Соотношение, устанавливающее связь между отдельными возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется законом распределения дискретной случайной величины.

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), выражающая вероятность того, что Х примет значение, меньшее чем х:

Здесь для каждого значения х суммируются вероятности тех значений xi, которые лежат левее точки х .

Функция F(x) есть неубывающая функция. Для дискретных случайных величин функция распределения F(x) есть разрывная ступенчатая функция, непрерывная слева (рис. 4.2).

 

7 Одной из важных числовых характеристик случайной величины Х является математическое ожидание

М ( Х ) = x1p1, + x2p2 +...+ x3p3. (4.4)

В случае бесконечного множества значений xi в правой части (4.4) находится ряд, и мы будем рассматривать только те значения Х, для которых он абсолютно сходится.

М ( Х ) представляет собой среднее ожидаемое значение случайной величины. Оно обладает следующими свойствами:

1) М(С) = С, где С = const;

2) М ( СХ ) = СМ ( Х );

3) М(Х + Y) = М(Х) + М(Y), для любых Х и Y;

4) М(ХУ) = М(Х)М(У), если Х и Y независимы.

Для оценки степени рассеяния значений случайной величины около ее среднего значения М(Х) = а

вводятся понятия дисперсии D(X) и среднего квадратического (стандартного) отклонения σ( х ).

Дисперсией называется математическое ожидание квадрата разности (Х — а)

Для вычисления дисперсии пользуются формулой

D(X) = М ( Х2) - М2( Х ).

Свойства дисперсии и среднего квадратического отклонения:

1) D(C) = 0, где С = const;

8 Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х — числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события равна р ; вероятности возможных значений Х = О, 1, 2, ..., т , ..., п вычисляются по формуле

Бернулли (табл.4.3).

Так как правая часть формулы (4.10) представляет общий член биномиального разложения (q + р )n,

то этот закон распределения называют биномиальным . Для случайной величины X, распределенной по биномиальному закону, имеем

М(Х) = np; (4.11)

D(X) = npq. (4.12)

9  Если число испытаний велико, а вероятность появления события р в каждом испытании очень мала, то вместо формулы (4.10) пользуются приближенной формулой

где т — число появлений события в п независимых испытаниях; λ = пр ( среднее число появлений события в п испытаниях).

Распределение Пуассона (приложение 3) часто используется, когда мы имеем дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени или пространства, например: число машин, прибывших на автомойку в течение часа; число дефектов на новом отрезке шоссе длиной в 10 км; число мест утечки воды на 100 км водопровода; число остановок станков в неделю; число дорожных происшествий.

Если распределение Пуассона применяется вместо биномиального, то п должно иметь порядок не 33

менее нескольких десятков, лучше нескольких сотен, а пр < 10.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ, который определяет этот закон, т. е.

М(Х) = D(X) = λ.

10 Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна и имеет производную.

⇐ Предыдущая1234567Следующая ⇒

Поделиться: