Расчет характеристик ряда распределения. Для расчета характеристик ряда распределения , σ , σ 2

⇐ ПредыдущаяСтр 6 из 8Следующая ⇒

Для расчета характеристик ряда распределения , σ , σ 2, V_σ на основе таблицы 5 строим вспомогательную таблицу 6 ( – середина интервала).

*Таблица 6 - Расчетная таблица для нахождения характеристик ряда распределения*
Группы регионов по величине численности занятых в экономике, тыс. чел. (x)	Середина интервала,	Число регионов, f_j
1	2	3	4	5	6	7
220 - 350	285	4	1 140	- 260	67 600	270 400
350 - 480	415	9	3 735	- 130	16 900	152 100
480 - 610	545	11	5 995	0	0	0
610 - 740	675	7	4 725	130	16 900	118 300
740 - 870	805	5	4 025	260	67 600	338 000

Всего

---

19 620

---

878 800

Рассчитаем среднюю арифметическую взвешенную:

(5)

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение:

(6)

Рассчитаем дисперсию:

σ 2 = 156, 24052 = 24 411, 0938

Рассчитаем коэффициент вариации:

(7)

Вывод: Анализ полученных значений показателей и σ говорит о том, что средняя величина численности занятых в экономике составляет 545 тыс. чел., отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет в среднем 156 тыс. чел. (или 28, 7%), наиболее характерная численность занятых в экономике находится в пределах от 389 до 701 тыс. чел. (диапазон ).

Значение V_σ = 28, 7% не превышает 33%, следовательно, вариация численности занятых в экономике в исследуемой совокупности регионов незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями , Мо и Ме незначительно ( = 545 тыс. чел., Мо = 523 тыс. чел., Ме = 539 тыс. чел.), что подтверждает вывод об однородности совокупности регионов. Таким образом, найденное среднее значение численности занятых в экономике (545 тыс. чел.) является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности регионов.

Вычисление средней арифметической по исходным данным о численности занятых в экономике регионов

Для расчета применяется формула средней арифметической простой:

, (8)

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (546, 67 тыс. чел.) и по интервальному ряду распределения (545 тыс. чел.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 36-ти регионов, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения практически совпадают, что говорит о достаточно равномерном распределении численности занятых в экономике внутри каждой группы интервального ряда.

Задание 2.

По исходным данным (таблицы 1) с использованием результатов выполнения Задания 1 необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками Численность занятых в экономикеиВаловой региональный продукт, образовав пять групп с равными интервалами по каждому из признаков, используя методы:

а) аналитической группировки;

б) корреляционной таблицы.

2. Измерить тесноту корреляционной связи, используя коэффициент детерминации и эмпирическое корреляционное отношение.

Сделать выводы по результатам выполнения задания 2.

Выполнение задания 2

Целью выполнения данного задания является выявление наличия корреляционной связи между факторным и результативным признаками, а также установление направления связи и оценка ее тесноты.

По условию Задания 2 факторным является признак Численность занятых в экономике, результативным – признак Валовой региональный продукт.

1. Установление наличия и характера корреляционной связи между признаками Численность занятых в экономике и Валовой региональный продукт методами аналитической группировки и корреляционных таблиц

1.1. Применение метода аналитической группировки

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется среднегрупповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 3, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х - Численность занятых в экономике и результативным признаком Y – Валовой региональный продукт.

Групповые средние значения получаем из таблицы 3 (графа 4), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет таблица 7:

Таблица 7 - Зависимость валового регионального продукта от численности занятых в экономике

№ группы

Группы регионов по величине численности занятых в экономике, тыс. чел. (x)

Число регионов, (f_j)

Валовой региональный продукт, млрд. руб.

всего в среднем на один регион,

5 = 4: 3

220 – 350

107, 1

26, 775

350 – 480

285, 3

31, 7

III

480 – 610

383, 9

34, 9

610 – 740

245, 7

35, 1

740 – 870

192, 0

38, 4

Итого

1214

---

Вывод: Анализ данных таблицы 7 показывает, что с увеличением численности занятых в экономике от группы к группе систематически возрастает и средний валовой региональный продукт по каждой группе регионов, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

1.2.Применение метода корреляционных таблиц

Корреляционная таблица строится как комбинация двух рядов распределения по факторному признаку Х и результативному признаку Y. На пересечении j -ой строки и k -ой графы таблицы указывается число единиц совокупности, входящих в j -ый интервал по признаку X и в k -ый интервал по признаку Y. Концентрация частот около диагонали построенной таблицы свидетельствует о наличии корреляционной связи между признаками - прямой или обратной. Связь прямая, если частоты располагаются по диагонали, идущей от левого верхнего угла к правому нижнему, обратная - по диагонали от правого верхнего угла к левому нижнему.

Для построения корреляционной таблицы необходимо знать величины и границы интервалов по двум признакам X и Y. Для факторного признака Х – Численность занятых в экономике эти величиныизвестны из таблицы 4. Определяем величину интервала для результативного признака Y – Валовой региональный продукт при k = 5, у _{ma x}= 54, 0 млрд. руб., у _{mi n}= 20, 5 млрд. руб.:

Границы интервалов ряда распределения результативного признака Y имеют вид:

Таблица 8 - Границы интервалов ряда распределения результативного признака
номер группы	нижняя граница, млрд. руб.	верхняя граница, млрд. руб.
1	20, 5	27, 2
2	27, 2	33, 9
3	33, 9	40, 6
4	40, 6	47, 3
5	47, 3	54, 0

Подсчитывая для каждой группы число входящих в нее регионов с использованием принципа полуоткрытого интервала [ ), получаем интервальный ряд распределения результативного признака (таблица 9).

Таблица 9 - Интервальный ряд распределения регионов по валовому региональному продукту
№ группы	Группы регионов по валовому региональному продукту, млрд. руб. y	Число регионов f_i
№ группы		Число регионов f_i
А	Б	1
I	20, 5 - 27, 2	10
II	27, 2 - 33, 9	10
III	33, 9 - 40, 6	7
IV	40, 6 - 47, 3	4
V	47, 3 - 54, 0	5
Всего		36

Используя группировки по факторному и результативному признакам, строим корреляционную таблицу (таблица 10).

Таблица 10 - Корреляционная таблица зависимости валового регионального продукта от численности занятых в экономике
Группы регионов по численности занятых в экономике, тыс. чел.	Группы регионов по валовому региональному продукту, млрд. руб.					Всего
	20, 5 - 27, 2	27, 2 - 33, 9	33, 9 - 40, 6	40, 6 - 47, 3	47, 3 - 54, 0	Всего
220 - 350			4			4
350 - 480	2	3	1	1	2	9
480 - 610	6	3	1	1		11
610 - 740	2	3			2	7
740 - 870		1	1	2	1	5
Всего	10	10	7	4	5	36

Вывод : Анализ данных таблицы 10 показывает, что распределение частот групп произошло вдоль диагонали, идущей из левого верхнего угла в правый нижний угол таблицы. Это свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между численностью занятых в экономике и валовым региональным продуктом регионов.

2. Измерение тесноты корреляционной связи с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения

Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии :

(9)

где – общая дисперсия признака Y,

– межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих наY факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле

, (10)

где y _i – индивидуальные значения результативного признака;

– общая средняя значений результативного признака;

n – число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле

, (11)

где – групповые средние,

– общая средняя,

– число единиц в j-ой группе,

k – число групп.

Для расчета показателей и необходимо знать величину общей средней , которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

(12)

Значения числителя и знаменателя формулы имеются в таблице 7 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

= = 33, 72 млрд. руб.

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная таблица 11.

Таблица 11 - Вспомогательная таблица для расчета общей дисперсии
№ региона	Валовой региональный продукт, млрд. руб.
1	35, 9	2, 18	4, 75
2	35, 7	1, 98	3, 92
3	38, 9	5, 18	26, 83
4	34, 9	1, 18	1, 39
5	23, 2	-10, 52	110, 67
6	30, 5	-3, 22	10, 37
7	54, 0	20, 28	411, 28
8	40, 8	7, 08	50, 13
9	26, 6	-7, 12	50, 69
10	33, 1	-0, 62	0, 38
11	51, 3	17, 58	309, 06
12	37, 1	3, 38	11, 42
13	28, 1	-5, 62	31, 58
14	28, 0	-5, 72	32, 72
15	34, 7	0, 98	0, 96
16	31, 8	-1, 92	3, 69
17	22, 8	-10, 92	119, 25
18	26, 8	-6, 92	47, 89
19	22, 5	-11, 22	125, 89
20	25, 0	-8, 72	76, 04
21	26, 2	-7, 52	56, 55
22	21, 5	-12, 22	149, 33
23	42, 4	8, 68	75, 34
24	32, 5	-1, 22	1, 49
25	50, 9	17, 18	295, 15
26	48, 4	14, 68	215, 50
27	30, 0	-3, 72	13, 84
28	20, 5	-13, 22	174, 77
29	32, 4	-1, 32	1, 74
30	28, 3	-5, 42	29, 38
31	21, 6	-12, 12	146, 89
32	41, 5	7, 78	60, 53
33	44, 7	10, 98	120, 56
34	29, 5	-4, 22	17, 81
35	34, 5	0, 78	0, 61
36	47, 4	13, 68	187, 14
Итого	1214, 0	---	2975, 54

Рассчитаем общую дисперсию:

= (13)

Для расчета межгрупповой дисперсии строится вспомогательная таблица 12. При этом используются групповые средние значения из таблицы 7 (графа 5).

*Таблица 12 - Вспомогательная таблица для расчета межгрупповой дисперсии*
Группы регионов по величине численности занятых в экономике, тыс. чел. (x)	Число регионов, f_j	Среднее значение в группе, млрд. руб.
1	2	3	4	5
220 - 350	4	26, 775	- 6, 945	192, 9321
350 - 480	9	31, 7	- 2, 02	36, 7236
480 - 610	11	34, 9	1, 18	15, 3164
610 - 740	7	35, 1	1, 38	13, 3308
740 - 870	5	38, 4	4, 68	109, 512
Всего	36	---	---	367, 8149