Тема. Основы матричной алгебры. Матричные функции Excel

Пермь 2007

План УМД 2007\2008 уч.г.

Методические указания и задания лабораторных работ

по дисциплине

Численные методы решения задач строительства с использованием ЭВМ.

Составители: доктор техн. наук Г.Г.Кашеварова, канд.техн.наук, Т.Б.Пермякова

Приведены задания и методические указания по выполнению лабораторных работ для дисциплины " Численные методы решения задач строительства с использованием ЭВМ". Предназначены для студентов строительного факультета.

Рецензент - С.Г.Кузнецова, к.т.н., доцент

Издание стереотипное.

Утверждено на заседании кафедры СМиВТ

от 25.05.2007.

Введение

Методические указания предназначены для студентов, изучающих курс “Численные методы решения задач строительства с использованием ЭВМ”.

Пособие содержит: комплекты заданий для лабораторных работ и рекомендации к их выполнению, некоторые сведения о приложении Microsoft Excel.

Форма отчетности. Для получения зачета по каждой лабораторной работе студенту необходимо подготовить отчет и защитить его.

Содержание отчета:

1. Тема лабораторной работы и полный текст задания.

2. Математическая постановка задачи. Краткое изложение используемых численных методов.

3. Результаты счета на ЭВМ.

4. Анализ полученных результатов.

Список литературы.

Основная.

1. Кашеварова Г.Г., Пермякова Т.Б. Численные методы решения задач строительства на ЭВМ. Пермь 2003.-346с.

2. Турчак Л.И. Основы численных методов. М.: Наука 1987.-342с.

3. Адлер Ю.П. Планирование эксперимента при поиске оптимальных условий. М. Наука 1976.-278с.

Литература дополнительная.

4. А.А.Самарский, А.В.Гулин. Численные методы. М. Наука. 1989. -430с.

5. Б.П.Демидович, И.А.Марон. Численные методы анализа. М. " Наука". 1967.-368с.

6. С.И. Зуховицкий. Линейное и выпуклое программирование.. М. " Наука". 1964.-348с.

7. А.В.Затонский. Численные методы. Теоретические основы и примеры реализации методов. Конспект лекций. Пермь. 1998.-102с.

8. Фигурнов В.Э. IBM PC для пользователя. М.: ИНФРАМ, 2000.-465с.

9. Попов А. Excel. Практическое руководство. М.: ДЕСС КОМ. 2000. -354 с.

Лабораторная работа №1

Тема. Основы матричной алгебры. Матричные функции Excel

Задание. Произвести указанные ниже операции над матрицами с использованием матричных функций приложения Microsoft Excel.

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте матрицы А и В из приложения 1. Над матрицами произведите следующие действия:

· А + В

· А * В

· В *А

· Удалите один столбец (любой) из матрицы В и попытайтесь перемножить А * В; Объяснить полученные результаты

· Удалить одну строку (любую) из матрицы В и снова попытайтесь перемножить А * В. Объяснить полученные результаты.

2. Вычислите матрицу А^-1 обратную матрице А.

3. Перемножте матрицы А * А^-1 и А^-1 * А. Объяснить полученные результаты

4. Транспонируйте матрицу А.

5. Вычислите определители матриц А и А^-1.

6. Вычислите нормы матриц А и А^-1.

7. Составить матрицу С_4х1 (вектор) и вычислите нормы этой матрицы.

Рекомендации к выполнению работы.

Для решения задач линейной алгебры используются матричные функции EXCEL.

Категория: математические.Функции:

МУМНОЖ(< матрица1>; < матрица2> ) – возвращает произведение матриц.

МОБР(< матрица> ) – возвращает матрицу, обратную к данной.

МОПРЕД(< матрица> ) – вычисляет определитель исходной квадратной матрицы.

Категория: ссылки и массивы.Функция:

ТРАНСП(< матрица> ) – транспонирует исходную прямоугольную матрицу, поворачивая ее относительно главной диагонали.

Последовательность действий:

· Выделите блок, где будет размещен результат матричной операции.

· Щелкните на кнопке мастер функций и выберите нужные категорию и функцию.

· Уберите окно соответствующей функции (перетащите или с помощью кнопки ).

· Выделите исходную матрицу (бегущая пунктирная линия).

· Одновременно нажмите клавиши Shift+Ctrl+Enter.

Пример 1.1.. Найти матрицу А^-1 обратную для матрицы А.

Поскольку обратить можно только матрицу невырожденную, т.е. матрицу, определитель которой отличен от нуля, detA¹ 0, начните с его вычисления.

Расчетная схема вычисления определителя и обращения матрицы приведена на рис (1.1).

Рис.1.1.

Проверьте правильность обращения матрицы. Для этого перемножьте прямую и обратную матрицы А*Аобр, используя функцию МУМНОЖ и убедитесь, что в результате получится единичная матрица, рис.1.1.

Замечание. При использовании функции МУМНОЖдля перемножения матриц необходимо заранее проверить возможно ли это перемножение и четко определить порядок результирующей матрицы.

Лабораторная работа №2

Метод Гаусса

Задание

1. Решить систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) .

2. Вычислить определитель и обратную матрицу для матрицы А методом исключения Гаусса.

3. Сделать выводы о корректности задачи (существование, единственность, устойчивость решения относительно исходных данных).

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте матрицу А из приложения 2. Вектор свободных членов задайте произвольно.

2. Решите полученную СЛАУ методом Гаусса.

Ø прямой ход: привести СЛАУ к эквивалентной системе с треугольной матрицей системы, т.е.

Ø обратный ход: последовательно вычислить неизвестные х_n,.., х₂, х₁

3. Проверьте полученное решение СЛАУ, используя надстройку Excel поиск решения применительно к исходной системе .

4. Вычислите вручную определитель матрицы А методом Гаусса.

5. Вычислите вручную матрицу А^-1, обратную матрице A, методом Гаусса. Проверьте расчеты на ЭВМ, используя матричные функции Excel. Проанализируйте полученные результаты.

6. Вычислите нормы матриц А и А^-1(можно вручную).

7. Исследуйте обусловленность матрицы, вычислив меру обусловленности m(А). Сделайте заключение об обусловленности матрицы Aи заданной системы.

8. Задайте небольшое возмущение исходных данных (только один элемент матрицы А, (~0.1)) и снова решите систему, используя надстройку поиск решения. Проанализируйте, как изменились результаты.

9. Проанализировав полученные данные, сделайте заключение о корректности исходной задачи (существование, единственность, устойчивость решения).

Лабораторная работа №3

Порядок выполнения работы

1. Для расчета используйте СЛАУ из приложения 3 в соответствии с вариантом.

2. Решите заданную вариантом СЛАУ методам Якоби с точностью e=0, 01. Проанализируйте сходимость итерационного процесса.

3. Если итерационный процесс получился расходящимся, преобразуйте исходную систему к виду, пригодному для построения итерационного процесса, т.е. к системе с «преобладанием диагональных элементов» матрицы системы.

4. Проверьте правильность сделанных преобразований, решив обе СЛАУ с использованием надстройки Поиск решения.

5. Решите вручную систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, вычислив по три итерации. В качестве нулевого приближения возьмите нулевой вектор. Сделайте вывод о продолжении или прекращении итерационного процесса для e=0, 1.

6. Решите систему методами Якоби и Гаусса-Зейделя, используя приложение Excel (на разных листах книги). Расчетная схема приведена на рис.3.1.

7. Проанализируйте характер полученных решений для различных значений e =0, 1; 0, 01; 0, 001.

8. Проследите сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения в зависимости от номера итерации (рис.3.2).

9. Используяоценку числа итераций, дающую ответ с заданной точностью e, вычислите количество итераций и сравните это число с полученными выше результатами.

Лабораторная работа №4

Тема. Численные методы решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Метод конечных разностей

Задание. Решить краевую задачу методом конечных разностей, построив два приближения (две итерации) с шагом h и с шагом h/2.

Проанализировать полученные результаты. Варианты заданий приведены в приложении 4.

Порядок выполнения работы

1. Постройте вручную конечноразностную аппроксимацию краевой задачи (конечноразностную СЛАУ) с шагом h, заданным вариантом.

2. Используя метод конечных разностей, сформируйте в Excelсистему линейных алгебраических конечно-разностных уравнений для шага h разбивки отрезка [a, b]. Запишите эту СЛАУ на рабочем листе книги Excel. Расчетная схема приведена на рис.4.1.

3. Полученную СЛАУ решите методом прогонки.

4. Проверьте правильность решения СЛАУ с помощью надстройки Excel Поиск решения.

5. Уменьшите шаг сетки в 2 раза и еще раз решите задачу. Результаты представьте в графическом виде.

6. Сравните полученные результаты. Сделайте вывод о необходимости продолжения или о прекращении счета.

Порядок решения

1. Подготовим таблицу как показано на рис.5.1. Ячейки, содержащие целевую функцию (В11) и проектные параметры х₁, х₂ (изменяемые ячейки) В8: С8 тонируем. Для контроля счета в ячейки В8: С8 введем единицы. Значения проектных параметров х₁=1 и х₂=1 можно рассматривать как нулевое приближение решения задачи.

2. В ячейки В3: D5 введем коэффициенты системы ограничений (5.2).

3. В ячейку E3 введем формулу для вычисления левой части первого ограничения, т.е. E3=СУММПРОИЗВ($B$8: $C$8; B3: C3), и после ввода скопируем ее вниз до конца таблицы. Будет не лишним проверить результаты счета для заданных значений х₁=1 и х₂=1

Рис.5.1.

4. В ячейке В11 запишем формулу для целевой функции (5.1):

В11=1-В8-С8.

5. Выделим ячейку В11. Выберем команду меню Сервис\Поиск решения и в появившемся окне сделаем соответствующие установки, как показано на рис.5.2. Ограничения устанавливаются с помощью кнопки Добавить, которая вызывает окно для ввода этих ограничений (рис.5.2).

6. Щелкнем на кнопке Выполнить. Результат решения будет иметь вид, как показано на рис.5.1.

7. Результаты можно сохранить или отказаться (Восстановить исходные значения). Можно получить один из видов отчетов (Результаты, Устойчивость, Пределы). Отчет можно оформить на отдельном листе Книги с соответствующим именем.

Таким образом, функция цели (5.1) при ограничениях (5.2) достигает своего минимума z_min=-4 при x₁=2, x₂=3.

Рис.5.2.

Лабораторная работа №6

Лабораторная работа №7

Тема. Планирование и обработки результатов многофакторного эксперимента

Для построения математической модели исследуемого процесса необходимо спланировать и провести эксперимент так, чтобы при минимальных затратах, изменяя значения факторов по специальным планам, получить достаточно информации для определения коэффициентов уравнения регрессии (УР) с требуемой надежностью.

Задание. На основании заданных вариантом результатов проведенного эксперимента построить уравнение регрессии (УР) второго порядка.

При решении этой задачи устанавливается следующая последовательность действий.

1. Анализ результатов спланированного и проведенного эксперимента, заданного вариантом (параметр оптимизации, факторы, границы варьирования факторов, вид УР, план эксперимента).

2. Проверка воспроизводимости эксперимента (критерий Кохрена).

3. Определение коэффициентов УР.

4. Оценка значимости коэффициентов УР (критерий Стьюдента).

5. Проверка адекватности УР (критерий Фишера).

6. Запись УР в натуральных значениях факторов.

Приложения

Приложение 1. Исходные данные к первому заданию

Матрицы А и В

1). A = В =	2). A = В=
3). A = В =	4). A = В=
5). А = В =	6). A = В =
7). A = В=	8). A= В=
9). A = В=	10). A= В =
11). A = В=	12). A= В=
13). A= В=	14). A= В =
15). A = В =	16). A= В=
17). A = В =	18). A = В =
19). A = В =	20). A= В=
21). A = В=	22). A = В =
23). A = В =	24). В = В =
25). A = В =	26). A = В=
27). A = В =	28). A = В=
29). A = В =	30). A= В=

Приложение 2. Исходные данные ко второму заданию

Матрица А

1).	2)	3).
4).	5).	6).
7).	8).	9).
10).	11).	12).
13).	14).	15).
16).	17).	18).
19).	20).	21).

22).	23).	24).
25).	26).	27).
28).	29).	30).

Приложение 3. Исходные данные к третьему заданию

1). 3, 5x₁ - 1, 7x₂ + 2, 8x₃ = 1, 7 5, 7x₁ + 3, 3x₂ + 1, 3x₃ = 2, 1 2, 1x₁ + 5, 8x₂ + 2, 8x₃ = 0, 8	2). 2, 1x₁ + 4, 4x₂ + 1, 8x₃ = 1, 1 0, 7x₁ - 2, 8x₂ + 3, 9x₃ = 0, 7 4, 2x₁ - 1, 7x₂ + 1, 3x₃ = 2, 8
3). 3, 1x₁ + 2, 8x₂ + 1, 9x₃ = 0, 1, 9x₁ + 3, 1x₂ + 2, 1x₃ = 2, 1 7, 5x₁ + 3, 8x₂ + 4, 8x₃ = 5, 6	4). 4, 1x₁ + 5, 7x₂ + 1, 2x₃ = 5, 8 0, 8x₁ + 1, 1x₂ - 2, 8x₃ = 6, 7 9, 1x₁ - 3, 6x₂ + 2, 8x₃ = 9, 8
5). 2, 7x₁ - 0, 8x₂ + 4, 1x₃ = 3, 2 1, 1x₁ + 3, 7x₂ + 1, 8x₃ = 5, 7 3, 3x₁ + 2, 1x₂ - 2, 8x₃ = 0, 8	6). 1, 9x₁ + 1, 1x₂ + 3, 8x₃ = 7, 8 7, 6x₁ + 5, 8x₂ - 4, 7x₃ = 10, 1 1, 8x₁ - 4, 1x₂ + 2, 1x₃ = 9, 7
7) 3, 2x₁ - 8, 5x₂ + 3, 7x₃ = 6, 5 0, 5x₁ + 0, 34x₂ +3, 7x₃ = -0, 24 4, 6x₁ + 2, 3x₂ - 1, 5x₃ = 4, 3 .	8). 4, 2x₁ + 6, 7x₂ - 2, 3x₃ = 2, 7; 5, 4x₁ - 2, 3x₂ + 1, 4x₃ = - 3, 5; 3, 4x₁ + 2, 4x₂ + 7, 4x₃ = 1, 9.
9). 1, 5x₁ + 4, 5x₂ + 1, 3x₃ = -1, 7 2, 7x₁ - 3, 6x₂ + 6, 9x₃ = 0, 4 6, 6x₁ + 1, 8x₂ - 4, 7x₃ = 3, 8	10). 3, 4x₁ - 3, 6x₂ - 7, 7x₃ = -2, 4 5, 6x₁ + 2, 7x₂ - 1, 7x₃ = 1, 9 -3, 8x₁ + 1, 3x₂ +3, 7x₃ = 1, 2
11). -2, 7x₁ + 0, 9x₂ - 1, 5x₃ = 3, 5 3, 5x₁ - 1, 8x₂ + 6, 7x₃ = 2, 6 5, 1x₁ + 2, 7x₂ + 1, 4x₃ = -0, 1	12). 0, 8x₁ + 7, 4x₂ - 0, 5x₃ = 6, 4. 3, 1x₁ - 0, 6x₂ - 5, 3x₃ = -1, 5; 4, 5x₁ - 2, 5x₂ + 1, 4x₃ = 2, 5;
13). 5, 4x₁ - 6, 2x₂ - 0, 5x₃ = 0, 52 3, 4x₁ + 2, 3x₂ + 0, 8x₃ = -0, 8 2, 4x₁ - 1, 1x₂ + 3, 8x₃ = 1, 8	14). 3, 8x₁ + 6, 7x₂ + 2, 2x₃ = 5, 2 6, 4x₁ + 1, 3x₂ - 2, 7x₃ = 3, 8 -2, 4x₁ - 4, 5x₂ + 3, 5x₃ = -0, 6
15). -3, 3x₁ + 1, 1x₂ + 5, 8x₃ = 2, 3 7, 8x₁ + 5, 3x₂ + 1, 8x₃ = 1, 8 4, 5x₁ + 3, 3x₂ - 3, 8x₃ = 3, 4	16). 3, 8x₁ + 7, 1x₂ - 2, 3x₃ = 4, 8 -2, 1x₁ + 3, 9x₂ - 6, 8x₃ = 3, 3 8, 8x₁ + 1, 1x₂ - 2, 1x₃ = 5, 8
17). 1, 7x₁ - 2, 2x₂ - 4, 0x₃ = 1, 8 2, 1x₁ + 1, 9x₂ - 2, 3x₃ = 2, 8 4, 2x₁ + 1, 9x₂ - 0, 1x₃ = 5, 1	18). 2, 8x₁ + 3, 8x₂ – 8, 2x₃ = 4, 5 2, 5x₁ - 7, 8x₂ + 3, 3x₃ = 7, 1 6, 5x₁ - 1, 1x₂ + 4, 8x₃ = 6, 3
19). 2, 3x₁ + 0, 7x₂ + 4, 2x₃ = 5, 8 -2, 7x₁ + 2, 3x₂ - 2, 9x₃ = 6, 1 9, 1x₁ + 4, 8x₂ - 5, 0x₃ = 7, 0	20). 3, 1x₁ + 6, 8x₂ + 2, 1x₃ = 7, 0 -5, 0x₁ - 4, 8x₂ + 5, 3x₃ = 6, 1 8, 2x₁ + 1, 8x₂ + 5, 1x₃ = 5, 8
21). 3, 7x₁ + 3, 1x₂ + 7, 0x₃ = 5, 0 4, 1x₁ + 9, 5x₂ - 4, 8x₃ = 4, 9 -7, 1x₁ + 3, 7x₂ + 1, 8x₃ = 2, 7	22). 2, 1x₁ + 0, 2x₂ - 5, 8x₃ = 7, 0 3, 8x₁ - 8, 1x₂ + 4, 0x₃ = 5, 3 7, 8x₁ + 5, 3x₂ - 0, 3x₃ = 5, 8
23). 3, 7x₁ - 2, 3x₂ + 4, 5x₃ = 2, 4 2, 5x₁ + 4, 3x₂ - 7, 8x₃ = 3, 5 1, 6x₁ + 5, 3x₂ + 1, 3x₃ = -2, 4	24). 6, 3x₁ + 5, 2x₂ - 0, 4x₃ = 1, 5; 3, 4x₁ - 2, 3x₂ - 3, 4x₃ = 2, 7; 2, 8x₁ + 1, 4x₂ - 3, 5x₃ = -2, 3.
25). 1, 1x₁ + 2, 3x₂ - 3, 7x₃ = 4, 5 6, 8x₁ + 3, 4x₂ + 1, 8x₃ = -3, 2 1, 2x₁ + 7, 3x₂ - 2, 3x₃ = 5, 6	26). 0, 9x₁ + 2, 7x₂ - 3, 8x₃ = 2, 4 0, 5x₁ + 5, 8x₂ - 0, 5x₃ = 3, 5 8, 5x₁ - 2, 1x₂ + 3, 2x₃ = -1, 2
27). 1, 5x₁ - 2, 3x₂ + 8, 6x₃ = -5, 5 7, 4x₁ + 2, 5x₂ - 2, 9x₃ = 4, 5 0, 8x₁ + 3, 5x₂ - 1, 4x₃ = 3, 2	28). 5, 4x₁ - 2, 4x₂ + 10, 8x₃ = 5, 5 2, 5x₁ + 6, 8x₂ - 1, 1x₃ = 4, 3 2, 7x₁ - 0, 6x₂ + 1, 5x₃ = -3, 5
29). 2, 4x₁ + 3, 7x₂ - 8, 3x₃ = 2, 3 1, 8x₁ + 4, 3x₂ + 1, 2x₃ = -1, 2 10, 4x₁ - 1, 3x₂ + 5, 2x₃ = 3, 5	30). 23, 2x₁ - 11, 5x₂ + 3, 8x₃ = 2, 8 0, 8x₁ + 1, 3x₂ - 6, 4x₃ = -6, 5 2, 4x₁ + 7, 2x₂ - 1, 2x₃ = 4, 5

Приложение 4. Исходные данные к четвертому заданию

1).	2).	3).
4).	5).	6).
7)/	8).	9).
10).	11).	12).
13).	14).	15).
16).	17).	18).
19).	20).	21).
22).	23). .	24).
25).	26).	27).
28).	29).	30).

Приложение 5. Исходные данные к заданию 5

1)	2)	3).	4)
5).	6).	7).	8).
9).	10).	11).	12).
13).	14).	15).	16).
17).	18).	19).	20).
21).	22).	23).	24).
25).	26).	27).	28).
29).	30).

Приложение 6. Исходные данные к заданию 6

1. Задача об оптимальном выпуске продукции.

Предприятие располагает тремя видами сырья и может выпускать одну и ту же продукцию двумя способами. При этом за 1час работы первым способом выпускается 20 единиц продукции, а вторым способом - 30 единиц продукции.

Количество сырья (кг) того или иного вида, расходуемого за 1час при различных способах производства и запасы сырья (кг) приведены в табл.6.1.

Требуется найти план производства, при котором будет выпущено наибольшее количество продукции.

Таблица 6.1.

Вид сырья	Расход сырья (кг\ч) при способе производства	Запасы сырья
	№1	№2

2. Задача планирования производства

Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силой и оборудованием, необходимым для производства любого из 4-х видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы данного вида товара и прибыль, получаемая предприятием, а так же запасы ресурсов указаны в таблице (6.2).

Таблица 6.2.

Вид товара	Сырье (кг)	Раб.сила (ч.)	Оборудование (станко-ч)	Прибыль на ед. товара (у.е.)




Объем ресурсов

Дополнительно к задаче даны производственные издержки в у.е. на 1.ед. каждого изделия: 6, 9, 12, 3.

Найти оптимальный ассортимент, при котором предприятие получит максимальную прибыль, при условии, что суммарные производственные издержки не должны превышать 96 у.е.

Задача о назначениях

Имеются три бригады А1, А2, А3 , каждая из которых может быть использована на каждом из трех видов работ с производительностью (в условных единицах), заданной в виде табл.6.5:

Таблица 6.5.

Бригада	Производительность по видам работ, у.е.

А1
А2
А3

Требуется так распределить бригады по одной на каждую из работ, чтобы суммарная производительность всех бригад была максимальной.

Распределительная задача

Имеется три типа землеройных механизмов: экскаваторы, скреперы, бульдозеры, используемые на двух строительных объектах.

Объем землеройных работ на первом строительном объекте равен 12 тыс.м3, на 2-м - 5 тыс.м3.

Стоимость машино-смены работы 1-го механизма дана с учетом единовременных затрат на подготовительные работы (доставка, погрузка-разгрузка механизмов, прокладка дорог и проездов и пр.). Производительность i-го механизма на j-ом объекте указана в таблице 6.12.

Таблица 6.12.

Тип механизма	Количество механизмов, шт.	Стоимость машино-смены, руб.	Производительность механизма на объекте, м /ч

Эскаватор
Скрепер
Бульдозер

Требуется так распределить механизмы по объектам, чтобы выполнить заданный объем работ с минимальными затратами. Исходные данные для решения задачи приведены в таблице 6.12.

Рис.6.2

Таблица 6.18

№ участка дороги	Производительность бригад (у.е.)
М₁	М₂	М₃,

Требуется так распределить бригады по одной на каждый участок строительства дороги, чтобы суммарная производительность всех бригад была максимальной.

Приложение 7

Таблица 7.1

Значения критерия Стьюдента t (α, k₂)

_{Число степеней} _{свободы}	_{Уровень значимости}
_{0, 1}	_{0, 05}	_{0, 02}	_{0, 01}	_{0, 001}
₁ ₂ ₃ ₄ ₅ ₆ ₇ ₈ ₉ ₁₀ ₁₁ ₁₂ ₁₃ ₁₄ ₁₅ ₁₆ ₁₇ ₁₈ ₁₉ ₂₀ ₂₁ ₂₂ ₂₃ ₂₄ ₂₅ ₃₀ ₄₀ ₆₀ ₁₂₀ ₁₈₀	_{3, 31} _{2, 92} _{2, 35} _{2, 13} _{2, 02} _{1, 94} _{1, 90} _{1, 86} _{1, 83} _{1, 81} _{1, 80} _{1, 78} _{1, 77} _{1, 76} _{1, 75} _{1, 75} _{1, 74} _{1, 73} _{1, 73} _{1, 73} _{1, 72} _{1, 72} _{1, 71} _{1, 71} _{1, 71} _{1, 70} _{1, 68} _{1, 67} _{1, 66} _{1, 65}	_{12, 71} _{4, 30} _{3, 18} _{2, 78} _{2, 57} _{2, 45} _{2, 37} _{2, 31} _{2, 26} _{2, 23} _{2, 20} _{2, 18} _{2, 16} _{2, 15} _{2, 13} _{2, 12} _{2, 11} _{2, 10} _{2, 09} _{2, 09} _{2, 08} _{2, 07} _{2, 07} _{2, 06} _{2, 06} _{2, 02} _{2, 02} _{2, 00} _{1, 98} _{1, 96}	_{31, 82} _{6, 97} _{4, 54} _{3, 75} _{3, 37} _{3, 14} _{3, 00} _{2, 90} _{2, 82} _{2, 76} _{2, 72} _{2, 68} _{2, 65} _{2, 62} _{2, 60} _{2, 58} _{2, 57} _{2, 55} _{2, 54} _{2, 53} _{2, 52} _{2, 51} _{2, 50} _{2, 49} _{2, 48} _{2, 46} _{2, 42} _{2, 39} _{2, 36} _{2, 33}	_{63, 66} _{9, 93} _{5, 84} _{4, 60} _{4, 03} _{3, 71} _{3, 50} _{3, 36} _{3, 25} _{3, 11} _{3, 11} _{3, 06} _{3, 01} _{2, 98} _{2, 95} _{2, 92} _{2, 90} _{2, 88} _{2, 86} _{2, 85} _{2, 83} _{2, 82} _{2, 81} _{2, 80} _{2, 79} _{2, 75} _{2, 70} _{2, 66} _{2, 62} _{2, 58}	_{636, 62} _{31, 60} _{12, 94} _{8, 61} _{6, 86} _{5, 96} _{5, 41} _{5, 04} _{4, 78} _{4, 59} _{4, 44} _{4, 32} _{4, 22} _{4, 14} _{4, 07} _{4, 02} _{3, 97} _{3, 92} _{3, 88} _{3, 85} _{3, 82} _{3, 79} _{3, 77} _{3, 75} _{3, 73} _{3, 65} _{3, 55} _{3, 46} _{3, 37} _{3, 29}

Таблица 7.2

Значения критерия Фишера F (α, k_1, k₂)

12 3 4 5 6 Следующая ⇒