Оптимальное управление конечным состоянием спускаемого аппарата

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления одномерным конечным состоянием спускаемого в атмосфере Земли аппарата. В качестве управляющей силы будем считать аэродинамическую силу, создаваемую за счет изменения угла крена. Цель синтеза управления состоит в обеспечении минимального рассеи­вания точек приземления аппарата, возникающего как за счет начальных ошибок, так и за счет действия атмосферных случайных возмущений (порывы ветра, вариации плотности воздуха).

Для простоты ограничимся случаем движения в вертикальной плоскости. Принимая в качестве независимой переменной высоту полета, уравнения движения спускаемого аппарата можно представить в виде

	(18.98)

где V - скорость аппарата; q - угол наклона траектории; L - продольная дальность; h - высота полета; g - угол крена; v_x - угловая скорость аппарата; С _x, С _y - коэффициенты лобового сопротивления и подъемной силы соответственно;  - воздушный скоростной напор, ;  - воздушная скорость; S - площадь миделя; m - масса аппарата; g - ускорение свободного падения; R - радиус Земли; М - управляющий момент по крену, ; J_x - момент инерции относительной оси симметрии.

Уравнения получены в предположении, что влияние порывов ветра на движение аппарата сводится лишь к изменению аэродинамических сил заменой скорости V на воздушную скорость V _W. Если через W обозначить скорость горизонтальных порывов ветра, то нетрудно установить связь между V _W и V

(18.99)

Атмосферные возмущения могут быть представлены с помощью линейных нестационарных формирующих фильтров. При этом для ветра можно ограничиться фильтром первого порядка, а для вариации плотности атмосферы  - фильтром второго порядка

(18.100)

где параметры  а также интенсивности  белых шумов  подбираются таким образом, чтобы статистические характеристики (например, корреляционные функции) возмущений (18.100) как можно точнее соответствовали действительным характеристикам. Вводя обобщенный вектор состояния

(18.101)

приходим к следующей математической модели управляемого процесса

(18.102)

где  - вектор-функция, элементы которого легко получаются из правых частей уравнений (18.98) и (18.100);  - управляющее воздействие,  - вектор белых шумов;

(18.103)

Задача синтеза оптимального управления заключается в определении такого закона , который обеспечивает минимум дисперсии координаты  в конечный момент времени, т.е. при h = 0. Итак, критерий оптимальности можно записать в виде

(18.104)

Предположим, что возмущенное движение с достаточной точностью описывается уравнениями в отклонениях относительно некоторой номинальной траектории спуска. Тогда, проводя линеаризацию уравнений (18.98) получаем линеаризованную модель движения

(18.105)

Здесь под  понимается вектор, составленный из отклонений компонент x от их значений на номинальной траектории при одинаковых h; А - матрица, а В - вектор частных производных правых частей (18.100) по компонентам вектора x и управлению u соответственно. Естественно, что А и В зависят от высоты полета h.

Для решения задачи обратимся к достаточным условиям оптимальности. Однако, учитывая скалярный вид критерия оптимальности (18.104), предварительно произведем следующее преобразование задачи. Введем в рассмотрение новый вектор y, связанный с x соотношением

(18.106)

где  - фундаментальная матрица системы (18.106), удовлетворяющая уравнению

(18.107)

при условии

(18.108)

Из равенств (18.107) и (18.108) следует, что в момент h = 0 векторы х и у совпадают:

(18.109)

Дифференцируя (18.106) по h и принимая во внимание уравнения (18.105) и (18.107), получаем следующее уравнение для вектора у:

(18.110)

Поскольку с учетом (18.109) критерий оптимальности (18.104) может быть представлен в виде

(18.111)

а компонента  согласно (18.110) не зависит от других компонент вектора у, вместо векторного уравнения (18.110) можно ограничиться лишь одним уравнением для этой компоненты

(18.112)

где через  обозначены третьи компоненты векторов  и  соответственно.

Таким образом, введение вектора y позволило рассматриваемую задачу свести к скалярной. Теперь воспользуемся уравнением Беллмана (18.80), которое в данном случае принимает вид

(18.113)

с граничным условием

(18.114)

Через  в уравнении (18.113) обозначена интенсивность белого шума .

Из уравнения (18.113) получаем структуру оптимального управления:

(18.115)

Таким образом, оптимальное управление является релейным. Из физических соображений ясно, что функция будущих потерь  является четной и возрастающей по . Поэтому

(18.116)

С учетом (18.116) окончательно закон оптимального управления (18.115) принимает вид

(18.117)

Итак, в данной задаче удалось найти закон оптимального управления без решения уравнения Беллмана в явном виде.

Таким образом, задача синтеза оптимального управления одномерным конечным состоянием линейной системы решена полностью. Однако провести анализ точности, т. е. решить уравнение (18.113) аналитически и здесь не удастся.

 

Упражнение 1. Вывести уравнение (18.95). Получить выражение для элементов матрицы А и вектора В.

Упражнение 2. Получить уравнение (18.97) для фундаментальной матрицы .

Упражнение 3. Получить формулы для коэффициентов  и  в уравнении (18.103).

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: