Тема. Численные методы решения задач линейной алгебры,

Метод Гаусса

Задание

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) .

2. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса.

3. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте матрицу А из приложения 2. Вектор свободных членов задайте произвольно.

2. Решите полученную СЛАУ методом Гаусса.

Ø прямой ход: привести СЛАУ к эквивалентной системе с треугольной матрицей системы, т.е.

Ø обратный ход: последовательно вычислить неизвестные х_n,.., х₂, х₁

3. Проверьте полученное решение СЛАУ, используя надстройку Excel поиск решения применительно к исходной системе .

4. Вычислите вручную определитель матрицы А методом Гаусса.

5. Вычислите вручную матрицу А^-1, обратную матрице A, методом Гаусса. Проверьте расчеты на ЭВМ, используя матричные функции Excel. Проанализируйте полученные результаты.

6. Вычислите нормы матриц А и А^-1(можно вручную).

7. Исследуйте обусловленность матрицы, вычислив меру обусловленности m(А). Сделайте заключение об обусловленности матрицы Aи заданной системы.

8. Задайте небольшое возмущение исходных данных (только один элемент матрицы А, (~0.1)) и снова решите систему, используя надстройку поиск решения. Проанализируйте, как изменились результаты.

9. Проанализировав полученные данные, сделайте заключение о корректности исходной задачи (существование, единственность, устойчивость решения).

Решение СЛАУ с использованием приложения Microsoft Excel

Пример 2.1.Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (2.1) используя алгоритм метода Гаусса

, (2.1)

Расчетная схема метода Гаусса приведена на рис (2.1).

Рис.2.1.

Пример 2.2: Сделать проверку полученного решения СЛАУ из примера 2.1, используя надстройку Поиск решения.

При решении СЛАУ с помощью надстройки приложение Excel использует итерационные (приближенные) методы. Строится последовательность приближений, i=0, 1, …n. Назовем вектором невязок вектор:

(2.2)

Задача Excel заключается в том, чтобы найти такое приближение, при котором вектор невязок был бы нулевым, т.е. добиться совпадения значений правых и левых частей системы .

Последовательность действий:

1. Заготовьте таблицу, как показано на рис.2.2.

Рис.2.2.

2. Заготовьте ячейки А7: С7, где будет сформировано решение системы (х₁, х₂, х₃). Первоначально они остаются пустыми, т.е. равными нулю. Однако для контроля правильности вводимых далее формул, удобно ввести в эти ячейки какие-либо значения, например единицы. Эти значения можно рассматривать как нулевое приближение решения системы, .

3. Введите коэффициенты системы (матрицу А) в ячейки А3: С5.

4. В столбец D введите выражения для вычисления левых частей исходной системы . Для этого можно использовать функцию СУММПРОИЗВ, принадлежащую категории Математические.

5. В столбец Е запишите значения правых частей системы (матрицу В).

6. В столбец F введите невязки в соответствии с формулой (2.2). Будет не лишним проверить правильность вычислений для случая .

7. Выберите команду меню Сервис\Поиск решения. В окне Поиск решения (рис.2.3) в поле Изменяемые ячейки укажите блок $А$7: $С$7, а в поле Ограничения – $F$3: $F$5=0. Для этого надо щелкнуть на кнопке Добавить и ввести эти ограничения.

Рис. 2.3.

Полученное решение системы (2.1.) х₁=1; х₂=-1 х₃=2 получено в ячейках А7: С7, рис.2.2.

Лабораторная работа №3

Тема. Итерационные методы решения систем линейных алгебраических систем уравнений (методы Якоби и Гаусса-Зейделя)

Задание. Решить СЛАУ методами Якоби и Гаусса-Зейделя с заданной точностью e. Проанализировать результаты решения в зависимости от e=0, 1; 0, 01; 0, 001.

Сравнить результаты решения, полученные двумя методами, сделать соответствующие выводы.

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте СЛАУ из приложения 3 в соответствии с вариантом.

2. Решите заданную вариантом СЛАУ методам Якоби с точностью e=0, 01. Проанализируйте сходимость итерационного процесса.

3. Если итерационный процесс получился расходящимся, преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

4. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения.

5. Решите вручную систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, вычислив по три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой вектор. Сделайте вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса для e=0, 1.

6. Решите систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, используя приложение Excel (на разных листах книги). Расчетная схема приведена на рис.3.1.

7. Проанализируйте характер полученных решений для различных значений e =0, 1; 0, 01; 0, 001.

8. Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.3.2).

9. Используяоценку числа итераций, дающую ответ с заданной точностью e, вычислите количество итераций и сравните это число с полученными выше результатами.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 Следующая ⇒