И.Я. Виленкин, С.И. Шварцбурд

Равенства, тождества, уравнения, неравенства^*

В нашем журнале ранее были опубликованы статьи о множествах и о высказываниях, выражениях, переменных. Целью статей было ознакомить учителя математики, особенно учителя математики IV класса, с теми теоретическими сведениями, которые необходимы ему для правильного понимания теоретической и методической основы новой программы и нового стабильного учебника математики для учащихся IV класса. В этих статьях были в сжатом виде изложены теоретические сведения и их преломления в новом учебнике. В частности, было указано, что сведения из теории множеств и особенно из математической логики не являются предметом изучения в IV классе. Они служат своеобразной основой и прежде всего «подтекстом» учебника, содействуют развитию точного языка учащихся и дают возможность просто и логически обоснованно ввести основные математические понятия.

В этой статье мы рассмотрим, каким образом теоретико-множественный подход и опора на небольшое число первоначальных сведений из математической логики дают возможность вводить и формировать у учащихся такие важные математические понятия, как «равенство», «тождество», «уравнение» и «неравенство». При этом не весь материал, изложенный в статье, непосредственно связан с содержанием учебника IV класса. Теоретические обоснования не должны становиться достоянием учащихся ввиду их недоступности для детей. Учитель же математики должен понимать и знать теоретическую основу и методическую концепцию, которые положены в основу изучаемых в IV классе понятий.

1. Равенство числовых выражений. Возьмем два числовых выражения. Если мы соединим эти выражения знаком равенства, то получим некоторое высказывание, например: 8–3=20: 4 или 15+12=30: 2. Эти высказывания считаются истинными, если оба числовых выражения равносильны, т.е. если они имеют одно и то же числовое значение. Например, первое из написанных выше равенств – истинное высказывание, так как каждое из выражений 8–3 и 20: 4 имеет числовое значение 5. Второе равенство является ложным высказыванием, так как числовое значение выражения 15+12 равно 27, числовое значение выражения30: 2 равно 15, а 1 27.

Хорошо известны некоторые правила, позволяющие сразу устанавливать равенство некоторых числовых выражений:

1) Если в данном выражении заменить некоторое число числовым выражением, значение которого равно этому числу, то получится новое числовое выражение, равносильное данному.

Например, заменяя в числовом выражении 15+ 6 число 6 выражением 2∙ 3, получаем числовое выражение 15+2∙ 3, равносильное исходному 15+ 6 = 15+2∙ 3.

2) Если числовое выражение а равносильно числовому выражению b, а с – некоторое числовое выражение, то выражение а+ с равносильно b+ с, выражение а– с равносильно b – с и выражение ас равносильно bс. Если, кроме того, значение с отлично от нуля, то выражение а : с равносильно b : с.

Некоторые другие правила образования равносильных выражений будут рассмотрены далее.

Над числовыми равенствами, как и над любыми высказываниями, можно выполнять операции конъюнкции, дизъюнкции, импликации, отрицания. Рассмотрим некоторые примеры. Высказывание «7+4=11 и 24: 3=8» есть конъюнкция двух высказываний: «7+4=11», «24: 3=8». Оно истинно, так как истинны оба высказывания «7+4=11» и «24: 3=8». Конъюнкция же двух высказываний «8+2=15 и 9–6=3» – ложное высказывание, хотя второе входящее в него высказывание «9– 6 =3» и истинно. Дизъюнкция высказываний «7+5=11 или 7+5=12» истинное высказывание, хотя первое из высказываний «7+5=11» и ложно (напомним, что дизъюнкция высказываний «А или В» истинное высказывание, если хотя бы одно из высказываний А, В истинно). Истинна и импликация высказываний «Если истинно, что 3+2=9, то истинно, что 3+5=12». Оба высказывания «3+2=9» и «3+5=12», из которых составлена импликация, ложны, поэтому истинна их импликация.

Особо отметим, что операцией отрицания по отношению к числовому равенству «а = b» есть высказывание «а b». Например, отрицанием высказывания «8–4=15» есть высказывание «8–4 15». Первое высказывание ложно, а второе – истинно.

В статье «Высказывания, выражения, переменные» (Математика в школе. 1970. № 3) были указаны примеры упражнений и выдержки из объяснительного текста нового учебника математики IV класса, в которых фактически даны операции над высказываниями, хотя, естественно, об этом учащимся не говорят. Так, в учебнике встречаются конъюнкция и дизъюнкция высказываний, но не встречаются отрицания высказываний и лишь изредка в упражнениях употребляются высказывания вида «... если..., то...», т. е. импликации высказываний.

Естественное отрицание высказывания «а = b», т. е. высказывание «а b», в учебнике не встречается, хотя в математике оно необходимо и используется. Это объясняется тем, что введение этого высказывания наряду с введением «неравенств <, , > и » привело бы к смешению понятий. Учителю, однако, необходимо иметь в виду, что знак « » в математике употребителен и полезен.

2. Тождества. Рассмотрим высказывательную форму (т. е. предложение, в которое входят переменные) х+ у= у+ x.

Мы считаем, что переменные х и у принимают любые действительные значения (т. е. что область значений этих переменных – множество действительных чисел). Вообще говоря, высказывательная форма истинна при подстановке одних значений переменных и ложна при подстановке других значений. Однако высказывательная форма «х+ у = у+ х» оказывается истинной при подстановке любых значений переменных х и у. Такие высказывательные формы называют тождествами.

Итак, высказывательная форма называется тождеством, если она истинна при подстановке любых значений переменных. Разумеется, одна и та же высказывательная форма может быть тождеством в одной области значений переменных и не быть тождеством в иной области значений.

Например, = 2 является тождеством в области х 0, но не является тождеством во всей области действительных чисел, так как левая часть не определена при х= 0.

Следующие тождества, выражающие свойства арифметических действий, являются основными:

а) х+ 0= х;

б) х+ (–х)= 0;

в) х+ у = у+ х;

г) (х+ у)+ z = x+ (y+ z);

д) х ^.1= х;

е) х ^. =1, х 0;

ж) х∙ у = у∙ х;

з) x∙ (y∙ z) = (х∙ у)∙ z;

и) х∙ (y+z) = x∙ y+ x∙ z.

Комбинируя эти тождества с утверждениями 1) и 2) из пункта 1, получают все разнообразие тождеств, встречающихся в теории многочленов и алгебраических дробей от одного и нескольких переменных.

Из перечисленных тождеств в учебнике IV класса приводятся не все.

Тождества в) х+ у= у+х и г) (х+ у)+z = х+(у+ z) выражают переместительный (коммутативный) и сочетательный (ассоциативный) законы (или свойства) сложения.

Тождества ж) х∙ у = у∙ х и з) x∙ (y∙ z)=(x∙ y)∙ z выражают коммутативный и ассоциативный законы умножения.

Тождество и) х∙ (у+z) = x∙ y+ x∙ z выражает распределительный (дистрибутивный) закон умножения относительно сложения.

В учебнике даны также тождества а) х+ 0 = х и д) х ^.1 = х.

Не приводится в учебнике тождество б) х+ (–х)= 0, так как в программу IV класса не входят отрицательные числа (при любом х, не равном нулю, числа х и– х противоположны – одно из них положительно, а другое – отрицательно). В учебнике не нашло отражения и тождество е) при х 0, так как понятие о числе, обратном данному, вводится лишь в V классе при изучении обыкновенных дробей.

Вместе с тем в учебнике IV класса приводится ряд тождеств, которые не считаются основными и могут быть выведены из основных тождеств: а) – и), – это тождества, опирающиеся на основные свойства равенств и на определения арифметических действий. Перечислим тождества, которые приводятся в учебнике и не считаются основными:

1) а – 0 = а; 2) а – а = 0; 3)(а – b)∙ с = а∙ с – b∙ с; 4) a: 1= a; 5) а : а = 1 при ; 6) 0: а = 0 при а 0; 7) а ^.1= 1 ^.а = а; 8) а ^.0 = 0 ^.а = 0.

Тождества 1) и 2) являются следствием из определения разности двух чисел. Разностью двух чисел называется число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое. Поэтому истинно 1), ведь для проверки этого тождества надо проверить истинность тождества a + 0 = а. Но это есть тождество а) из списка основных. Тождество 2) а – а = 0можно доказать так. По определению разности из 2) вытекает, что 0+a должно быть равно а. Но 0+а=a+0 на основании коммутативности сложения и а+0=а по основному тождеству а), следовательно, 2) – истинно. Тождество 3) (а–b)с=ас–bс получается из основного тождества и), если применить его для суммы двух чисел а и –b. Таким образом, для оправдания тождества 3), вообще говоря, нужны отрицательные числа. Однако в учебнике оно приводится лишь для тех случаев, когда а b. Тождества 4), 5) и 6) получаются из определения частного и из основных тождеств. Тождества 7) и 8) являются следствием из коммутативности умножения.

В учебнике IV класса все тождества «проверяются» индуктивно. Вместо букв берут числовые значения и проверяют, удовлетворяют ли они тождеству. Выполнив проверку для нескольких случаев, дети считают их справедливыми для всяких числовых значений букв. При этом каждый раз в случае расширения класса чисел вновь проводится проверка всех законов арифметических действий. В IV классе такая проверка проводится один раз при изучении арифметических действий над натуральными числами и второй раз при изучении действий над десятичными дробями. В V классе проводятся еще две проверки законов – при введении отрицательных чисел и при введении обыкновенных дробей. Далее проверка должна проводиться еще два раза: для действительных чисел и при введении комплексных чисел.

3. Уравнения. Рассмотрим высказывательную форму 4x+17=25. Мы уже знаем, что если подставить вместо переменной х какое-нибудь из ее значений, то в одних случаях получится истинное высказывание, а в других – ложное. Например, при х=2– получаем ложное высказывание 4^.x+17=25, при х=2 – истинное высказывание 4^.2+17=25. В связи с этим возникает задача: среди всех значений переменной выбрать те, при подстановке которых получается истинное равенство. В этом случае заданная высказывательная форма называется уравнением.

Итак, уравнением называется высказывательная форма, имеющая вид равенства А(х, у, .... z) =В(х, у..... z), относительно которого поставлена задача: найти все значения переменной (или переменных), при подстановке которых получается истинное высказывание.

Каждое значение переменной (или переменных), при котором получается истинное равенство, называется корнем уравнения или, иначе, решением уравнения. Таким образом, решить уравнение – это значит найти множество всех его решений.

Уравнение может иметь одно, два, несколько и бесконечное множество корней, а может иметь и пустое множество корней. Например, уравнение 6х –11=31 имеет один корень х = 7, уравнение х²– 6х+ 5= 0 – два корня 1 и 5, уравнение (х–1)(х–2)(х–3)(х–4)(х–5)=0– пять корней 1, 2, 3, 4, 5. Уравнение х²+16=0 не имеет ни одного (действительного) корня. А уравнение Зх+2х=5х имеет бесконечное множество корней, так как при любом действительном значении х равенство 3х+2х=5х истинно. Повторим, что если относительно равенства Зх+2х=5х ставится вопрос: найти все значения переменной х, при которых это равенство истинно, то оно является уравнением. Тот факт, что это равенство истинно для всех значений х, т. е. является, как мы говорили выше, тождеством, ничего не меняет – просто множество корней этого уравнения совпадает с множеством всех действительных чисел. Вот если бы было сказано «докажите, что для всех значений х выполняется равенство Зх+2х=5х», то речь шла бы не о решении уравнения, а о доказательстве тождества. Итак, одно и то же равенство, содержащее переменные, может рассматриваться и как уравнение и как тождество, в зависимости от того, какая задача ставится – найти все значения переменной, при которых это равенство истинно (решить уравнение), или доказать, что оно истинно для всех значений переменной, принадлежащих данному множеству (доказать тождество).

Как и с каждой высказывательной формой, с уравнением связаны два множества – множество всех допустимых значений переменной и множество решений уравнения. Второе множество является подмножеством первого. Например, для уравнения множество допустимых значений переменной состоит из всех действительных чисел, кроме чисел 5 и –5 (при этих значениях переменной знаменатели дробей обращаются в нуль). Множество же корней состоит из двух чисел 3 и 4.

4. Равносильные у р а в н е н и я. Два уравнения называются равносильными, если они имеют одно и то же множество корней (в частности, если оба уравнения имеют пустое множество корней).

Уравнения 2х=8и Зх+ =12+ равносильны друг другу.

Может случиться, что одно уравнение оказывается равносильным не одному уравнению, а дизъюнкции двух или нескольких уравнений. Например, множество корней уравнения х²–6х+8=0состоит из чисел 2 и 4. Таково же множество корней дизъюнкции двух уравнений 2х+ 6 = 10 и 3x+ 6 = 18 – корнем первого из них является число 2, а второго – число 4. Поэтому высказывательная форма «2x+ 6 = 10 или Зх+ 6 = 18» истинна при х = 2 или при х= 4.

5. Решение уравнений. Понятие равносильности уравнений играет важную роль при отыскании множества корней уравнения, или, как говорят, при решении уравнений. Обычно, чтобы решить уравнение, его заменяют равносильным ему уравнением (или дизъюнкцией уравнений), потом снова заменяют равносильным уравнением до тех пор, пока не придут к уравнению вида х = а или к дизъюнкции уравнений такого вида. При этом опираются на утверждения, которые мы приводим без доказательства.

а) Если к обеим частям уравнения прибавить одно и то же выражение, определенное для всех допустимых значении переменной, то получится уравнение, равносильное исходному.

б) Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение, определенное для всех допустимых значений переменной и не обращающееся в нуль ни при одном таком значении, то получится уравнение, равносильное исходному.

в) Если выражения определены на некотором множестве М, то на этом множестве уравнение равносильно дизъюнкции уравнений .

Покажем на примере, как решаются уравнения с помощью этих утверждений. Пусть надо решить уравнение

–3х+5=3х–3. (1)

Сначала прибавим к обеим частям уравнения выражение с переменной –Зх+ 3 (по утверждению а), это приводит к равносильному уравнению). После приведения подобных членов получаем уравнение х²– 6х+ 8 = 0. Разложим левую часть на множители, получим уравнение (х–2)∙ (х–4)= 0. По утверждению в), уравнение (1) равносильно дизъюнкции уравнений х– 2 = 0, х – 4 = 0. Прибавим к обеим частям первого уравнения число 2. Получим х = 2. Точно так же из второго уравнения находим х = 4. Таким образом, мы нашли два корня уравнения: 2 и 4.

Наряду с решением уравнений путем перехода к равносильным уравнениям на основании утверждений а) – в) применяются иные методы решения уравнений.

Так, в учебнике «Математика. 4 класс» уравнения решаются на основании определения и свойств арифметических действий. Например, чтобы решить уравнение х+6=10, пользуемся определением разности и получаем, что х+6=10 может быть истинно лишь в случае, когда истинно равенство х=10–6, т. е. х = 4. Число 4 есть решение уравнения.

Более сложные уравнения решаются «по цепочке». Например, чтобы решить уравнение 4(Зх+1)–5=23, по определению арифметических действий

4(3х+1)= 28;

3^.2+1= 28: 4;

Зх+1= 7;

Зх= 7–1;

Зх= 6

и значит х = 6: 3; х = 2. Число 2 – корень исходного уравнения.

Однако метод использования арифметических действий не годится, если переменная находится в обеих частях уравнения, например, если уравнение имеет вид 8х=Зх+15. Здесь нельзя сослаться на определение суммы и сказать, что слагаемое 15 есть разность суммы 8х и второго слагаемого Зх, т. е. что

8х–Зх=15. Дело в том, что здесь х не число, а переменная, а уравнение – это высказывательная форма. Равенство 8х–Зх=15 истинно лишь в случае, когда истинно равенство 8х=3х+15, т. е. когда х – корень заданного уравнения.

Допустимо здесь следующее рассуждение. Предположим, что корень уравнения найден. Тогда при подстановке этого корня вместо переменной х получится истинное равенство. Теперь 8x=3х+15 стало истинным равенством, х обозначает здесь уже не переменную, а только то ее значение, при котором равенство истинно. Но к обеим частям истинного равенства можно прибавить, не нарушив его, одно и то же число –Зх (это число, а не выражение, так как мы условились считать, что х имеет определенное значение). Итак, 8х–Зх=15, 5х = 15, а поэтому х = 3. Мы доказали, таким образом, что если х – корень уравнения 8х=Зх+15, то х = 3. Осталось проверить, что х = 3 действительно является корнем данного уравнения. В результате подстановки получаем верное равенство 8^.3=3^.3+15. Итак, единственный корень уравнения 8х=Зх+15 равен 3. При таком подходе к решению уравнений проверка корней становится неотъемлемой частью решения. (Впрочем, всегда полезно проверить найденные корни уравнения, чтобы узнать, не сделана ли какая-нибудь ошибка при решении). Отметим, что действия, выполняемые при решении уравнений, по сути дела не зависят от того, решаем ли мы его на основании понятия равносильности, на основании свойств арифметических действий или на основании предположения, что х – корень уравнения (лишь в последнем случае обязательно провести проверку корней).

Таким образом, мы сейчас рассмотрели три разных приема решения уравнений: опирающийся на использование теорем о равносильности уравнений; опирающийся на свойства арифметических действий и предполагающий, что х – это искомое решение и тогда данное уравнение – истинное равенство двух выражений. Над равными выражениями производят операции (прибавление к обеим частям истинного равенства одного и того же числа, умножение обеих частей истинного равенства на одно и то же число и т. д.), и таким путем получают решение. Затем проводят проверку подстановкой в данное уравнение полученного числа в качестве предполагаемого корня уравнения.

Каждый из способов решения уравнения имеет свои достоинства и недостатки. Так, первый способ, использующий понятие о равносильности уравнений, логически строен, не требует проверки решения уравнений, дает возможность разобраться в решении сложных уравнений. Его использование в старших классах обязательно. В младших же классах он недоступен учащимся. Кстати, укажем, что некоторые методисты признают лишь решение уравнений на основе теорем о равносильности уравнений. Поэтому они считают, что раннее введение метода уравнений в курсе математики невозможно (так как без теории равносильности не может быть строгого решения уравнений).

Третий способ решения уравнений также логически оправдан. Его использовал проф. В. Л. Гончаров в «Начальной алгебре» – очень интересном учебнике (совместно с задачником).

В стабильном учебнике «Математика. 4 класс» рассматривается второй метод решения уравнений, а именно, способ, опирающийся на свойства арифметических действий. При этом даются лишь такие уравнения, которые содержат переменную только в одной части. К такого вида уравнениям учащиеся должны приходить и в ходе решения задач из учебника IV класса. В этих случаях не приходится вычитать из обеих частей уравнения выражения, содержащие переменные.

Хотя теоретическое обоснование способа решения уравнений, используемое в IV классе, отличается от применяемого в старших классах, ход решения остается тем же самым. Поэтому, когда учащиеся познакомятся с теорией равносильности, им не придется переучиваться.

6. Ч и с л о в ы е неравенства. Множество всех действительных чисел является объединением трех непересекающихся подмножеств: множества положительных чисел, множества отрицательных чисел и множества, состоящего из одного элемента – нуля. При этом сумма и произведение двух положительных чисел – положительные числа.

Возьмем два действительных числа х и у и рассмотрим их разность х–у. Возможны три случая:

а) разность х – у положительна;

б) разность х – у отрицательна;

в) разность х – у равна нулю.

В первом случае говорят, что х больше у, и пишут х > у, во втором — х меньше у, и пишут х < у. Третий же случай возможен лишь при условии, что

х = у.

Итак, для любых двух чисел х и у выполняется одно и только одно из соотношений: , х < у и х = у. Следовательно, если х у, то либо х > у, либо х < у (на языке математической логики это означает, что высказывание вида «х у» является дизъюнкцией высказываний видов «х > у» и «x < у»).

Из данного выше определения отношений х > у и х < у сразу вытекает, что высказывания «х > 0» и «х – положительное число» равносильны друг другу. Равносильны друг другу и высказывания «х < 0» и «х – отрицательное число».

Отношение «х > у»обладает следующими свойствами:

а) Если х, у, z – любые действительные числа, такие, что х > у и у > z, то

х > z.

б) Для любых действительных чисел х, у, z, таких, что х > у, справедливо

х + z > у + z.

в) Для любых действительных чисел х и у, таких, что х > у и любого положительного числа z, истинно высказывание xz > yz.

Эти свойства непосредственно вытекают из определения соотношения х > у и свойств действий над числами. Например, чтобы доказать свойство а), заметим, что неравенства х > у и у> z означают положительность разностей х–у и у – z. Но х – 2= (х–у)+(у–z), а сумма двух положительных чисел положительна. Значит, х – z > 0 и х > z. Свойство б) сразу вытекает из того, что (х+z) – (у+z) = = х – у, а свойство в) из того, что xz – yz = ( х– у)z, а произведение двух положительных чисел положительно.

Точно так же доказываются следующие высказывания:

г) если х > у и z > t, то х + z > y + t;

д) если х > у и z < 0, то xz < yz;

е) если х > у и z < t, то х – z > y – t;

ж) если х > у, у > 0и z > t, t > 0, то xz > yt;

з) если х > у и п – любое натуральное число, то х^п> у^п;

и) если х > у, у > 0, то

Аналогичными свойствами обладает отношение х < у.

В учебнике IV класса никакие операции над неравенствами не выполняются. Выполняются лишь упражнения типа: проверить истинность неравенства, установить, какие числа являются решениями неравенства, и сравнить числовые значения выражений с помощью знака неравенства. Лишь в упражнениях повышенной трудности даны такие, при решении которых полезно вычесть из обеих частей неравенства по одному и тому же числу или разделить обе части неравенства на одно и то же число. Таковы упражнения 1302 (а, б, в, е); 1303 (а); 1304 (в); 1306 (в, г). Однако не предполагается, что учащиеся их будут так решать. В пособии «Математика в IV классе. В помощь учителю» даны лишь ответы. Предполагается, что учащиеся выполнят эти упражнения, догадываясь, какие из чисел удовлетворяют данным неравенствам. Так, например, в упражнении «Найдите все натуральные решения неравенства х+х 2» учащиеся подставляют вместо х натуральные числа 1, 2, 3 и т. д. Сразу видно, что неравенству удовлетворяет лишь число 1, уже при значении 2 левая часть больше правой. Точно так же при решении в натуральных числах неравенства 200+х< 209(1303(а)), учащиеся ищут ответы, лишь подставляя натуральные значения вместо переменной х. Так, если подставлять вместо х натуральные числа 1, 2, 3, 4 и т. д., то можно заметить, что заданному неравенству удовлетворяют лишь значения 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 и 8. Значения большие 8 не удовлетворяют неравенству.

7. О т н о ш е н и я , . Д в о й н ы е н е равенства.В учебнике математики IV класса рассматриваются также отношения «а b», «а b» и двойные неравенства а < b < с, a b < с, a < b c и а b с. Определим смысл этих обозначений. Каждое из записанных неравенств есть высказывательная форма. При подстановке одних значений переменных получаются истинные высказывания, а при подстановке других – ложные. Высказывательная форма «а b» есть дизъюнкция двух высказывательных форм «а < b» и «а = b». Дизъюнкция высказываний «3 5» истинна, так как истинно высказывание « ». Точно так же истинна дизъюнкция высказываний 5 5», так как одно из двух высказываний «5 < 5» и «5 = 5» – истинно, а именно, истинно высказывание «5 = 5». Неравенство «8 5» ложно, так как ложны оба высказывания «8< 5» и «8=5». Высказывательную форму «а b» в математике читают так: «а не превосходит b» или «а не больше, чем b», высказывательную форму «а b» читают так: «а не меньше, чем b». Двойное неравенство а < b < с является конъюнкцией высказывательных форм «а < b» и «b < с». Двойное неравенство истинно лишь в том случае, если при подстановке вместо букв числовых значений получается два истинных неравенства вида «а < b» и «b < с». Например, неравенство « » истинно, так как истинны оба неравенства «4 < 10» и «10 < 18». Неравенство же «4 < 10 < 7» ложно, так как хотя и истинно неравенство « », неравенство «10 < 7» ложно. Аналогичный смысл получают двойные неравенства. Все сказанное выше о неравенствах между числами без существенных изменений переносится на неравенства между числовыми выражениями. Например, неравенство 9 – 5 < 8 + 4 истинно, так как истинно неравенство 4 < 12, где 4 – числовое значение выражения 9 – 5, а 12 – числовое значение выражения 8 + 4. Отношения , , а также двойные неравенства включены в новый учебник IV класса не как операции над высказываниями. Об этом ученикам, разумеется, говорить невозможно. Для выяснения истинности или ложности высказывания учащиеся могут пользоваться лишь одним приемом – подстановкой натуральных значений вместо переменной. Для того чтобы не сделать эту работу учащихся слишком утомительной или невыполнимой, упражнения специально подобраны.

Так, например, в упражнении 286 (а) 21< х < 27 учащиеся замечают, что вместо х можно подставить лишь натуральное число, большее 21, т. е. 22, 23 и т. д. Но вместе с тем подбираемые числа не должны быть большими или равными 27. Поэтому множество решений неравенства 21 < х < 27 в натуральных числах есть множество {22, 23, 24, 25, 26}.

При выполнении упражнения 1304 (б) из пункта «Задачи повышенной трудности» 20 < 4х+ 4 40 учащиеся ищут ответы, лишь подставляя натуральные значения вместо переменной х. При подстановке вместо х натуральных чисел 1, 2, 3, 4 и т. д. можно заметить, что неравенству удовлетворяют лишь значения 5, 6, 7, 8 и 9. Значения меньшие 5 и значения большие 9 не удовлетворяют неравенству, так как при этом не будет выполняться одно из неравенств (< или ).

8. Доказательство и решение неравенств. Рассмотрим, наконец, неравенства с переменными, например: 4х+1< 7х+2, х²+ 4х + 3 > 0и т. д.

Относительно таких неравенств тоже могут быть поставлены две задачи:

а) Доказать, что данное неравенство выполняется для всех значений переменной (или переменных), принадлежащих данному множеству.

б) Найти все значения переменной (или переменных), при которых истинно данное неравенство.

В первом случае говорят, что неравенство надо доказать, а во втором —что его надо решить. Множество всех значений переменной, при которых истинно данное неравенство, называется множеством его решений. Решить неравенство – это значит найти множество его решений.

Разумеется, множество решений неравенства зависит от множества значений переменной. Например, если допускаются лишь натуральные значения переменной и значение, равное нулю (так обстоит дело, например, в начале IV класса), то множество решений неравенства х < 6 состоит из чисел 0, 1, 2, 3, 4, 5. Если же рассматриваются все действительный числа, то множество решений этого неравенства бесконечно – ему принадлежат, например, числа –17; –3, 2; 0; 1; 0, 01; 1, 001; 2, 542 и т. д.

При решении неравенств используется понятие о равносильности неравенств. Два неравенства называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений. Имеют место следующие утверждения.

а) Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же выражение, определенное для всех допустимых значении переменных, то получится неравенство, равносильное данному.

б) Если обе части неравенства умножить на одно и то же положительное число, то получится неравенство, равносильное данному.

При решении неравенств множество решений часто изображают геометрически. Рассмотрим некоторые простейшие неравенства.

Множество решений неравенства х а состоит из всех точек числовой оси, расположенных слева от а, и из самого числа а (рис. 1).

Рис. 1

Множество же решений неравенства х < а состоит из точек, расположенных слева от числа а, но само число а в это множество не входит. Аналогичный вид имеет множество решений неравенства х а (рис. 2).

Рис. 2

Если эти неравенства решаются в множестве, состоящем из натуральных чисел и нуля, то множества решений неравенств х а и х < а конечны, а множества решений неравенств х а и х > а бесконечны. При этом множества решений неравенств х а и х < а отличаются лишь одним числом (числом а).

Теперь рассмотрим двойные неравенства. Множество решений неравенства а х b состоит из всех точек числовой оси, лежащих между числами а и b, причем точки а и b включаются в это множество (рис. 3). Это множество называют отрезком, а точки а и b – концами отрезка.

Рис. 3

А множество решений неравенства а < х < b состоит из всех точек числовой оси, лежащих между а и b, причем сами точки a и b не включаются в это множество (рис. 4). Такое множество называют промежутком с концами а и b.

Рис. 4

На рисунке 5 изображены множества решений неравенств a x< bи a< x b.

Рис. 5

Если неравенства решаются в множестве, состоящем из натуральных чисел и нуля, то может случиться, что различные неравенства имеют одно и то же множество решений. Например, для четырех неравенств 3 x 7, 3 x < 8,

2< х 7, 2 < x < 8 множеством решений является множество {3, 4, 5, 6, 7} (рис. 6).

< 8

2 <

2 < x < 8

Рис. 6

При переходе же к множеству всех действительных чисел эти четыре неравенства имеют разные множества решений.

Учебное издание

⇐ Предыдущая 3 4 5 6 7 8 9 10 1112