Приведение квадратичных форм к каноническому виду.

       Рассмотрим некоторое линейное преобразование А с матрицей .

Это симметрическое преобразование можно записать в виде:

y₁ = a₁₁x₁ + a₁₂x₂

y₂ = a₁₂x₁ + a₂₂x₂

где у₁ и у₂ – координаты вектора  в базисе .

       Очевидно, что квадратичная форма может быть записана в виде

Ф(х₁, х₂) = х₁у₁ + х₂у₂.

 

       Как видно, геометрический смысл числового значения квадратичной формы Ф в точке с координатами х₁ и х₂ – скалярное произведение .

       Если взять другой ортонормированный базис на плоскости, то в нем квадратичная форма Ф будет выглядеть иначе, хотя ее числовое значение в каждой геометрической точке и не изменится. Если найти такой базис, в котором квадратичная форма не будет содержать координат в первой степени, а только координаты в квадрате, то квадратичную форму можно будет привести к каноническому виду.

       Если в качестве базиса взять совокупность собственных векторов линейного преобразования, то в этом базисе матрица линейного преобразования имеет вид:

.

       При переходе к новому базису от переменных х₁ и х₂ мы переходим к переменным  и . Тогда:

 

       Тогда .

 

Выражение  называется каноническим видом квадратичной формы. Аналогично можно привести к каноническому виду квадратичную форму с большим числом переменных.

Теория квадратичных форм используется для приведения к каноническому виду уравнений кривых и поверхностей второго порядка.

 

Пример. Привести к каноническому виду квадратичную форму

Ф(х₁, х₂) = 27 .

 

Коэффициенты: а₁₁ = 27, а₁₂ = 5, а₂₂ = 3.

Составим характеристическое уравнение: ;

(27 - l)(3 - l) – 25 = 0

l² - 30l + 56 = 0

l₁ = 2; l₂ = 28;

 

 

 

Пример. Привести к каноническому виду уравнение второго порядка:

17x² + 12xy + 8y² – 20 = 0.

 

Коэффициенты а₁₁ = 17, а₁₂ = 6, а₂₂ = 8. А =

Составим характеристическое уравнение:

(17 - l)(8 - l) - 36 = 0

136 - 8l - 17l + l² – 36 = 0

l² - 25l + 100 = 0

l₁ = 5, l₂ = 20.

Итого:  - каноническое уравнение эллипса.

 

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

       Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l₁ = 2, l₂ = 6.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m₁ = 1, получим n₁ =

полагая m₂ = 1, получим n₂ =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

       Решение: Составим характеристическое уравнение квадратичной формы : при

Решив это уравнение, получим l₁ = 1, l₂ = 11.

Найдем координаты собственных векторов:

полагая m₁ = 1, получим n₁ =

полагая m₂ = 1, получим n₂ =

Собственные векторы:

Находим координаты единичных векторов нового базиса.

Имеем следующее уравнение линии в новой системе координат:

Каноническое уравнение линии в новой системе координат будет иметь вид:

 

 

       Пример. Используя теорию квадратичных форм, привести к каноническому виду уравнение линии второго порядка. Схематично изобразить график.

4ху + 3у² + 16 = 0

 

Коэффициенты: a₁₁ = 0; a₁₂ = 2; a₂₂ = 3.

Характеристическое уравнение:

Корни: l₁ = -1, l₂ = 4.

 

Для l₁ = -1                                     Для l₂ = 4

                             

 

m₁ = 1; n₁ = -0,5;                            m₂ = 1; n₂ = 2;

 

= (1; -0,5)                              = (1; 2)

                                     

                   

Получаем:   -каноническое уравнение гиперболы.

 

                                              

⇐ Предыдущая567891011121314

Поделиться: