Наличие нескольких целей — многокритериальность системы

⇐ ПредыдущаяСтр 18 из 24Следующая ⇒

Весьма часто этап содержательной постановки задачи системного анализа приводит нас к выводу о наличии нескольких целей функционирования системы.

Пусть имеется самая простая ситуация многокритериальности — существуют только две цели системы T₁ и T₂ и только две возможных стратегии S₁, S₂.

Пусть мы как-то оценили эффективность E₁₁ стратегии S₁ по отношению к T_1. Эффективность эта оказалась равной 0.4 (по некоторой шкале 0..1). Проделав такую же оценку для всех стратегий и всех целей, мы получили табличку (матрицу эффективностей):

E	T₁	T₂
S₁	0.4	0.6
S₂	0.7	0.3

Таблица 3.

Какую же из стратегий считать наилучшей? Пока мы не оговорим значимость каждой из целей, не укажем их веса, — спорить бесполезно! Вот если бы нам было известно, что первая цель, к примеру, в 3 раза важнее второй, то тогда можно учесть их относительные веса — скажем, величинами 0.75 для первой и 0.25 для второй. При таких условиях суммарные эффективности стратегий (по отношению ко всем целям) составят:

для первой E₁ = 0.4 · 0.70 + 0.6 · 0.30 = 0.28 + 0.18 = 0.46;

для второй E₂ = 0.8 · 0.70 + 0.2 · 0.25 = 0.56 + 0.05 = 0.61

так что ответ на вопрос о выборе стратегии далеко не очевиден.

Итак, критерий эффективности системы при наличии нескольких целей приходится выражать через эффективности отдельных стратегий виде:

E_s= S S_t · U_t {3 - 8}

т. е. учитывать веса отдельных целей U_t.

Откуда берутся весовые коэффициенты целей? Очень редко весовые коэффициенты определяются однозначно по “физическому смыслу” задачи системного анализа. Чаще всего, их отыскание можно называть “назначением”, “придумыванием”, “предсказанием”. Иногда, весовые коэффициенты назначаются путем голосования — явного или тайного. Дело в том, что в ситуациях, когда нет числового метода оценки веса цели, реальным выходом из положения является использование накопленного опыта. Нередко задает весовые коэффициенты непосредственно ЛПР, но чаще его опыт управления подсказывает: одна голова — хорошо, а много умных голов — куда лучше. Принимается особое решение — использовать метод экспертных оценок.

Пусть в процессе системного анализа нам пришлось учитывать некоторую величину U, измерение которой возможно лишь по порядковой шкале. Например, нам приходится учитывать 10 целей функционирования системы и требуется выяснить их относительную значимость, удельные веса. Если имеется группа лиц, компетентность которых в данной области не вызывает сомнений, то можно опросить каждого из экспертов, предложив им расположить цели по важности. В простейшем случае можно не разрешать повторять ранги, хотя это не обязательно — повторение рангов всегда можно учесть. Результаты экспертной оценки в нашем примере представим таблицей рангов целей:

Эксперты					Сумма
A
B
Сумма рангов
Суммарный ранг	4.5	9.5	9.5	4.5

Таблица 3.2

Итак, для каждой из целей T_i мы можем найти сумму рангов, определенных экспертами, и затем суммарный или результирующий ранг цели R_i. Если суммы рангов совпадают — назначается среднее значение. Метод ранговой корреляции позволяет ответить на вопрос — насколько коррелированны, неслучайны ранжировки каждого из двух экспертов, а значит — насколько можно доверять результирующим рангам? Как обычно, выдвигается основная гипотеза — об отсутствии связи между ранжировками и устанавливается вероятность справедливости этой гипотезы. Для этого можно использовать два подхода: определение коэффициентов ранговой корреляции Спирмэна или Кендэлла. Более простым в реализации является первый — вычисляется значение коэффициента Спирмэна:

Rs = 1 - ; {3 - 9} где d_i определяются разностями рангов первой и второй ранжировок по n объектов в каждой.

В нашем примере сумма квадратов разностей рангов составляет 30, а коэффициент корреляции Спирмэна около 0.8, что дает значение вероятности гипотезы о полной независимости двух ранжировок всего лишь 0.004.

При необходимости можно воспользоваться услугами группы из m экспертов, установить результирующие ранги целей, но тогда возникнет вопрос о согласованности мнений этих экспертов или конкордации. Пусть у нас имеются ранжировки 4 экспертов по отношению к 6 факторам, которые определяют эффективность некоторой системы.

Факторы --> Эксперты							Сумма
A
B
C
D
Сумма рангов Сум. ранг
Отклонение суммы от среднего	+1	-3	-4	+5	-2	+3

Заметим, что полная сумма рангов составляет 84, что дает в среднем по 14 на фактор.

Для общего случая n факторов и m экспертов среднее значение суммы рангов для любого фактора определится выражением

 D {3 - 10}

Теперь можно оценить степень согласованности мнений экспертов по отношению к шести факторам. Для каждого из факторов наблюдается отклонение суммы рангов, указанных экспертами, от среднего значения такой суммы. Поскольку сумма этих отклонений всегда равна нулю, для их усреднения разумно использовать квадраты значений.

В нашем случае сумма таких квадратов составит S= 64, а в общем случае эта сумма будет наибольшей только при полном совпадении мнений всех экспертов по отношению ко всем факторам:

S _max {3 - 11}

М. Кэндэллом предложен показатель согласованности или коэффициент конкордации , определяемый как

{3 - 12}

В нашем примере значение коэффициента конкордации составляет около 0.229, что при четырех экспертах и шести факторах достаточно, чтобы с вероятностью не более 0.05 считать мнения экспертов несогласованными. Дело в том, что как раз случайность ранжировок, их некоррелированность просчитывается достаточно просто. Так для нашего примера указанная вероятность соответствует сумме квадратов отклонений S= 143.3, что намного больше 64.

ЛЕКЦИЯ № 11.

Тема: Формы представления модели

Традиционными формами представления моделей являются системы уравнений в нормальной форме Коши и нелинейные дифференциальные уравнения, графы, структурные схемы. Они позволяют описывать не иерархические модели.

Нормальная форма Коши

Единообразное по форме и удобное для использования матричного аппарата математическое описание динамических систем достигается в пространстве состояний с использованием переменных состояния, т. е. уравнений в форме Коши

(1.1)

где — векторы переменных состояния, управления и выходов; — -мерное евклидово пространство; — гладкие отображения. Предполагается выполнение условия существования решений, а для большинства практических задач — их единственности. Условия существования и единственности решений выполняются, если принадлежит одному из следующих наиболее часто используемых классов функций: постоянные, кусочно-постоянные, кусочно-непрерывные, кусочно-гладкие, измеримые (локально-ограниченные), а функция — удовлетворяет условиям Коши-Липшица.

В работе [4] приводится классификация форм представления динамических моделей в терминах «вход-состояние-выход», являющихся частными случаями (1.1).

Билинейные системы

где — скалярные функции, — числовые матрицы размеров — числовая матрица размера

L-системы

L-системой называется автономная невырожденная система вида

где , причем

Здесь является коммутатором алгебры Ли соответствующего векторного поля.

Линейные системы

которые приводятся к L-системам -го порядка вида

Линейно-аналитические системы

Если — полиномы, то система называется полиномиальной [132, 141, 161].

Системы с управлением, входящим линейно (правоинвариантные, аффинные) (векторное представление)

Системы управления с функциональными коэффициентами при переменных состояния и управления (матричное представление)

В ряде работ [43, 51, 52] принимается следующее описание

в векторно-матричной записи

Переход от векторного к матричному представлению осуществляется с помощью интегрального преобразования [11]

где — матрица Якоби, найденная по из (1.12б).

Нормальная форма Коши (НФК) удобна для представления модели в алгоритмах явного типа, и позволяет широко применять богатую матричную арифметику современных пакетов программ и библиотек языков программирования.

К недостаткам данной формы представления необходимо отнести то, что в ней не сохраняется информации о топологии модели.

⇐ Предыдущая 13 14 15 16 171819 20 21 22 Следующая ⇒