Учет дополнительных терминальных ограничений. Непрерывный случай

Рассмотрим задачу синтеза оптимального управления системой

(18.118)

из условия обращения в минимум критерия

при дополнительных терминальных ограничениях

Как и в дискретном случае, для учета этих ограничений применим метод множителей Лагранжа, сводя исходную задачу к задаче минимизации обобщенного критерия

(18.119)

где  — множители Лагранжа ( = 1, ), удовлетворяющие при оптимальном управлении системе уравнений

(18.120)

В соответствии с этим для выявления структуры оптимального управления следует воспользоваться уравнением Беллмана, соответствующим обобщенному критерию

(18.121)

с граничным условием, принимающим в данном случае вид

Фактически уравнение (18.121) дает возможность определить закон оптимального управления при различных значениях множителей Лагранжа . Для отыскания окончательного решения следует решить систему уравнений (18.120) относительно . При этом сначала необходимо раскрыть зависимости характеристик  при оптимальном управлении от множителей , j= 1, ..., l. Это можно сделать, вообще, различными способами. Один из них предполагает отыскание в общем случае плотности распределения вектора состояния в конечный момент времени с помощью уравнения Колмогорова и последующего раскрытия в соответствующей операции математического ожидания. Другой, более простой, способ заключается в получении уравнения и последующем решении его непосредственно для анализируемой характеристики . С этой целью обратимся к рекуррентному соотношению (18.29). Буквально повторяя рассуждения, используемые при выводе уравнения Беллмана, нетрудно установить, что при осуществлении предельного перехода при  из (18.29) получим следующее уравнение в частных производных

(18.122)

относительно функции

с очевидным граничным условием

Параметры  представляют собой вектор сноса и матрицы коэффициентов диффузии случайного процесса (18.118) при оптимальном законе управления . Функция  представляет собой фактически величину , вычисленную при условии, что движение системы (18.118) начинается с момента t из состояния х и происходит при действии оптимального управления . Поэтому

Так как закон управления , определяемый с помощью уравнения (18.121), параметрически зависит от набора , j = 1, ..., l, то как , так и  будут также, зависеть от a.

Таким образом, решение задачи синтеза при наличии дополнительных терминальных ограничений сводится к решению уравнения Беллмана (18.121) с целью выявления структуры оптимального управления, решению уравнений вида  (18.122) с использованием уже найденного управления для установления зависимостей  от a и последующему решению системы (18.120) относительно a.

Задача в общем случае является достаточно сложной. Основная трудность состоит в необходимости совместного решения уравнений (18.121), (18.122). Она легко преодолевается для линейных систем при отсутствии ограничений на вектор управления, когда функции ,  являются квадратичными по своим аргументам. В этом случае задача формулируется следующим образом.

Пусть динамическая система описывается линейным стохастическим уравнением

где x — по-прежнему белый шум с нулевым математическим ожиданием и матрицей интенсивностей D. Требуется найти оптимальный закон управления системой из условия обращения в минимум критерия

при дополнительных ограничениях

Предполагается, что матрицы  положительно определенные. В соответствии с этим уравнение Беллмана для данной задачи имеет вид

с граничным условием

Решение этого уравнения может быть записано в форме

где  определяются с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений

при граничных условиях

Структура оптимального управления при этом получается линейной

где матрица L определяется через матрицу L

Как видно из приведенных соотношений, параметры, формирующие оптимальное уравнение, зависят от набора , j= 1,..., l.Поэтому для окончательного решения необходимо определить этот набор. Для этого обратимся к системе (18.120)

(18.123)

Установим зависимости . С этой целью раскроем сначала вы­ражение для параметров . Получим

Подставим  в уравнение (18.122)

(18.124)

Нетрудно установить, что решение этого уравнения с граничным условием  имеет также вид квадратичной формы

где  зависят лишь от времени. Действительно, подставляя  в (18.124), получаем

Это уравнение выполняется тождественно при любых x, если  и  удовлетворяют системе

;
.

с граничными условиями

Представленные соотношения позволяют определить  и тем самым установить искомую зависимость . Остается решить систему уравнений (18.123) относительно a.

Таким образом, в задаче управления линейной системой с аддитивным белым шумом при наличии изопериметрических ограничений структура оптимального управления по-прежнему остается линейной. Однако коэффициенты обратной связи теперь уже зависят от статистических свойств возмущения. Эта зависимость проявляется через множители Лагранжа , которые являются корнями системы (18.123).

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться: