Оптимальное управление стационарным спутником с использованием двигателя большой тяги

Для иллюстрации методики учета изопериметрических ограничений рассмотрим задачу выбора алгоритма оптимального управления, обеспечивающего перевод стационарного спутника Земли из одной точки орбиты в другую с требуемой точностью при минимальных энергетических затратах.

Под стационарным спутником понимается спутник, двигающийся в направлении вра­щения Земли по экваториальной круговой орбите с периодом об­ращения, равным периоду собственного вращения Земли. Для на­блюдателя, находящегося на Земле, такой спутник будет казаться неподвижным.

Перевод спутника предполагается осуществлять с использова­нием корректирующей двигательной установки большой тя­ги, позволяющей реализовать корректирующие импульсы скорости практически мгновенно. В начальный момент i=0 к спутнику прикла­дывается по касательной к траектории некоторый импульс скорости, в результате чего орбита движения СИСЗ становится эллиптиче­ской. Возникшая разница в периодах обращения по эллиптической и первоначальной круговой орбитам приводит к дрейфу, т. е. види­мому для земного наблюдателя смещению. Дальнейшие корректи­рующие импульсы прикладываются в моменты прохождения спут­ником точек апогея (перигея) i = 1, 2, ..., N и предназначаются для постепенной ликвидации дрейфа к последнему моменту N+1 при ус­ловии обеспечения требуемой конечной точности перевода.

Введем обозначения: - текущее угловое расстояние между i-прохождением через апогей (перигей) и требуемым положением;  - угловая скорость дрейфа в i-й момент прохождения апогея, измеряемая угловым смещением спутника за один оборот;  - величина i-го корректирующего импульса, пересчитанная в скорость дрейфа;  - случайный коэффициент с дисперсией , характеризующий разброс i-го корректирующего импульса.

Тогда математическая модель процесса перевода может быть представлена в виде следующей системы конечно-разностных уравнений:

или в матричном виде

где

По условию задачи считается, что  - некоторая известная величина.

В качестве характеристики конечной точности примем величину

где - параметр эллипса

характеризующего область допустимых конечных разбросов в момент N+1 в пространстве . Если l - единичная матрица, то  является квадратом радиуса окружности рассеивания, а величина  - соответственно вторым моментом этого радиуса. Если допустить, что математическое ожидание вектора  равно нулю, то величина  будет характеризовать просто дисперсию радиуса рассеивания.

В процессе перевода требуется обеспечить выполнение условия

где  - заданная величина.

Энергетические затраты, подлежащие минимизации, оценим ве­личиной

В соответствии с изложенной методикой алгоритм оптимальной коррекции  может быть найден с помощью рекуррентного соотношения (18.28), которое в данном случае принимает вид

при условии

В соответствии с выражениями (18.14) - (18.20) устанавливаем, что для функции будущих потерь   имеет место формула

где матрица  определяется с помощью рекуррентного соотношения

при граничном условии

Здесь     .

Алгоритм оптимального управления имеет вид

Полученные соотношения могут быть расписаны и в скалярном виде:

где

 

при граничных условиях

Для определения множителя a установим зависимость . С этой целью обратимся к рекуррентному соотношению (18.26)

с граничным условием (18.27)

Нетрудно установить, что функция  как и функция  в любой момент может быть представлена в виде квадратичной формы

Действительно, полагая, что последнее справедливо для момента i+1, т.е.

из рекуррентного соотношения для  находим

,

причем матрица  связана следующим рекуррентным соотношением с матрицей :

,

где

Граничное условие для   имеет вид

,

Полученные формулы в скалярном виде имеют вид

;
.

Так как начальное положение СИСЗ известно, причем , то полагая i=0 в  получаем оценку конечной точности

,

Зависимость  проявляется через параметр , который, в свою очередь, зависит от множителя a. Проанализируем те­перь уравнение

определяющее неизвестный множитель a. Можно выделить следую­щие случаи: 1) a=0; 2) ; 3) .

Сразу отметим, что последний случай не представляет практического интереса, так как свидетельствует о невозможности удовлетворения конечным требованиям ни при каком .

Первый случай соответствует решению задачи, связанной с достижением наилучшей конечной точности без учета энергетических затрат. Если величина , полученная в результате такого решения, окажется более заданной, , то решение исходной задачи не существует. В связи с этим данный случай имеет важное значение. С одной стороны, он дает ответ на вопрос, существует ли вообще решение исходной задачи. Если  то решение существует, в протвном случае решение не существует. С другой стороны, он дает представление о предельно достижимой конечной точности.

При условии существования решения можно перейти к рассмотрению второго случая, который будет основным. Искомое значение множителя a теперь определяется как положительный корень уравнения

Это уравнение можно решить графически, построив зависимость  при .

 

⇐ Предыдущая12345678910Следующая ⇒

Поделиться: