VIII. Дифференциальные уравнения

Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные или дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение записывается так:

Дифференциальное уравнение называется обыкновенным, если искомая функция зависит от одного независимого переменного.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей производной (или дифференциала), входящей в данное уравнение.

Решением (или интегралом) дифференциального уравнения называется такая функция, которая обращает это уравнение в тождество.

Общим решение (или общим интегралом) дифференциального уравнения называется такое решение, в которое входит столько независимых произвольных постоянных, каков порядок уравнения. Так, общее решение дифференциального уравнения первого порядка содержит одну произвольную постоянную.

Частным решением дифференциального уравнения называется решение, полученное из общего при различных числовых значениях произвольных постоянных. Значения произвольных постоянных находятся при определенных начальных значениях аргумента и функции.

График частного решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

Общему решению дифференциального уравнения соответствует совокупность (семейство) всех интегральных кривых.

Дифференциальным уравнением первого порядка называется уравнение, в которое входят производные (или дифференциалы) не выше первого порядка.

Дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными называется уравнение вида

Для решения этого уравнения нужно сначала разделить переменные:

а затем проинтегрировать обе части полученного равенства:

1. Найти общее решение уравнения

™ Разделив переменные, имеем

Интегрируем обе части полученного уравнения:

Так как произвольная постоянная С может принимать любые числовые значения, то для удобства дальнейших преобразований вместо С мы написали . Потенцирую последнее равенство, получим

Это и есть общее решение данного уравнения.

2. Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальным условиям при .

™ Разделив переменные, имеем

Проинтегрируем обе части полученного уравнения:

или

Это общее решение данного уравнения. Для нахождения значения произвольной постоянной С подставим значения и в выражение для общего решения: , или , откуда .

Следовательно, искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям, имеет вид

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнение вида

где и – функции от x, называется линейным дифференциальным уравнением первого порядка. В частном случае и могут быть постоянными величинами.

Это уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными с помощью подстановки , где u и z – новые функции от x.

1. Найти общее решение уравнения

™ Это линейное уравнение: здесь Положим и продифференцируем это равенство по

Подставив теперь выражения для и в данное уравнение, получим

или

Так как одну из вспомогательных функций или можно выбрать произвольно, то в качестве возьмем одно из частных решений уравнения

(произвольную постоянную С принимаем равной нулю, так как находим одно из частных решений).

Подставим теперь выражение для в уравнение (*); тогда получим уравнение

или

Отсюда находим

Зная и , теперь получаем общее решение данного уравнения:

2. Найти частное решение уравнения , если при .

™ Разделив все члены данного уравнения на , получим уравнение

которое является линейным. Положим ; тогда . Подставив выражения для и в уравнение (*), имеем

или

Для отыскания u получаем уравнение

, т.е. ,

откуда

Подставляя выражение для u в уравнение (*), имеем

или т.е.

Следовательно, общее решение данного уравнения записывается так:

3. Используя начальные условия имеем , откуда . Таким образом, искомое частное решение имеет вид

IX.Ряды

Числовым рядом называется выражение вида

где числа называемые членами ряда, образуют беконечную последовательность

Ряд называется сходящимся, если последовательность его частичных сумм

при имеет конечный предел: Этот предел называется суммой сходящегося ряда. Если конечный предел не существует, то ряд называется расходящимся.

Пример 1. Написать пять первых членов последовательности, если ее n-й член имеет вид:

Пример 2. Написать n-й член последовательности по данным первый ее членам:

Пример 3.

Решение. По определению частичной суммы ряда имеем:

Таким образом, получаем следующую последовательность частичных сумм:

общий член которой равен . Ясно, что эта последовательность сходится и ее предел равен единице:

Это означает, что данный ряд сходится и сумма его равна единице.

⇐ Предыдущая 1 234 5 Следующая ⇒