Расстояние от точки до плоскости.

       Расстояние от произвольной точки М₀(х₀, у₀, z₀)  до плоскости Ах+Ву+Сz+D=0 равно:

                   (5.8)

           

       Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через две точки P(2; 0; -1) и

Q(1; -1; 3)  перпендикулярно плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0.

 

       Вектор нормали к плоскости 3х + 2у – z + 5 = 0 параллелен искомой плоскости.

       Получаем:

           

Пример. Найти уравнение плоскости, проходящей через точки А(2, -1, 4) и

В(3, 2, -1) перпендикулярно плоскости х + у + 2z – 3 = 0.

 

       Искомое уравнение плоскости имеет вид: Ax + By + Cz + D = 0, вектор нормали к этой плоскости (A, B, C). Вектор (1, 3, -5) принадлежит плоскости. Заданная нам плоскость, перпендикулярная искомой имеет вектор нормали (1, 1, 2). Т.к. точки А и В принадлежат обеим плоскостям, а плоскости взаимно перпендикулярны, то

       Таким образом, вектор нормали (11, -7, -2). Т.к. точка А принадлежит искомой плоскости, то ее координаты должны удовлетворять уравнению этой плоскости, т.е. 11×2 + 7×1 - 2×4 + D = 0; D = -21.

       Итого, получаем уравнение плоскости: 11x - 7y – 2z – 21 = 0.

 

       Пример. Найти уравнение плоскости, зная, что точка Р(4, -3, 12) – основание перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость.

 

       Находим координаты вектора нормали = (4, -3, 12). Искомое уравнение плоскости имеет вид: 4x – 3y + 12z + D = 0. Для нахождения коэффициента D подставим в уравнение координаты точки Р:

16 + 9 + 144 + D = 0

D = -169

       Итого, получаем искомое уравнение: 4x – 3y + 12z – 169 = 0

 

Пример. Даны координаты вершин пирамиды А₁(1; 0; 3), A₂(2; -1; 3), A₃(2; 1; 1),

A₄(1; 2; 5).

 

1) Найти длину ребра А₁А₂.

 

2) Найти угол между ребрами А₁А₂ и А₁А₄.

           

3) Найти угол между ребром А₁А₄ и гранью А₁А₂А₃.

 

Сначала найдем вектор нормали к грани А₁А₂А₃  как векторное произведение векторов и .

= (2-1; 1-0; 1-3) = (1; 1; -2);

       Найдем угол между вектором нормали и вектором .

-4 – 4 = -8.

Искомый угол g между вектором и плоскостью будет равен g = 90⁰ - b.

 

4) Найти площадь грани А₁А₂А₃.

 

5) Найти объем пирамиды.

 (ед³).

6) Найти уравнение плоскости А₁А₂А₃.

 

Воспользуемся формулой уравнения плоскости, проходящей через три точки.

2x + 2y + 2z – 8 = 0

x + y + z – 4 = 0;

5.2. Угол между плоскостями.

 

                                                                 

                                                                                          j₁

                                                      j                                  0

                                                                   

 

 

       Угол между двумя плоскостями в пространстве j связан с углом между нормалями к этим плоскостям j₁ соотношением: j = j₁ или j = 180⁰ - j₁, т.е.

cosj = ±cosj₁.

       Определим угол j₁. Известно, что плоскости могут быть заданы соотношениями:

, где

(A₁, B₁, C₁), (A₂, B₂, C₂). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:

.

       Таким образом, угол между плоскостями находится по формуле:

                  (5.9)

 

       Выбор знака косинуса зависит от того, какой угол между плоскостями следует найти – острый, или смежный с ним тупой.

Условия параллельности и перпендикулярности

Плоскостей.

       На основе полученной выше формулы для нахождения угла между плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярности плоскостей.

       Условие перпендикулярности плоскостей: Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:

         . (5.10)

 

       Условие параллельности плоскостей: Плоскости параллельны тогда и только тогда, когда их нормальные векторы коллинеарный: ïï .

Это условие выполняется, если:          (5.11)

 

⇐ Предыдущая567891011121314Следующая ⇒

Поделиться: