Оптимальное управление стационарным спутником с использованием двигателя малой тяги

В качестве еще одного примера решения прикладной задачи рассмотрим задачу оптимизации процесса перевода стационарного спутника из одной точки в другую с использованием корректирующей двигательной установки малой тяги, развивающей постоянное (в номинале) ускорение вдоль нормали к текущему радиус-вектору. Перевод спутника должен быть осуществлен с требуемой точностью при минимальных энергетических затратах. Ввиду малости управляющего ускорения будем теперь учитывать влияние длительности коррекции, считая его существенным, на параметры текущей орбиты. Это требует использования более сложной модели процесса перевода. Такая модель может быть получена, в частности, если рассмотреть уравнения движения спутника, линеаризованные относительно стационарной орбиты

	(18.61)

Здесь  — отклонения радиуса орбиты и долготы от соответ­ствующих значений на стационарной орбите: ;  — радиус стационарной орбиты;  — угловая скорость собствен­ного вращения Земли; f — управляющее ускорение, развиваемое двигательной установкой; t — время.

Предположим, что каждое очередное включение двигателя возможно лишь спустя некоторое время после предыдущего выключения. Обозначим через  момент окончания -й коррекции;  — дли­тельность i-го пассивного участка;  — длительность проведения i-й коррекции. Тогда будем иметь i =0, 1,..., N, N — число коррекций,  и  — начальный и конечный моменты времени соответственно. Считается, что , i=0, 1,..., N, — заданные величины.

Полагая, что во время каждой коррекции управляющее ускорение  постоянно и равно , решение системы (18.61) можно представить в виде

	(18.62)

где

	(18.63)
,

— номинальное управляющее ускорение, численно равное номи­нальному , но имеющее знак , т. е.  — центрированная случайная величина с дисперсией , учитывающая разбросы ускорения  относительно номинального значения.

Перейдем в уравнениях системы (18.62) от переменных  к новым переменным . Нетрудно установить на основе (18.63), что такой переход является взаимнооднозначным. Физический смысл новых переменных сводится к следующему: компонента  представляет собой текущее отклонение СИСЗ по долготе от требуемой точки «висения»; компонента , численно равная смещению спутника по долготе в пассивном полете за одни сутки (  при ), характеризует текущую скорость дрейфа; наконец, компоненты  связаны с эксцентриситетом текущей орбиты соотношением

(18.64)

Действительно, в i-й момент времени эксцентриситет можно вычислить по формуле

где  — наибольшее и наименьшее отклонение радиуса орби­ты от стационарного при . Так как согласно (18.62)

то сразу получаем (18.64).

В новых переменных уравнение движения СИСЗ можно представить в следующем виде:

	(18.65)
,

где

(18.66)

Величина , введенная во втором уравнении системы (18.65), имеет важное значение для рассматриваемой задачи. Она характеризует расчетное приращение скорости дрейфа в i-й коррекции и однозначно связана с длительностью этой коррекции и направлени­ем приложения управляющего ускорения

Будем считать  в качестве одного из основных параметров управ­ления в i-й момент времени.

На основе соотношения (18.64) и уравнений (18.65) нетрудно получить уравнение для эволюции эксцентриситета в процессе i-го корректирования

(18.67)

где

Из уравнения (18.67) видно, что эксцентриситет после совершения каждой коррекции в общем случае определяется величиной и направлением управляющего ускорения, длительностью коррекции  и временем ее проведения (местом проведения), определяемым параметром , или, что то же самое, длительностью пассивного участка . Исключение составляет лишь случай, когда =0. Нетрудно убедиться, что эксцентриситет после коррекции в этом случае, равный

зависит лишь от величины управляющего ускорения и длительности коррекции , время проведения коррекции может быть любым.

В связи с тем, что эксцентриситет в конечном счете — явление не­желательное, время проведения каждой коррекции  выберем так, чтобы эксцентриситет после коррекции был минимально возможным. Согласно (18.67) минимальное значение  достигается при значениях

,

где  — любое целое число, и равно

Угол  может быть определен как

В свою очередь, согласно (18.65) устанавливаем

откуда при

Поэтому, считая  для всех i, получаем окончательно следующее выражение для оптимального значения параметра

(18.68)

где

Длительность пассивного участка  связана согласно (18.63) с величиной  соотношением

Так как  однозначно связано с  и, следовательно, с целочисленным параметром , то последний может быть принят в качестве второго управляющего параметра в момент  (наряду с ).

С учетом выражений (18.66), (18.68) первое уравнение системы (18.65) можно представить в виде

или

где  — новая обобщенная переменная, равная

Так как в конце процесса перевода (при ) переменные становятся достаточно малыми, величина  по-прежнему характеризует конечную ошибку по долготе.

Учитывая это, в качестве математической модели при оптимизации процесса перевода спутника примем следующие уравнения

.

или более компактно

	(18.69)

где

Теперь сформулируем математически задачу оптимизации. Требуется найти такие последовательности , i=1, 2, ..., N и , i=0, 1, ..., N, которые обеспечили бы перевод системы (18.69) из начального состояния  в конечное  с требуемой точностью (если это, конечно, возможно) при минимальных энергетических затратах. Энергетические затраты будем оцени­вать величиной

В качестве характеристики конечной точности примем математическое ожидание величины

Итак, требуется минимизировать величину  при условии

где  — некоторая заданная величина, характеризующая допус­тимые конечные ошибки.

Для решения сформулированной задачи обратимся к комбини­рованному методу оптимизации.

Составим обобщенный критерий оптимальности

где a — множитель Лагранжа, подлежащий в последующем опре­делению. Множитель a следует искать как неотрицательный корень уравнения

В искомом управлении выделим две составляющие — программную и синтезируемую. К программной отнесем целочисленную последовательность , i= l, ..., N, к синтезируемой — последовательность , i= 0, 1, ..., N. В отношении этих составляющих применим поэтапную оптимизацию.

На первом этапе найдем синтезируемую составляющую. С этой целью обратимся к основному рекуррентному соотношению метода динамического программирования. В данном случае оно принимает вид

причем для момента i= N +1

Трудность данной задачи связана с нелинейностью системы (18.69): матрица  (точнее, один ее элемент) зависит от управления и переменной , в уравнение для  входит модуль | | и тригонометрическая функция с аргументом, содержащим . Для получения приближенного решения аппроксимируем функцию синуса, считая , и линеаризуем уравнение для , «замораживая» пока матрицу , т. е. считая ее не зависящей от параметров ,  и обозначая через .

Рассмотрим последнюю коррекцию i = N. С учетом сделанных замечаний будем иметь

где

;

Отсюда находим, что оптимальное управляющее воздействие на последней коррекции равно

где

а функция будущих потерь при этом

где

Для получения решения при других i < N воспользуемся методом параметров. Аппроксимируем функцию  квадратичной. Наиболее просто в данном случае это делается путем пренебрежения вторым слагаемым в выражении для

Так как вид функции  по сравнению с  сохранился прежним, то, повторяя изложенные рассуждения, получим аналогичную структуру управления и для предыдущей -й коррекции. Поэтому аппроксимируя функцию будущих потерь для любого i квадратичной функцией вида

получим следующий алгоритм субоптимального управления

(18.70)

где параметры  определяются формулами

.

Здесь

а  удовлетворяют рекуррентным соотношениям

при граничных условиях

Представленные формулы определяют алгоритм управления с точностью до знания матриц . Уточнение последних может быть произведено методом последовательных приближений для осредненной в статистическом смысле траектории процесса перевода

с использованием найденного алгоритма управления (18.70). Элементы , входящие в матрицы , в начальном приближении, могут быть заданы, например, равными . В каждом последующем приближении они уточняются на основе моделирования осредненного процесса. Описанный метод можно трактовать как простейшую разновидность метода статистической линеаризации. При необходимости статистическая линеаризация величины  может быть проведена и обычным способом, который, однако, является более громоздким.

Определив структуру управления, а следовательно, синтезируемую составляющую, можно перейти ко второму этапу оптимизации, т. е. определению целочисленной последовательности , i = 1, …, N.

В первом приближении эту задачу можно решить, используя для оценки критерия оптимальности квадратичную функцию будущих потерь . В этом случае последовательность  определится из условия минимизации величины

по всем , с учетом ограничений. . Так как все  — целые числа, то для решения задачи следует использовать прямые методы поиска.

Уточнение полученной таким образом последовательности  может быть проведено путем минимизации величины , найденной более точными методами, например, методом статистического моделирования процесса перевода с использованием модели (18.69) и алгоритма (18.70). В этом случае оценка обобщенного критерия имеет вид

где  — величина, характеризующая обобщенный критерий опти­мальности в j-й реализации; п — число реализации.

При использовании метода статистического моделирования нетрудно получить оценки и других характеристик процесса перевода, в частности, характеристики конечной точности

где — величина в j-й реализации.

Решение задачи завершается отыскиванием множителя Лагранжа a в обобщенном критерии оптимальности из условия .

 

⇐ Предыдущая234567891011Следующая ⇒

Поделиться: