Декартовой прямоугольной.

 

       В случае сферической системы координат соотношения имеют вид:

 

 

 

 

                              

§6. Линейные преобразования.

       Определение: Будем считать, что в линейном пространстве L задано некоторое линейное преобразование А, если любому элементу Î L по некоторому правилу ставится в соответствие элемент А Î L.

       Определение: Преобразование А называется линейным, если для любых векторов Î L и Î L и любого a верно:

A( + ) = A +A  

A(a ) = aA

       Определение: Линейное преобразование называется тождественным, если оно преобразует элемент линейного пространства сам в себя.

Е  =

 

       Пример. Является ли А линейным преобразованием. А = + ; ¹ 0.

 

Запишем преобразование А для какого- либо элемента . А  = +

Проверим, выполняется ли правило операции сложения для этого преобразования А( + ) = + + ; A( ) + A( ) = + + + , что верно только при = 0, т.е. данное преобразование А нелинейное.

 

       Определение: Если в пространстве L имеются векторы линейного преобразования , то другой вектор является линейной комбинацией векторов .

 

       Определение: Если  только при a = b = … = l = 0, то векторы называются линейно независимыми.

 

       Определение: Если в линейном пространстве L есть n линейно независимых векторов и любые n + 1 векторов линейно зависимы, то пространство L называется n-мерным, а совокупность линейно независимых векторов называется базисом линейного пространства L.

 

       Следствие: Любой вектор линейного пространства может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса.

 

       Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом , ,…,  задано линейное преобразование А. Тогда векторы А ,А ,…,А - также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:

 

A = a₁₁ + a₂₁ +…+ a_n1

A = a₁₂ + a₂₂ +…+ a_n2

……………………………….

A = a_n1 + a_n2 +…+ a_nn

Тогда матрица А =  называется матрицей линейного преобразования А.

       Если в пространстве L взять вектор = x₁ + x₂ +…+ x_n , то A Î L.

, где

……………………………..

       Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе , ,…, .

В матричном виде:

,        А× ,  

 

       Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде:

x¢ = x + y

y¢ = y + z

z¢ = z + x

x¢ = 1×x + 1×y + 0×z

y¢ = 0×x + 1×y + 1×z

z¢ = 1×x + 0×y + 1×z

A =

 

На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.

Определение: Если вектор переводится в вектор  линейным преобразованием с матрицей А, а вектор  в вектор  линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор  в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).

С = В×А

       Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор  и линейное преобразование В, переводящее вектор  в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор  в вектор .

С = В×А

Т.е.

 

       Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.

 

 

§7. Собственные значения и собственные векторы линейного преобразования.

           

       Определение: Пусть L – заданное n- мерное линейное пространство. Ненулевой вектор L называется собственным вектором линейного преобразования А, если существует такое число l, что выполняется равенство:

 

A (7.1)

 

При этом число l называется собственным значением (характеристическим числом) линейного преобразования А, соответствующего вектору .

 

Перенеся правую часть (7.1) в левую и принимая во внимание соотношение , перепишем (7.1) в виде

(7.2)

 

Уравнение (7.2) эквивалентно системе линейных однородных уравнений:

  (7.3)

Для существования ненулевого решения системы линейных однородных уравнений (7.3) необходимо и достаточно, чтобы определитель коэффициентов этой системы равнялся нулю, т.е.

|A-λE|= (7.4)

Этот определитель является многочленом n-ой степени относительно λ и называется характеристическим многочленом линейного преобразования А, а уравнение (7.4) - характеристическим уравнением матрицы А.

Определение: Если линейное преобразование А в некотором базисе , ,…,  имеет матрицу А = , то собственные значения линейного преобразования А можно найти как корни l₁, l₂, … ,l_n характеристического уравнения:

           

       Рассмотрим частный случай. Пусть А – некоторое линейное преобразование плоскости, матрица которого равна . Тогда преобразование А может быть задано формулами:

 

;   

в некотором базисе .

       Если преобразование А имеет собственный вектор с собственным значением l, то А .

или

 

       Т.к. собственный вектор ненулевой, то х₁ и х₂ не равны нулю одновременно. Т.к. данная система однородна, то для того, чтобы она имела нетривиальное решение, определитель системы должен быть равен нулю. В противном случае по правилу Крамера система имеет единственное решение – нулевое, что невозможно.

       Полученное уравнение является характеристическим уравнением линейного преобразования А.

 

       Таким образом, можно найти собственный вектор (х₁, х₂) линейного преобразования А с собственным значением l, где l - корень характеристического уравнения, а х₁ и х₂ – корни системы уравнений при подстановке в нее значения l.

 

       Понятно, что если характеристическое уравнение не имеет действительных корней, то линейное преобразование А не имеет собственных векторов.

       Следует отметить, что если - собственный вектор преобразования А, то и любой вектор ему коллинеарный – тоже собственный с тем же самым собственным значением l.

       Действительно, . Если учесть, что векторы имеют одно начало, то эти векторы образуют так называемое собственное направление или собственную прямую.

 

       Т.к. характеристическое уравнение может иметь два различных действительных корня l₁ и l₂, то в этом случае при подстановке их в систему уравнений получим бесконечное количество решений. (Т.к. уравнения линейно зависимы). Это множество решений определяет две собственные прямые.

       Если характеристическое уравнение имеет два равных корня l₁ = l₂ = l, то либо имеется лишь одна собственная прямая, либо, если при подстановке в систему она превращается в систему вида: . Эта система удовлетворяет любым значениям х₁ и х₂. Тогда все векторы будут собственными, и такое преобразование называется преобразованием подобия.

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

Запишем линейное преобразование в виде:

Составим характеристическое уравнение:

l² - 8l + 7 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = 7; l₂ = 1;

       Для корня l₁ = 7:

Из системы получается зависимость: x₁ – 2 x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: ( t; 0,5 t) где t- параметр.

 

       Для корня l₂ = 1:

Из системы получается зависимость: x₁ + x₂ = 0. Собственные векторы для второго корня характеристического уравнения имеют координаты: ( t; - t) где t- параметр.

       Полученные собственные векторы можно записать в виде:

       Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования с матрицей А = .

 

Запишем линейное преобразование в виде:

 

Составим характеристическое уравнение:

l² - 4l + 4 = 0;

Корни характеристического уравнения: l₁ = l₂ = 2;

       Получаем:

Из системы получается зависимость: x₁ – x₂ = 0. Собственные векторы для первого корня характеристического уравнения имеют координаты: ( t; t) где t- параметр.

       Собственный вектор можно записать: .

 

 

       Рассмотрим другой частный случай. Если - собственный вектор линейного преобразования А, заданного в трехмерном линейном пространстве, а х₁, х₂, х₃ – компоненты этого вектора в некотором базисе , то

,

где l - собственное значение (характеристическое число) преобразования А.

 

       Если матрица линейного преобразования А имеет вид:

 

, то

 

Характеристическое уравнение:  

       Раскрыв определитель, получим кубическое уравнение относительно l. Любое кубическое уравнение с действительными коэффициентами имеет либо один, либо три действительных корня.

       Тогда любое линейное преобразование в трехмерном пространстве имеет собственные векторы.

 

Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

       Составим характеристическое уравнение:

 

 

 

(1 - l)((5 - l)(1 - l) - 1) - (1 - l - 3) + 3(1 - 15 + 3l) = 0

(1 - l)(5 - 5l - l + l² - 1) + 2 + l - 42 + 9l = 0

(1 - l)(4 - 6l + l²) + 10l - 40 = 0

4 - 6l + l² - 4l + 6l² - l³ + 10l - 40 = 0

-l³ + 7l² – 36 = 0

-l³ + 9l² - 2l² – 36 = 0

-l²(l + 2) + 9(l² – 4) = 0

(l + 2)(-l² + 9l - 18) = 0

 

Собственные значения: l₁ = -2; l₂ = 3; l₃ = 6;

 

1) Для l₁ = -2:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 0; x₃ = -1;

 

Собственные векторы:

 

2) Для l₂ = 3:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = -1; x₃ = 1;

 

Собственные векторы:

 

3) Для l₃ = 6:

 

Если принять х₁ = 1, то Þ х₂ = 2; x₃ = 1;

Собственные векторы:

 

       Пример. Найти характеристические числа и собственные векторы линейного преобразования А, матрица линейного преобразования А = .

 

       Составим характеристическое уравнение:

 

 

-(3 + l)((1 - l)(2 - l) – 2) + 2(4 - 2l - 2) - 4(2 - 1 + l) = 0

-(3 + l)(2 - l - 2l + l² - 2) + 2(2 - 2l) - 4(1 + l) = 0

-(3 + l)(l² - 3l) + 4 - 4l - 4 - 4l = 0

-3l² + 9l - l³ + 3l² - 8l = 0

-l³ + l = 0

l₁ = 0; l₂ = 1; l₃ = -1;

 

       Для l₁ = 0:

                       

Если принять х₃ = 1, получаем х₁ = 0, х₂ = -2

Собственные векторы   ×t, где t – параметр.

 

Аналогично можно найти и  для l₂ и l₃.

 

 §7. Квадратичные формы.

       Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁ и х₂

Ф(х₁, х₂) = а₁₁  ,

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени, называется квадратичной формой переменных х₁ и х₂.

 

Определение: Однородный многочлен второй степени относительно переменных х₁, х₂ и х₃

 

не содержащий свободного члена и неизвестных в первой степени называется квадратичной формой переменных х₁, х₂ и х₃.

 

       Рассмотрим квадратичную форму двух переменных. Квадратичная форма имеет симметрическую матрицу А = . Определитель этой матрицы называется определителем квадратичной формы.

 

       Пусть на плоскости задан ортогональный базис . Каждая точка плоскости имеет в этом базисе координаты х₁, х₂.

Если задана квадратичная форма Ф(х₁, х₂) = а₁₁ , то ее можно рассматривать как функцию от переменных х₁ и х₂.

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: