана  на 300 км сuответствует разности долгот точки и осевого меридиана  около 3° (точнее - 2, Т).

 

Номер  зоны, в которой  находится точка с географической готой Л, может быть рассчитан по формуле с округлением до м шего целого числа:

л

N3  =-+1.

б

Например для точки с Л = 31, 3°Е:

 

N  =31, 3/6+ 1 =5, 22+ 1 =6, 22", 6;

3

 

=

L  = 6 · 6 - 3 33о.

0

 

Для  облегчения работы  по определению координатных з поясов  карт  в проекции Гаусса в сборнике МТ-2000 поме табл. 2.31.

 

86                                   Раздел 2. Картография

 

Координатные линии в проекции Гаусса оцифрованы в метри­ ческой системе мер. Оцифровка горизонтальных линий показыва­ ет удаление этой линии в метрах  от экватора, а оцифровка верти­ кальных линий - удаление их в метрах  от осевого меридиана.

Счет  абсцисс х во всех зонах  ведут от экватора к полюсам. Аб­

сциссы точек северного полушария положительны, а абсциссы то­ чек южного полушария отрицательны. Как правило, в средних ши­ ротах  России абсциссы выражаются в метрах  семизначным чис­

лом.  Например, х = 4983340.

Счет ординат у ведут в каждой зоне от осевого меридиана этой зо­

ны к востоку или к западу от него. Ординаты точек к востоку от осе­ вого  меридиана положительны, а ординаты точек  к западу  от него отрицательны. Для исключения отрицательных чисел при расчетах, ординаты осевых меридианов каждой зоны  увеличены на 500000 м. Тем самым при оцифровке вертикальных координатных линий осе­ вой меридиан всегда обозначается ординатой у= 500 000 м. Поэто­ му все вертикальные координатные линии к западу  от осевого ме­ ридиана имеют  оцифровку у'= 500 000- у, а вертикальные коор­ динатные линии к востоку от осевого меридиана имеют оцифров­ ку у'= 500 000 +у, гдеу-фактическое удаление данной линии от осевого меридиана в метрах.

Для определения зоны, к которой относится данная ордината у,

в ее оцифровку включается порядковый номер шестиградусной зоны  в виде  двух первых цифр. Например, у= 12 630 250. Здесь первые две  цифры означают порядковый номер шестиградусной

зоны  (зона  NQ 12).

Глава 6. Равноугольная поперечная цилиндрическая проекция Гаусса

 

х                        х

 

 

Рис. 6.6. Дирекционные на­

Правления

 

 

В общем случае географические меридианы и параллели на те в проекции Гаусса - кривые линии.

Меридианы симметричны относительно осевого мерид параллели - относительно экватора. Следовательно, и локс мия  на карте в проекции Гаусса - кривая линия.

Ортодромия на такой карте тоже кривая, обращенная вып стью  в сторону от осевого меридиана. Однако радиус  кривиз настолько велик, что практически ортодромия совпадает с пр линией. Поэтому на  практике кратчайшее расстояние на  ка проекции Гаусса измеряется по направлению прямой линии ду заданными точками.

Все направления, измеряемые относительно вертикальны ний  на карте  в проекции Гаусса, называются дирекционны.ми.

Дирекционный угол Т- угол между северной частью верти

Таким образом, прямоугольные координаты точки на  карте  в проекции Гаусса записываются в метрах  с указанием для коорди­ наты  у номера зоны. Например, х = 3 930 580 м; у= 6 760 340 м. Эта точка  находится в шестой зоне,  удалена  к северу  от  экватора на расстояние 3 930 580 м и к востоку от осевого  меридиана зоны  на

260 340 м.

ной  линии, параллельной оси  х, и прямой линией, соединяю

место  наблюдателя К и объект  М (рис.  6.6).

Проведем через точку  К меридиан и обозначим угол межд ридианом и вертикальной линией у.

Из  рисунка видно:

ИП= Т+  у; Т=ИП-у.

 

6.3    ОпределеiПi е направлений и расстояний

Следовательно, для  перехода  от дирекционных направлен

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: