Учет дополнительных терминальных ограничений. Дискретный случай

При решении практических задач синтеза оптимального управления часто приходится учитывать кроме ограничений, накладываемых на вектор управления, дополнительные терминальные ограничения вида

(испр)

где - известные функции вектора - некоторые заданные величины, l – количество ограничений.

Задача формулируется следующим образом. Требуется найти такой алгоритм управления системой (18.1), который обращая в минимум критерий (18.2), удовлетворял бы ограничениям

(испр)

(18.21)

Для учета последних обратимся к методу множителей Лагранжа. Составим обобщенный критерий оптимальности

(испр)

(18.22)

где - множители Лагранжа, один из которых для определенности, например , равен единице.

В соответствии с известными необходимыми условиями оптимальности (теорема Куна - Такера) условная минимизация критерия (18.2) с учетом (18.21) может быть заменена безусловной минимизацией обобщенного критерия (18.22), если множители Лагранжа  определить как неотрицательные корни, ³ 0, системы уравнений

(испр)

(18.23)

Здесь под a понимается вектор с компонентами . Уравнения (18.23) следует понимать таким образом, что либо =0, если , либо ³ 0, если . Если же при всех ³ 0 имеет место неравенство , то решения задачи не существует, так как ограничение  не может быть выполнено.

Следует заметить, что в случаях, когда ограничения (18.21) выполняются в виде строгих равенств, то существование , при которых эти равенства имеют место и одновременно обеспечивается минимум обобщенного критерия оптимальности, является достаточным условием того, чтобы основной критерий также достигал минимума.

Действительно, допустим, что существуют такие множители , при которых управляющая последовательность , обращает критерий (18.22) в минимум

и имеют место равенства

(испр)

Тогда для любых u имеет место неравенство

(испр)

откуда

(испр)

Но последнее условие и означает, что управление  обеспечивает минимум критерия  при условии

Общая последовательность решения задачи теперь сводится к следующему. Из условия минимизации обобщенного критерия находим структуру оптимального управления. Для этого по-прежнему используем основное рекуррентное соотношение (18.5), однако граничное условие (18.6) в соответствии (18.21)-(18.22) принимает теперь вид

(18.24)

Нетрудно видеть, что получаемый при этом алгоритм оптимального управления оказывается зависящим от вектора множителей Лагранжа a, . Для определения компонент  необходимо обратиться к условиям (18.23), раскрыв предварительно в них зависимости . С этой целью, полагая, что структура оптимального управления  определена, введем в рассмотрение функции будущих потерь

(18.25)

В выражениях (18.25) отсутствует лишь операция минимизации по управлению. Функция  представляет собой фактически величину , вычисленную при условии, что движение системы (18.1) начинается с момента i из состояния  и происходит с выбранным уже алгоритмом оптимального управления. Очевидно, функции  через алгоритм управления также зависят от вектора a, т.е. . Полагая в (18.25) i=1, получаем

(испр)

С учетом этих соотношений система (18.23) для определения a может быть представлена теперь в виде

(испр)

Выясним теперь, каким образом можно найти функции . Из выражения (18.25) следует, что

Следовательно, каждая функция  может быть определена с помощью рекуррентного соотношения

(18.26)

с граничным условием

(18.27)

получаемым сразу из (18.25), если принять i= N+1.

Таким образом, определение оптимального управления в данной задаче сводится к применению основного рекуррентного соотношения (18.5) с граничным условием (18.24) для выявления структуры этого управления, к применению рекуррентных соотношений (18.26) с граничными условиями (18.27) для установления зависимостей  при разных j и последующего решения системы (18.23) относительно вектора a.

 

Упражнение. Показать, что в задаче управления системой (18.1) с критерием оптимальности вида

 

(испр)

при дополнительных ограничениях

(испр)

достаточные условия оптимальности при определении структуры оптимального управления могут быть представлены в виде рекуррентного соотношения

,

(18.28)

а при раскрытии зависимостей  в виде

(18.29)

с прежними граничными условиями

	(испр)

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: