Частные производные функции нескольких переменных.

Пусть функция y = f( x₁, x₂, . . . , x_n) (y = f( X)) определена в некоторой окрестности точки M( x₁, x₂, . . . , x_n) = M( X) и в этой точке функция имеет значение f( M).

Дадим первому аргументу х₁ приращение Dх₁, а другие переменные останутся неизменными. При этом получаем «новую» точку М₁(х₁+ Dх₁, х₂, . . . , х _n), которая принадлежит указанной окрестности точки М, и значение функции в этой точке f( M₁).

Тогда соответствующее приращение функции называется частным приращением функции y = f( X) по переменной х₁:

D_х1 y = f( M₁) – f( M) = f(х₁+ Dх₁, х₂, . . . , х _n) - f( x₁, x₂, . . . , x_n)            (1).

Аналогично можно определить частные приращения функции y = f( X) в точке М, соответствующие приращению Dх _i любого из n аргументов x_i, i = 1,2,… n:

Пусть точка М _i( x₁, x₂, . . . , x_i+ D x_i, . . . , x_n) принадлежит указанной окрестности точки М и значение функции в этой точке f( M_i), тогда частное приращение этой функции по аргументу x_i:

D_{х i} y = f( M_i) – f( M) = f( x₁, x₂, . . . , x_i+ D x_i, . . . , x_n) - f( x₁, x₂, . . . , x_n)            (2).

Рассмотрим в данной точке M( x₁, x₂, . . . , x_n) = M( X) отношение частного приращения D_{х i} y к соответствующему приращению i–ого аргумента - Dх _i:

    (3).

Определение. Если существует предел отношения частного приращения функции D_{х i} y в точке М к соответствующему приращению аргумента Dх _i при Dх _i ® 0, то он называется частной производной функции y = f( X) в точке М(Х) по аргументу x_i и обозначается: .

Таким образом, согласно определению: .

Частная производная функции y = f( X) по аргументу x_i в точке М₀( x₁⁰, x₂⁰, . . . , x_n⁰) обозначается: или .

Т.о., частная производная функции y = f( X) по аргументу x_i есть производная функции по этой переменной при условии, что остальные независимые переменные не изменяют своего значения, т.е. постоянны. Поэтому частные производные функции y = f( X) находят по формулам и правилам вычисления производных функции одной переменной, при этом соответственно другие переменные считаются const.

Примеры. Найти частные производные функций:

1) z = x² – 2xy + y²

________________________________        ________________________________

 

2) z = arctq(y/x)

________________________________________________________________________

 

3) u = ye^yz + ln(x² – 2y + z)

 

 

 

Замечание. Частная производная функции нескольких переменных характеризует скорость ее изменения по данному аргументу при фиксированном значении других аргументов.

4) Найти скорости изменения объема продукции Q при изменениях одного из факторов: затрат капитала K или величины трудовых ресурсов L по функции Кобба-Дугласа Q = AK ^a L^{1- a}.

 

_____________________________________________________

 

_____________________________________________________

 

Величину K/ L называют средней фондовооруженностью – это стоимость фондов (капитала), приходящаяся в среднем на единицу трудовых ресурсов.

- производная выпуска по труду приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одной дополнительной трудовой единицей, поэтому частная производная  называется предельной производительностью труда.

- производная выпуска по фондам приближенно равна добавочной стоимости продукции, произведенной еще одной дополнительной единицей фондов, поэтому ее называют предельной фондоотдачей.

Найдем частные эластичности функции Кобба-Дугласа:

1) Эластичность выпуска по фондам

 

 

 

2) Эластичность выпуска по труду

 

________________________________________________________________________

 

Т.о. степени a и 1- a имеют экономический смысл – это эластичности выпуска по фондам и по труду соответственно.

 

⇐ Предыдущая891011121314151617Следующая ⇒

Поделиться: