Алгоритм оптимальной коррекции. Линейные дискретные системы, оптимизируемые по квадратичному критерию

Иллюстрацию применения достаточных условий оптимальности нач­нем с задачи синтеза оптимального алгоритма коррекция траектории летательного (космического) аппарата. Процесс коррекции будем описывать следующей математической моделью

(18.10)

где вектор  по-прежнему характеризует отклонение вектора состояния аппарата от расчетного перед проведением i-й коррекции;  - корректирующее воздействие (управление) в момент i; - заданные матрицы;  - центрированная случайная величина с заданной дисперсией , которая характеризует ошибки реализации управляющего (корректирующего) воздействия, пропорциональные величине этого воздействия, так называемое, мультипликативное возмущение;  - центрированный случайный вектор с корреляционной матрицей , характеризующий ошибки реализации управляющего воздействия, не зависящие от величины самого воздействия, другими словами, аддитивное возмущение.

В качестве критерия оптимальности примем ожидаемое значение обобщенной характеристики, равной по аналогии с детерминированным случаем взвешенной сумме энергетических затрат, необходимых для проведения коррекции, и конечной точности

(18.11)

где  - заданные матрицы.

Будем полагать, что перед проведением каждой коррекции может быть точно измерен вектор текущего состояния.

Для определения алгоритма оптимальной коррекции  обратимся к достаточным условиям (18.8) и (18.9). Применительно к рассматриваемой задаче эти условия примут вид

	(18.12)
	(18.13)

Как и в детерминированном случае, по индукции нетрудно установить, что функция будущих потерь  для любого момента времени i может быть представлена в виде

(18.14)

Действительно, для момента i = N+1 выражение (18.14) справедливо, причем согласно (18.13)

(18.15)

Допустим, что выражение (18.14) справедливо и для момента i+1, т.е.

(18.16)

Тогда рекуррентное соотношение (18.12) с учетом (18.16) и (18.10) принимает вид

(18.17)

Здесь символ Sp означает след матрицы.

Отсюда находим, что алгоритм оптимального управления должен иметь вид

(18.18)

где матрица коэффициентов обратной связи L, определяется выражением

(18.19)

Следует отметить, что управление (18.18) минимизирует правую часть выражения (18.17), если матрица  оказывается положительно определенной.

С учетом найденного алгоритма управления (18.18) выражение для функции будущих потерь (18.17) принимает вид (18.14), причем матрица  и коэффициент  оказываются связанными с  и   соотноше­ниями:

(18.20)

Таким образом, функция будущих потерь в рассматриваемой зада­че управления линейной стохастической системой (18.10) с квадратичным критерием оптимальности (18.11) имеет квадратичную структуру (18.14). Матрица  и коэффициент , входящие в нее, определяются в соответствии с рекуррентными соотношениями (18.20) при граничных условиях (18.15). Алгоритм оптимального управления при этом (18.18) является линейным. По форме он совпадает с соответствующим алгоритмом управления детерминированной системой. Однако коэффициенты обратной связи, определяемые матрицей , в общем случае будут иными, так как  согласно (18.19) теперь зависит от ста­тистических свойств мультипликативного возмущения . Если же  отсутствует, т.е. , то нетрудно видеть, что матрица  определяется точно так же, как и в детерминированном случае.

Итак, при наличии только аддитивных возмущений алгоритм оптимального управления линейной стохастической системой полностью совпадает с алгоритмом оптимального управления соответствующей детерминированной системой. Аддитивные возмущения оказывают влияние лишь на величину критерия оптимальности через параметр  в соответствии с соотношением (18.20). Наличие мультипликативного возмущения приводит к изменению самого оптимального управления (в данном случае не структуры, а лишь его параметров).

Упражнение  1. Получить выражение для функции будущих потерь (18.14).

Упражнение 2. Используя полученное решение, найти алгоритм оптимальной однопараметрической коррекции космического аппарата, считая  и  скалярными величинами. Показать, что при управлении только конечным состоянием ( ) оптимальное управление в любой момент времени полностью определяется параметрами модели  и дисперсией  - именно в этот момент времени.

Упражнение 3. Используя полученное решение, найти алгоритм оптимальной двухпараметрической коррекции, считая  двухмерным вектором, а  скаляром. Показать, что в случае управления конечным состоянием ( ) при наличии только аддитивного возмущения ( ) оптимальная стратегия управления сводится к проведению лишь двух последних коррекций, так как проведение других коррекций не приводит к дальнейшему уменьшению критерия оптимальности.

Упражнение 4. Используя достаточные условия оптимальности, найти алгоритм однопараметрической коррекции летательного аппарата, принимая в качестве математической модели скалярное уравнение

где случайная ошибка реализации корректирующего воздействия  считается тождественно равной нулю, если . При  она представляет собой центрированную гауссовскую величину с единичной дисперсией. В качестве критерия оптимальности рассмотреть следующие варианты

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: