Система, как отношение на абстрактных множествах

Одним из центральных понятий теории систем является понятие системы, определенное в теоретико-множественных терминах:

(1)

где V, — вес компоненты; iÎ I — декартова произведения Ä V_i, называемые объектами системы S; I — множество индексов.

В кибернетике наибольший интерес представляют системы с двумя объектами — входным объектом X и выходным объектом Y:

Основными причинами определения системы как теоретико-множественного отношения являются следующие:

1. Система определяется в терминах взаимосвязей между этими свойствами, а не тем, что они на самом деле собой представляют (т. е. не с помощью физических, химических, биологических, социальных или других явлений). Это вполне согласуется с природой системных исследований, направленных на выяснение организации и взаимосвязи элементов системы, а не на изучение конкретных механизмов в системе.

2. Определение системы как отношения вида (1) является предельно общим. Конечно, различным системам отвечают и различные способы задания описания (дифференциальные уравнения, булева алгебра, графы и т. д.), но все они есть не более чем отношения вида (1). В условиях предельно нечеткой информации, когда систему удается описать лишь качественно, все словесные утверждения в силу их лингвистических функций определяют отношения типа (1). Действительно, каждое высказывание содержит две основные лингвистические категории: термы (денотаты) и функторы. Напомним, что термы используются для обозначения объектов, а функторы — для обозначения отношения между ними. И для каждого правильного множества словесных утверждений существует отношение (в математическом смысле слова), описывающее формальную взаимосвязь между объектами. Таким образом, система всегда является отношением в смысле (1), а уже более узкие классы систем определяются более точно своими специфическими средствами.

3. Системы часто задаются с помощью некоторых уравнений относительно соответствующих переменных. Каждой такой переменной можно поставить в соответствие некоторый объект системы, описывающей область значений соответствующей переменной. Утверждая, что система описывается системой уравнений относительно некоторого множества переменных, считают, что система есть отношение над соответствующими объектами, порожденными этими переменными (по одному объекту на каждую переменную, область значений которой он представляет). При этом любая комбинация элементов этих объектов, принадлежащая этому отношению, удовлетворяет исходной системе уравнений.

Под отношением понимается подмножество конечной декартовой степени Аⁿ = А ´ А ´ ... ´ A данного множества А, т. е. подмножество систем (a₁, a₂, ..., a_n) из n элементов множества А.

Подмножество R_.Аⁿ называется n-местным или n-арным отношением в множестве А. Число n называется рангом или типом отношения R. Множество всех n-арных отношений в множестве А относительно операций _ и _ является булевой алгеброй.

Для построения теории систем на теоретико-множественном уровне, исходя из определения (1), необходимо наделить систему как отношение некоторой дополнительной структурой. Это можно сделать двумя способами:

1. Ввести дополнительную структуру для элементов объектов системы( например, рассматривать сам элемент v_i, _ V_i как некоторое множество с подходящей структурой).

2. Ввести структуру непосредственно для самих объектов системы V_i, i_I.

Первый способ приводит к понятию (абстрактных) временных систем, а второй — к понятию алгебраических систем.

Временные, алгебраические и функциональные системы

Временные системы.

Если элементы одного из объектов системы есть функции, например v: Т_v®A_v, то этот объект называют функциональным.. В случае, когда области определения всех функций для данного объекта V одинаковы, т. е. каждая функция v_V является отображением Т в A, v: Т®А, то Т называется индексирующим множеством для v, a A — алфавитом объекта Т. Если индексирующее множество линейно упорядочено, то его называют множеством моментов времени. Функции, определенные на множествах моментов времени, принято называть (абстрактными) функциями времени. Объект, элементами которого являются временные функции, называют временным объектом, а системы, определенные на временных объектах, — временными системами.

Особый интерес для исследования представляют системы, у которых элементы и входного и выходного объектов определены на одном и том же множестве: Х_А^T и Y_B^T. В этом случае под системой понимается отношение

Алгебраические системы.

Другой путь наделения объектов системы математическими структурами состоит в определении одной или нескольких операций, относительно которых V становится алгеброй. В самом простейшем случае определяется бинарная операция R: V*V®V и предполагается, что в V можно выделить такое подмножество W, зачастую конечное, что любой элемент v_ V можно получить в результате применения операции R к элементам из W или к элементам, уже построенным из элементов множества. Неподобным образом. В этом случае W называют множеством производящих элементов или алфавитом объекта, а его элементы — символами, а элементы объекта V — словами. Если R есть операция сочленения, то слова — это просто последовательности элементов алфавита W.

Необходимо иметь в виду, что алфавит временного объекта — это не совсем то же самое, что алфавит алгебраического объекта. Для объектов с конечными алфавитами — это обычно одни и те же множества. Но как только алфавит становится бесконечным, возникают трудности: множество производящих элементов и область функций времени оказываются различными множествами, в общем случае даже разной мощности.

Итак, системой называется отношение на непустых (абстрактных) множествах:

S_x{V_i, i_I}.

Если множество индексов конечно, то выражение (13.1) можно переписать в виде

S_V₁*V₂*…*V_n.(2)

Пусть I_xÌ I и I_yÌ I образуют разбиение множества I, т. е. пусть I_xÇ I_y =Æ и I_xÈ I_y =I.

Множество Х= _{Vi. i_Ix, } называется входным объектом, а множество Y=_{Vi, i_Iy} - выходным объектом системы. Тогда система S определяется отношением

S _ X* У

и называется системой «вход — выход» («черный ящик»).

Если S является функцией

S: X®Y.

то система называется функциональной.

⇐ Предыдущая 15 16 17 18 192021 22 23 24 Следующая ⇒