Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными.

Два единственно возможных и несовместных события называются противоположными.

Совокупность всех единственно возможных и несовместных событий называется полной группой событий.

Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов,

благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.

2 . В методичке.(элементы комбинаторики)

3. Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний. Будем обозначать ее Р*(А).

Свойства вероятности, вытекающие из классического определения .

1. Вероятность достоверного события равна 1, т. е. P(Ω) =1.

Действительно, если событие А = Ω, то М = N, значит,

Р(Ω) = N/N = 1.

2. Если событие невозможное, то его вероятность равна 0, т. е.

Р(⃠)= 0.

Если А = ⃠, то оно не осуществится ни при одном испытании, т. е.

М = 0 и Р(⃠) = 0/N = 0.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1.

В самом деле, так как 0≤ M ≤ N, 0≤ M/N ≤ 1, т. е. 0 ≤ Р(А) ≤ 1.

4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1, т. е. Р(А) + Р(А) = 1. В самом деле,

Р(А) = (N - M)/N = 1 - M/N = 1 - P(A), следовательно,

Р(А)+Р(А)=1.

4. Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

Итак, события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошло или нет другое событие.

Вероятности независимых событий называются безусловными.

Таким образом, события А и В называются зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того произошло или нет другое событие. Вероятность события В, вычисленная в предположении, что другое событие А уже осуществилось, называется условной вероятностью.

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей.

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого.

Вероятность появления хотя бы одного события из п независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным.

5 . Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления

Р(А + В ) = Р(А) + Р(В) - Р ( АВ ),

Для несовместных Р(АВ)-нет!!!!

Вероятности независимых событий называются безусловными.

Вероятность произведения двух независимых событий А и В равна произведению их вероятностей

Р(А В) = Р(А)Р(В),

Вероятность произведения двух зависимых событий А и В равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого

Р(А В) =Р(В)* Р(А/В)

Вероятность появления хотя бы одного события из п независимых в совокупности равна разности между 1 и произведением вероятностей событий, противоположных данным,

Р(А)=1-(Р не(А1)* Р(А2/А1)…)

Формула Баеса

Пусть событие А может осуществиться лишь вместе с одним из событий Н1, Н2, H3, ..., Hn, образующих полную группу. Пусть известны вероятности Р(Н1), Р(Н2), ..., Р(Нi), ..., Р(Нn). Так как события Нi образуют полную группу, то

а также известны и условные вероятности события А:

Так как заранее неизвестно, с каким из событий Нi произойдет событие А, то события Нi, называют гипотезами.

Необходимо определить вероятность события А и переоценить вероятности событий Нi с учетом полной информации о событии А.

Вероятность события А определяется как

Эта вероятность называется полной вероятностью. Если событие А может наступить только вместе с одним из событий Н1,Н2 ,Н3, ..., Нn, образующих полную группу несовместных событий и называемых гипотезами, то вероятность события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий Н1, Н2, ..., Нn на соответствующую условную вероятность события А.

Условные вероятности гипотез вычисляются по формуле

Или

6 принимать конечную или бесконечную совокупность значений, причем принятие ею каждого из значений есть случайное событие с определенной вероятностью.

Объектом наблюдения.

Всякий объект статистического наблюдения состоит из отдельных элементов — единиц наблюдения .

Результаты статистического наблюдения представляют собой числовую информацию — данные .

Статистические данные — это сведения о том, какие значения принял интересующий исследователя

признак в статистической совокупности. Признаки бывают количественными и качественными.

Сопоставление высказанной гипотезы относительно генеральной совокупности с имеющимися выборочными данными, сопровождаемое количественной оценкой степени достоверности получаемого вывода и осуществляемое с помощью того или иного статистического критерия,