Производная по направлению, градиент функции.

Частные производные функции y = f ( x ₁ , x ₂ .. x_n ) по переменным x ₁ , x ₂ . . . x_n выражают скорость изменения функции по направлению координатных осей. Например,  есть скорость изменения функции по х₁ – то есть предполагается , что точка, принадлежащая области определения функции, перемещается лишь параллельно оси ОХ_1, а все остальные координаты остаются неизменными. Однако, можно предположить, что функция может изменяться и по какому-нибудь другому направлению, не совпадающему с направлением какой либо из осей.

Рассмотрим функцию трех переменных: u = f ( x , y , z ).

Зафиксируем точку М₀( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) и какую-нибудь направленную прямую (ось) l, проходящую через эту точку. Пусть М( x , y , z ) - произвольная точка этой прямой и êМ₀М ê- расстояние от М₀ до М.

D u = f ( x , y , z ) – f ( x ₀ , y ₀ , z ₀ ) – приращение функции в точке М₀.

Найдем отношение приращения функции к длине вектора :

 

Определение. Производной функции u = f ( x , y , z ) по направлению l в точке М₀ называется предел отношения приращения функции к длине вектора êМ₀М ê при стремлении последнего к 0 (или, что одно и то же, при неограниченном приближении М к М₀):

(1)

Эта производная характеризует скорость изменения функции в точке М₀ в направлении l.

Пусть ось l (вектор М₀М) образует с осями OX , OY , OZ углы  соответственно.

Обозначим x - x₀ = ;

                y - y₀ = ;

                z - z₀ = .

Тогда вектор М₀М = ( x - x ₀ , y - y ₀ , z - z ₀ )= и его направляющие косинусы:

;

;

.

Отсюда получаем следующие выражения для D x , D y , D z:

           (2)

Полное приращение функции в точке М₀ :

 можно представить в виде:

            (3), где

   

Подставим выражения (2) в (3):

Найдем отношение :

Перейдем к пределу при êМ₀М ê ® 0:

(4).

 (4) – формула для вычисления производной по направлению.

Конечно, направление может быть задано просто соответствующим вектором. Рассмотрим вектор, координатами которого являются частные производные функции u = f ( x , y , z ) в точке М₀:

 

 

grad u - градиент функции u = f ( x , y , z ) в точке М( x , y , z )

 

Рассмотрим единичный вектор по направлению l - - это вектор, длина которого равна 1,а направление совпадает с направлением оси l.

Тогда производная функции u = f ( x , y , z ) по направлению l может быть представлена как скалярное произведение( ):

.

Следовательно, производная функции u = f ( x , y , z ) по данному направлению l есть скалярное произведение градиента функции на единичный вектор этого направления.

Пусть j - угол между grad u и l, тогда:

       (5).     

Производная  функции u = f ( x , y , z ) по направлению l равна проекции вектора grad u на ось l .

Свойства градиента:

1. Производная функции u = f ( x , y , z ) в данной точке М( x , y , z ) по направлению l имеет наибольшее значение, если направление l совпадает с направлением градиента функции в этой точке.
2. Наибольшее значение производной функции u = f ( x , y , z ) по заданному направлению в данной точке М( x , y , z ) равно длине градиента функции в этой точке: .

Вывод: длина градиента функции u = f ( x , y , z )  – есть наиболее возможное значение  в данной точке М( x , y , z ), а направление вектора grad u совпадает с направлением вектора, выходящего из точки М, вдоль которого функция меняется быстрее всего. То есть, направление градиента функции grad u - есть направление наискорейшего возрастания функции.

 

§6. Частные производные высших порядков.

Частные производные , i = 1,2, . . . , n называют частными производными первого порядка. Их можно рассматривать как функции от X =( x ₁ , x ₂ ,. . . x_n ) . Эти функции могут иметь частные производные, которые называются частными производными второго порядка. Они определяются и обозначаются следующим образом:

  (1),

где i = 1, 2, . . . , n  и k = 1, 2, . . . , n .

Если i ¹ k , то частная производная (1) называется смешанной частной производной второго порядка. Если i = k, то частная производная второго порядка обозначается следующим образом:

(2).

Аналогично определяются частные производные третьего, четвертого и т.д. порядков.

Функция y = f ( x ₁ , x ₂ … x_n ) называется m  раз дифференцируемой в точке             М₀( x ₁ ⁰ , x ₂ ⁰ . . . , x_n ⁰ ), если все её частные производные ( m -1)-го порядка являются дифференцируемыми функциями в этой точке.

  

Пример:

Найти частные производные второго порядка функции: z = x ³ - x ² y ³ + x + y ⁴ .

z ^’ _x = 3 x ² - 2 xy ³ + 1;      z ^’ _y = - x ² 3 y ² + 4 y ³ ;

z ^’ _xx = 6 x - 2 y ³ ;              z^’’_yx = - 2x3y² = - 6xy² ;        

z^’’_xy= - 2x3y² = - 6xy² ; z ^’’ _yy = - x ² 6 y +12 y ² .

Оказалось, что z ^’’ _xy = z ^’’ _yx. Это не случайно.

Имеет место следующая теорема (без доказательства).

Теорема Шварца

Если функция y = f ( X ) дифференцируема m раз в точке M ( x ₁ , x ₂ .. x_n ), то смешанные производные m - го порядка в этой точке, отличающиеся лишь порядком дифференцирования, равны между собой.

В частности, для функции z = f ( x , y ) имеем .

⇐ Предыдущая9101112131415161718Следующая ⇒

Поделиться: