Первые уроки систематического курса геометрии

Особые трудности вызывают первые уроки систематического курса планиметрии. Появляется новый предмет с большим количеством новых понятий, терминов, новой символики, новым содержанием задачного материала, резким повышением уровня строгости логических рассуждений. Основное учебное назначение первых уроков – сформировать у учащихся первоначальное представление о стиле мышления в геометрии, о характере геометрических доказательств и положить начало выработке соответствующих умений. Учащиеся должны понимать, что все утверждения, не являющиеся аксиомами, необходимо доказывать, не ссылаясь на очевидность. Конечно, сущность аксиоматического метода объяснять семиклассникам рано. По мере изучения геометрии они постепенно будут проникаться идеей ее дедуктивного построения.

Методика первых уроков, первых разделов геометрии предполагает постепенный переход от конкретного к общему, постоянное обращение к наглядности, к окружающей действительности. С самых первых шагов изучения геометрии учителю необходимо иллюстрировать свой рассказ, текст учебника, записи на доске и в тетрадях рисунками. Итак, логика и наглядность. Что мы имеем в виду, говоря о первых уроках геометрии? Это введение в геометрию, первые понятия, аксиомы (не обязательно сразу называть аксиомой), первые теоремы, первые задачи.

Введение в геометрию. Надо сказать, что начальная школа в настоящее время работает по учебникам достаточно широкого спектра, которые предусматривают определенное знакомство учащихся с элементами геометрических знаний, умений и представлений учащихся. Вторая ступень тоже вносит определенный вклад в геометрические представления учащихся. Поэтому учителю математики, пришедшему в 7-й класс, следует все это учитывать.

Итак, первый урок. Что важно сказать учащимся?

· Что такое геометрия?

· Как она появилась?

· Как развивалась?

· Чем будем заниматься?

У каждого учителя свои слова, свои эмоции.

Понятия. Сравним учебники геометрии А.В. Погорелова [3.9] и Л.С. Атанасяна [3.3].

Геометрические понятия точка и прямая, с которых начинается изучение систематического курса планиметрии, уже знакомы учащимся из пропедевтического курса.

А.В. Погорелов.Геометрия 7-9	Л.С. Атанасян.Геометрия 7-9
Автор называет их основными фигурами геометрии.	Включает в текст без всякого указания (во введении – в числе других).
Вопрос о взаимном расположении прямых и точек на плоскости рассматривается сразу после рассмотрения основных понятий.
Для этого рассматриваются отношение принадлежности и отношение порядка, а также величины: длина отрезка и градусная мера угла.	Отношение принадлежности, лежать между, понятие наложения.
Раскрывает свойства основных понятий в аксиомах (сначала не объявляя, что это аксиомы).	Включает в текст.

На первых уроках вводятся такие понятия, как «отрезок», «луч» (полупрямая), «угол», которым дается формально-логическое определение. Формирование умения определять понятие осуществляется на протяжении всего курса обучения, так как в каждой теме появляются новые особенности и трудности.

Когда и как учащиеся знакомятся с тем, что такое определение понятия, аксиома, теорема?

А.В. Погорелов.Геометрия 7-9	Л.С. Атанасян.Геометрия 7-9
С. 15. Конец первого параграфа «основные свойства простейших геометрических фигур». Дать определение чему-либо – значит объяснить, что это такое.	С.43.Четвертый параграф «Задачи на построение». Предложение, в котором разъясняется смысл того или иного выражения или названия, называется определением (определение окружности).
С. 14. Пункт «Аксиомы». Утверждения, содержащиеся в формулировках основных свойств простейших фигур, не доказываются и называются аксиомами.	С. 59. Об аксиомах геометрии. Некоторые утверждения о свойствах геометрических фигур принимаются в качестве исходных положений, на основе которых доказываются далее теоремы и строится вся геометрия. Такие исходные положения называются аксиомами.
Вводятся аксиомы как основные свойства фигур и отношений.	Некоторые аксиомы были сформулированы в первой главе (хотя не назывались аксиомами).
Рекомендуемая работа над аксиомой: 1) иллюстрация примерами из жизни, на моделях; 2) формулировка аксиомы; 3) иллюстрация аксиомы на рисунках; 4) краткая (символическая) запись; 5) использование в рассуждениях.	–
Теорема. С. 13. Правильность утверждения о свойстве той или иной геометрической фигуры устанавливается путем рассуждения. Это рассуждение называется доказательством. А само утверждение, которое доказывается, называется теоремой. С.14. Формулировка теоремы обычно состоит из двух частей. В одной части говорится о том, что дано. Эта часть называется условием теоремы. В другой части говорится о том, что должно быть доказано. Эта часть называется заключением теоремы. Сразу дается пример рассуждения.	С. 29. Первый признак равенства треугольников (уже вторая теорема, первая – о вертикальных углах без термина «теорема»). В математике каждое утверждение, справедливость которого устанавливается путем рассуждений, называется теоремой, а сами рассуждения называются доказательством теоремы. С. 63. Во всякой теореме различают две части: условие и заключение. Условие теоремы – это то, что дано, а заключение – то, что требуется доказать.
Метод доказательства от противного, с. 24. (на примере доказательства теоремы «Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну»).	С. 63 (на примере доказательства теоремы «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны»).
Обратная теорема, с. 32 (дается разъяснение, что такое обратная теорема). Теорема (свойство углов равнобедренного треугольника). Обратная теорема (признак равнобедренного треугольника).	С. 63. Три признака параллельности двух прямых (доказаны ранее). Теоремы, обратные им — на странице 63.

На первых уроках происходит обучение учащихся доказательствам. В числе первых методов дается метод доказательства от противного. В процессе доказательства этим методом необходимо выделить все его этапы:

1) предположить, что истинно предложение, противоположное заключению теоремы;

2) в результате рассуждений получить противоречие известному истинному предложению или тому, что дано;

3) сделать вывод о том, что предположение неверно;

4) сделать общий вывод [2.6, с.261].

Учитель должен знать, что в рассуждении методом от противного используется логический закон «исключенного третьего» (напр., две прямые пересекаются или не пересекаются, третьего случая быть не может).

Задачи.

В усвоении первых понятий, аксиом, теорем большую роль играют практические задания и задачи, сопровождаемые рисунками.

Практические задания [3.9, с.16]:

а) Отметить точки, принадлежащие прямой и не принадлежащие ей;

б) Проверить, будут ли названные точки лежать на данной прямой (или прямая проходит через эти точки). Наиболее трудный вариант представлен на рис. 1.

 

Рис. 1 Рис. 2

 

в) Пересекаются ли прямые a и c на рис. 2?

г) Построить прямые, пересекающиеся в данной точке.

В систему упражнений целесообразно включать предложения с пропущенными словами. Например: прямая а … через точку А; точка В … прямой b; прямые a и b … в точке О и т.п.

Продолжим сравнение учебников, анализируя задачи на доказательство и на построение.

А.В. Погорелов.Геометрия 7-9	Л.С. Атанасян.Геометрия 7-9
Обучение рассуждению осуществляется посредством задач на доказательство, которые включены в текст учебного материала (с. 4, 6). Это задания типа: «Объясните ответ».	В тексте учебного материала задач нет, среди предложенного набора задач есть задачи с решением (с. 17, 67).
С. 58. Что такое задача на построение (не выделены этапы). Основные задачи на построение. С. 61. Метод геометрических мест.	С. 43. Понятие задачи на построение. Основные задачи. С. 95. Схема решения задачи на построение.

 

Следует помнить о различных функциях задач: многие факты (интересные и полезные для дальнейшего решения) мы получаем в процессе решения задач.

Вопрос о взаимном расположении прямых изучается одним из первых в систематическом курсе планиметрии. И это не случайно. Параллельность и перпендикулярность на плоскости и в пространстве – один из важнейших вопросов курса геометрии, так как без знания этих отношений невозможно изучение свойств фигур, познание окружающего мира. Именно при изучении параллельности вводится новый метод доказательства (косвенное доказательство – от противного), рассматривается история геометрии как науки. Можно привести примеры неевклидовых геометрий.

В имеющейся учебно-методической литературе по геометрии представлена различная последовательность изучения разделов о параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости. Какова бы ни была последовательность изучения, логическая структура раздела должна содержать:

· определение,

· существование (построение),

· свойства,

· признаки,

· применение к решению задач.

Большое значение для последовательности изучения разделов, а особенно для решения задач, имеют вопросы взаимосвязи параллельности и перпендикулярности. Взаимосвязь может быть раскрыта в процессе решения следующих задач на доказательство.

1. Доказать, что два перпендикуляра к одной и той же прямой параллельны.

2. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к данной прямой, то другая также перпендикулярна к этой прямой.

В учебнике Л.С. Атанасяна параллельность двух перпендикуляров к прямой на плоскости устанавливается уже в одном из первых пунктов учебника (с. 23) на основе перегибания рисунка. Этот факт не выделен в качестве теоремы существования параллельных прямых. Однако он используется для доказательства признака параллельности прямых при условии равенства накрест лежащих углов (с. 55-56). Поэтому учителю следует аккуратно обосновывать принадлежность трех точек одной прямой (в тексте учебника это точки H, O, H₁), обратить внимание на неполноту доказательства (согласно методу полной индукции нет третьего случая – для тупых накрест лежащих углов), нет внешних накрест лежащих углов.

Задание № 3 для самостоятельной работы.

1. Проведите сравнительный анализ последовательности изучения разделов о параллельности и перпендикулярности прямых на плоскости в различных школьных учебниках.

2. Докажите, что геометрия – дедуктивная наука, используя следующие утверждения: «аксиоматический метод – метод (способ) построения научной теории», «построение какой-либо дисциплины аксиоматическим методом называют дедуктивным».

Некоторые методические рекомендации к первым урокам геометрии

1. Надо учитывать, что вначале учащиеся, побуждаемые обосновывать то, что и «так видно», и не имеющие достаточного опыта в логических рассуждениях, будут испытывать определенные трудности. Для убеждения учащихся учителю целесообразно показать геометрические иллюзии (рис. 3, 4а и 4б), примеры объяснений, доказательств.

2. Давая образцы правильных рассуждений, не следует сразу же предъявлять слишком высокие требования к ответам учащихся. Необходима постоянная помощь учителя.

3. Для того чтобы облегчить учащимся запоминание формулировок, целесообразно заготовить таблицы с текстами аксиом, определений и вывешивать их по мере надобности, а также использовать тетради с печатной основой.

4. Необходимо обратить внимание на выяснение смысла и отработку специфических речевых оборотов, таких как «одна и только одна», «любые две», «найдется» и т.д., используемых в формулировках аксиом.

5. Следует иметь в виду, что аксиоматики адресованы учителю (в первую очередь) и любознательному ученику на завершающем этапе изучения геометрии.

6. Не следует забывать, что в основе преподавания геометрии лежат логика, наглядность и интуиция.

 

а) Какой отрезок длиннее? Рис. 3   б) 65=64? Рис. 4а

Рис. 4б

 

Таким образом, оптимальное соотношение интуитивно-наглядного и логического в преподавании, необходимость построения дедуктивной теории и формирование соответствующего уровня логического мышления, развитие пространственного воображения, современные научные знания и возможности учащихся в их усвоении – проблемы школьного курса геометрии.

Список литературы

1. Нормативные документы:

1.1. Программы общеобразовательных учреждений. Геометрия. 7-9 классы /сост. Т.А. Бурмистрова. – М.: Просвещение, 2009.

1.2. www.edu.ru – Российское образование. Федеральный портал. Государственный образовательный стандарт основного общего образования по математике.

2. Методики:

2.1. Виноградова Л.В. Методика преподавания математики в средней школе / Л.В. Виноградова. – Ростов н/Д: Феникс, 2005.

2.2. Методика и технология обучения математике. Курс лекций / под ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подходовой. – М.: Дрофа, 2005.

2.3. Методика обучения геометрии: учеб. пособие для студентов высш. пед. учеб. заведений / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; под ред. В.А. Гусева. – М.: Академия, 2004.

2.4. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы / под ред. А.И. Фетисова. – М.: Просвещение, 1967.

2.5. Методика преподавания математики в средней школе. Частные методики / Ю.М. Колягин и др. – М.: Просвещение, 1977. – С. 146 – 188.

2.6. Методика преподавания математики в средней школе. Частная методика / сост. В.И. Мишин. – М.: Просвещение, 1987. – Гл. 12, 16.

3. Учебники и учебные пособия для учащихся:

3.1. Александров А.Д. Геометрия: учеб. для 7-9 кл. /А.Д. Александров, А.Л. Вернер, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2008.

3.2. Бевз Г.П. Геометрия: учеб. для 7-11 кл. общеобразоват. учреждений / Г.П. Бевз, В.Г. Бевз, Н.Г. Владимирова. – 2-е изд. – М.: Просвещение, 1994.

3.3.Геометрия 7 – 9: учеб. для общеобразоват. учреждений / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др. – 15-е изд. – М.: Просвещение, 2005.

3.4. Дышинский Е.А. Геометрия треугольника и окружности: Факультативный курс по математике для уч-ся 10 – 11 классов / Е.А. Дышинский; Перм. гос. пед. ин-т. – Пермь, 1993.

3.5. Киселев А.П. Геометрия: Планиметрия. 7-9 кл.: учебник и задачник / А.П. Киселев, Н.А. Рыбкин. – М.: Дрофа, 1995.

3.6. Клопский В.М. Геометрия: учеб. пособие для 9-10 кл. сред. шк. / В.М. Клопский, З.А. Скопец, М.И. Ягодовский; под ред. З.А. Скопеца. – М.: Просвещение, 1983.

3.7. Колмогоров А.Н. Геометрия: учеб. пособие для 6-8 кл. сред. школы / А.Н. Колмогоров, А.Ф. Семенович, Р.С. Черкасов; под ред. А.Н. Колмогорова. – М.: Просвещение, 1981.

3.8. Никитин Н.Н. Геометрия: учеб. для 6-8 классов / Н.Н. Никитин. – М.: Просвещение, 1970.

3.9. Погорелов А.В. Геометрия: учеб. для 7 – 9 кл. общеобразоват. учреждений / А.В. Погорелов. – 5-е изд. – М.: Просвещение, 2004.

3.10. Шарыгин И.Ф. Геометрия. 7-9 классы: учеб. для общеобразоват. учеб. заведений /И.Ф. Шарыгин. – М.: Дрофа, 2002.

4. Пособия для учителя:

4.1. Вернер А.Л. Геометрия: кн. для учителя: метод. рекомендации к учеб. 7-9 кл. /А.Л. Вернер, Л.П. Евстафьева, В.И. Рыжик. – М.: Просвещение, 2008.

4.2. Изучение геометрии в 7, 8, 9 классах: метод. рекомендации: кн. для учителя/ [Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, Ю.А. Глазков и др.]. – М.: Просвещение, 2008.

4.3. Карнацевич Л.С. Изучение геометрии в 6-м классе: Из опыта работы / Л.С. Карнацевич, А.И. Грузин; под ред. И.Ф. Тесленко. – М.: Просвещение, 1983.

4.4. Мельникова Н.Б. Геометрия в 7 классе: пособие для учителей / Н.Б. Мельникова, Т.М. Мищенко, Л.Ю. Чернышева. – М.: Просвещение, 1984.

5. Периодическая печать («Квант», «Математика в школе», «Математика» – приложение к газете «1-е сентября»):

5.1.Александров А.Д. Диалектика геометрии / А.Д.Александров//Математика в школе. – 1986. – №1.

5.2.Александров А.Д. О геометрии / А.Д.Александров // Математика в школе. – 1980. – № 3.

5.3. Перельман Я.И. Как сделать изучение геометрии интересным и жизненным? /Я.И. Перельман // Математика в школе. – 2008. – № 3. – С. 71.

5.4. Рыжик В.И. Геометрия и практика / В.И. Рыжик // Математика в школе. – 2006. – № 6. – С. 9.

5.5. Саранцев Г.И. Перед встречей с доказательством / Г.И. Саранцев // Математика в школе. – 2004. – № 9. – С. 41.

5.6.Смилга В. Как начиналась геометрия /В. Смилга // Квант. – 1992. – № 2. – С. 11.

Методические рекомендации для организации самостоятельной работы студентов по теме «Изучение геометрии в основной школе»

1. Изучите стандарты основного общего образования, программу и учебники по геометрии для основной школы.

2. Подготовьте материал для исторической справки (с презентацией) о вкладе Фалеса Милетского, Пифагора, Платона, Евклида в развитие геометрии [5.6].

3. Выполните задания №№ 1 – 3 (в тексте лекции) для самостоятельной работы.

Индивидуальные задания:

1. Подготовьте вводное слово – введение в геометрию.

2. Разработайте методику формирования понятий: а) точка и прямая; б) угол.

3. Разработайте методику изучения основного свойства [3.9, с. 4 – 13]:

а) I; б) II; в) III; г) IV; д) V; е) VI; ж) VII; з) VIII; и) IX.

Рекомендации к выполнению заданий:

– составьте системы подготовительных задач, продумайте методику их решения;

– используйте дидактические материалы для организации работы по усвоению аксиомы;

– подготовьте методический этюд с презентацией.

4. Подготовьте историческую справку о геометрии Н.И. Лобачевского (к свойству IX).

5. Разработайте методику изучения теоремы:

а) Т_1.1 [3.9, с.13]; б) Т_2.2 [3.9, с. 22]; в) Т_2.3 [3.9, с. 23].

6. Разработайте методику решения задачи:

а) № 16 [3.9, с.17]; б) № 20 [3.9, с. 18]; в) № 26 [3.9, с. 18]; г) № 36 [3.9, с. 19]; д) № 18 [3.9, с. 27].

Приложение

А.Д. Александров

О геометрии ^*

Кажется, общепризнано, что наше среднее образова­ние страдает перегрузкой. Но даже постановления, обязывающие преодолеть эту болезнь, не ведут к ра­дикальным результатам. Каждый специалист настаива­ет на том, что без его предмета, без таких-то и таких-то разделов обойтись никак невозможно. Но если спро­сят: почему? – то последует ответ: это невозможно никак, потому что никак невозможно... ибо образова­ние и состоит в наполнении человека знаниями.

Однако, по более глубокому пониманию, цель сред­него образования состоит в том, чтобы дать человеку основные практически нужные знания и развить его личность, развить духовно – в умственном и нравст­венном отношении (последнее и есть самое главное). Поэтому вопрос о нужности любого школьного пред­мета, о необходимости того или иного его раздела сводится к вопросу о его практической надобности и значении в развитии личности. И если этот вопрос поставить всерьез, то выяснится, что кое-что, а то и довольно многое можно исключить из программ без сожаления, а кое-что следовало бы и добавить. Только всерьез поставить и решить этот вопрос для каждого предмета не очень просто; потому его решение и заме­няют простыми уверениями в надобности «своего» предмета.

Понимание того, что практически нужно в данном предмете и что в нем может служить развитию лично­сти, должно определять и содержание предмета, и по­становку его преподавания. В конечном счете, это по­нимание должно служить основой для решения всех вопросов преподавания.

Мы рассмотрим в этом плане курс геометрии, осо­бенно стереометрии, и в первую очередь, с точки зре­ния его роли в развитии личности. Одним из результа­тов нашего рассмотрения будет вывод о том, что из программы стереометрии полезно исключить целых два раздела.

1. Противоречивая сущность геометрии

Особенность геометрии, выделяющая ее не только среди остальных частей математики, но и среди других наук вообще, состоит в том, что в ней самая строгая логика соединена с наглядным представлением. Геомет­рия в своей сущности и есть такое соединение живого воображения и строгой логики, в котором они взаимно организуют и направляют друг друга.

Воображение дает непосредственное видение геометрического факта и подсказывает логике его выражение и доказательство, а логика в свою очередь придает точность воображению и направляет его к созданию картин, обнаруживающих нужные логике связи.

Это, несомненно, так, во всяком случае, для трехмер­ной евклидовой геометрии. Но в источнике и содержа­тельном основании неевклидовой и многомерной гео­метрии тоже лежат наглядные представления, хотя бы обобщенные; без них любой раздел геометрии переста­ет быть собственно геометрией. Но мы будем говорить здесь не о всей геометрии, а о той ее части, которая изучается в школе, и при этом специально о стерео­метрии.

Именно в стереометрии указанная особенность гео­метрии выступает наиболее ярко. Во-первых, потому, что в ней требуется пространственное воображение. Факты планиметрии изображаются на доске и на бума­ге в их подлинном виде (не считая того, что нельзя нарисовать бесконечную прямую без всякой толщины и т. п.). Но факты стереометрии изображаются услов­но и потому не могут быть верно восприняты без до­полнительного пространственного представления. А оно составляет известную трудность, нередко значительную.

Во-вторых, стереометрия изучается в последних классах школы, когда учащиеся должны быть доста­точно развиты для того, чтобы воспринять логику де­дуктивного изложения. Поэтому курс стереометрии можно и следует строить с большей логической после­довательностью и доказательностью, чем курс плани­метрии.

Таким образом, мы с большим правом можем повто­рить о курсе стереометрии то, что было сказано о гео­метрии вообще. Стереометрия и должна быть препода­на в соединении наглядности и логики, как живое пространственное воображение, пронизанное и органи­зованное строгой логикой.

Живое воображение, скорее, ближе искусству, сухая строгая логика – привилегия науки. Они, можно ска­зать, совершенные противоположности («лед и пламень не столь различны меж собой»). Однако геометрия их все же соединяет, и задачи преподавания – соединить их в одном учебном предмете.

Это есть реальное взаимопроникновение, единство противоположностей, противоречие в самой сущности предмета, которое не может быть разрешено иначе, как уничтожением самого предмета, т. е. ликвидацией кур­са геометрии, заменой его чем-то другим. Это противоречие составляет особую трудность, а вместе с этим и особую прелесть геометрии. Трудно сочетать столь противоположные свойства, как живость воображения и строгость мысли, но зато, когда их единство осу­ществляется, достигается большая ясность понимания и радость непосредственного «видения» истины.

В курсе геометрии соединяются еще две противопо­ложности: абстрактная математическая геометрия и реальная геометрия – реальные пространственные от­ношения и свойства тел. Это противоречие выступает уже в тот момент, когда на доске «проводят пря­мую» и говорят: «Проведем прямую через точки А и В...».Но на доске нет точек и невозможно провести прямую: геометрические точки и прямые – это идеаль­ные объекты, они не существуют иначе как в абстракт­ном мышлении, их, в строгом смысле, нельзя даже представить, а можно только мыслить.

Утверждения геометрии высказываются и доказыва­ются для идеальных геометрических объектов, но воспринимаются как утверждения об объектах наглядно представимых и применяются к реальным вещам, в которых идеальные объекты геометрии реализуются нередко очень условно. Стереометрия начинается с то­го, что «через три точки проходит плоскость». Но пока­зать это реально можно лишь с чрезвычайной условностью. «Плоскость» в реальности – это либо «плоский предмет», либо «плоская поверхность» предмета, т. е. не геометрическая плоскость как таковая, тем более бесконечная.

При всей своей абстрактности геометрия возникла из практики и применяется в практике. Поэтому пре­подавание геометрии обязательно должно связывать ее с реальными вещами, с другими дисциплинами, особен­но с физикой (и через приложения, и в иллюстрациях геометрических понятий и утверждений, и в определе­ниях основных понятий).

Например, в действующем курсе геометрии переме­щение определяют как отображение всего пространства или (в планиметрии) – всей плоскости. Но это нелепо. На самом деле перемещают предметы. Соответственно, в курсе геометрии нужно начинать с понятия о пере­мещении фигур как образе реальных перемещений пред­метов с одного места на другое[8]; это отвечает на­глядному представлению и удобно в геометрии (напри­мер, если нужно одновременно переместить две фигуры так, чтобы они покрыли данную точку).

При всем этом связь геометрии с реальностью заклю­чает противоречие – несоответствие реальных вещей геометрическим абстракциям.

Таким образом, преподавание геометрии должно включать три тесно связанных, но вместе с тем и про­тивоположных элемента: логику, наглядное представ­ление, применение к реальным вещам. Этот «треуголь­ник» составляет, можно сказать, душу преподавания геометрии; воображение ближе к реальности, как это и изображено на схеме.

Логика

Воображение Реальность

Задача преподавания геометрии – развить у учащих­ся соответствующие три качества: пространственное воображение, практическое понимание илогическое мышление.

Разумеется, в задачи курса геометрии входит: дать учащимся, как это принято говорить, основные знания и умения в области геометрии. Однако все же глав­ные, глубинные задачи преподавания геометрии заклю­чены в трех указанных элементах, во-первых, ввиду их значения для общего развития, во-вторых, потому, что они уже включают основное из тех знаний, которые должен давать курс геометрии. Поэтому остановимся сначала на этих элементах.

2. Воображение и реальность

Воображение – это прекрасная и могущественная способность человека. Что являет собой, в подавляю­щей части, искусство и техника, как не воплощенное воображение!? Научные идеи и теории также оказыва­ются, в большой мере, его порождениями. Пространст­венное воображение, развитию которого служит геомет­рия, составляет важный компонент в общей способно­сти человека к воображению и имеет существенное значение в ряде отношений.

Оно, разумеется, вообще необходимо человеку для ориентировки в окружающем мире и в развитой фор­ме существенно для многих видов деятельности. Оно нужно квалифицированному рабочему, инженеру, архи­тектору, авиатору, скульптору и т. д.

Вместе с тем развитие пространственного воображе­ния расширяет видение мира, делает его более прост­ранственно выпуклым и содержательным, подобно то­му, что делает стереоскоп с плоскими снимками.

Развитое воображение обогащает внутренний мир че­ловека, давая ему возможность создавать в себе я, созерцать разнообразные картины.

Словом, развитое пространственное воображение – это важный элемент общей культуры. Геометрия, тре­буя воображать геометрические образы в их идеальной точности и логической определенности, дает этим про­странственному воображению утонченность и точность.

Великий архитектор нашего века Ле Корбюзье (1887— 1965) писал:

«Геометрия есть средство, с помощью которого мы воспринимаем среду и выражаем себя. Геометрия — это основа. Кроме того, она является материальным воплощени­ем символов, выражающих все совершенное, возвы­шенное. Она доставляет нам высокое удовлетворение своей математической точностью. Машина идет от геометрии. Следовательно, человек нашей эпохи своими художественными впечатлениями обязан в первую очередь геометрии. После столетия анализа современное искусство и современная мысль рвутся за пределы случайного, и геометрия приводит их к математическому порядку и гармонии. Эта тен­денция усиливается с каждым днем» [9] .

В этих вдохновенных словах геометрия воспета в ее воплощении в реальных вещах, в единстве геометри­ческого образа и его материального осуществления. «Машина идет от геометрии». Вся техника пронизана геометрией и начинается с геометрии, ибо всюду, где нужна малейшая точность размеров и формы, где нужна структурность взаимного расположения частей – там вступает в силу геометрия.

Конструктор, рабочий-изобретатель, инженер пред­ставляют себе сначала примерный вид создаваемой де­тали или конструкции, чертят, уточняют, делают моде­ли; наконец, складывается точное представление, дела­ются рабочие чертежи, и по ним воссоздают прост­ранственный вид предмета, изготовляют его. Так про­исходит взаимодействие пространственного воображе­ния, изображения на чертеже и реального воплощения в модели или в готовом предмете.

В механике и в физике геометрические представле­ния также играют фундаментальную роль уже потому, что движение, процессы происходят в пространстве. Вспомним хотя бы кинематику и геометрическую оп­тику. Вспомним еще строение кристаллов, пространст­венные модели сложных молекул, симметрию живых организмов и др.

О значении пространственных представлений в изоб­разительном искусстве и архитектуре говорить не приходится – оно очевидно. (Отметим, между прочим, что посвященная искусству книга одного из самых выдаю­щихся советских художников – Петрова-Водкина – на­зывается «Пространство Евклида».)

Ученику нужно показать эти реальные связи и воплощения геометрии в жизни, в природе, в искусстве, в технике и науке, чтобы геометрия предстала перед ним не как сухой предмет, подлежащий зубрежке и сдаче на экзамене, а как полное содержания, значения и красоты явление культуры, как наука в ее связях с реальными вещами.

Пространственные представления, геометрическая ин­туиция играют существеннейшую роль вне геометрии и в самой математике. Математический анализ немыслим без геометрических образов, начиная с числовой пря­мой, графиков функций и т. д. Эта роль геометрии ска­залась в нашем веке в создании функционального анализа, занявшего с его основным понятием простран­ства функций центральное место в современной математике. Чтобы не возбудить подозрений в стремлении автора-геометра расхвалить свою науку, сошлюсь на суждение одного нашего выдающегося математика дру­гой специальности: «Пространства функций в большин­стве случаев бесконечномерны, но возможность на­правленно воспитать, а затем применить к ним перво­начально развитую конечномерную (даже трехмерную) интуицию оказалась исключительно плодотворным от­крытием»[10].

Этот пример – формирование громадной области нау­ки по указаниям геометрической интуиции – с большой силой показывает нам ту направляющую роль, какую играет геометрическое воображение в его союзе с логикой. Точно так же должно быть и в школьном преподавании.

Изложение любого элемента курса – будь то аксио­ма, определение, теорема, задача – должно начинаться с наглядной картины, которую учащиеся и должны усвоить в первую очередь. Надо, чтобы ученик пред­ставлял себе, допустим, что такое пирамида, мог опи­сать ее, мог решить касающуюся ее простую задачу. А если при этом он не может безошибочно произнести точного ее определения – в этом еще нет большой беды.

Существенно наглядно-оперативное знание предмета, содержащее наглядные представления и умения пра­вильно ими оперировать. Все представляют себе, что такое стул, и умеют им пользоваться, но, наверное, каждый затруднится произнести сразу, как на экза­мене, определение: «стулом называется...». У математи­ков XVII – XVIII вв. не было точных определений ни функции, ни предела, ни самого переменного х, но они действовали с замечательным успехом (вспомним хотя бы Эйлера).

Педантичное стремление дать каждому понятию словесное определение может вести к тому, что вместо пояснения и уточнения представлений, которые уже есть у учащихся, вместо формирования у них новых ясных понятий им дается нечто трудно представимое или вов­се невообразимое, а лишь выраженное в словесной оболочке – порой такое, что они не могут ни понять правильно, ни применить.

Например, в действующих учебниках дается опреде­ление: направлением называется множество всех сонаправленных лучей. И так как ученикам уже внушили, что множество – это собрание элементов, что оно со­стоит из своих элементов, то выходит, что направление состоит из всех сонаправленных лучей. Интуитивное по­нятие направления, свойственное каждому человеку, заменяется чем-то невообразимым и к тому же совер­шенно бесполезным, поскольку таким понятием на­правления никто, собственно, не пользуется... Сходное положение обнаруживается с понятиями вектора, мно­гогранника и др.

Вряд ли есть что-либо более вредное для духовно­го, умственного и морального развития, чем при­учать человека произносить слова, смысл которых он толком не понимает и при надобности действует не по этим словам, а по другим понятиям.

Однако мы свернули на критику существующих учеб­ников, которая сейчас вовсе не входит в нашу задачу. О них стоило упомянуть лишь затем, чтобы ярче от­тенить значение наглядности и не дать подумать, что, всячески подчеркивая ее значение, мы «ломимся в открытые двери». Вовсе нет! Есть все основания четко выдвинуть и подчеркнуть как первый основной принцип преподавания геометрии: каждый элемент курса геомет­рии должен опираться на возможно более простое и ясное наглядное представление, с такого представления надо начинать и им руководствоваться в изложении.

Соответственно этому изложение следует начинать с наглядной картины – с рисунка на доске, описания, показа модели, примеров.

В стереометрии существенно именно рисовать, чтобы вызвать пространственное представление, пользуясь, например, штриховкой, оттеняющей грани многогранни­ка и т. п. (В этой связи заметим в скобках, что на физико-математических и естественных факультетах пе­дагогических институтов полезно было бы ввести заня­тия по специальному рисованию.)

Вместе с рисунком должно идти разъяснение его пространственного содержания, возбуждающее верное пространственное представление. Одновременно нужно разъяснять также точный геометрический смысл изобра­жаемого – пронизать и организовать наглядное пред­ставление точной логикой. Тут же необходимо, если это не сделано ранее, дать реальные примеры из жизни, из техники и т. п.

Логически организованное представление дает нуж­ную формулировку определения, теоремы или задачи. За этим вступают в действие логические доказатель­ства.

Геометрический метод и состоит в том, что само логическое доказательство или решение задачи направ­ляется наглядным представлением; лучше всего, когда доказательство или решение, можно сказать, видно из наглядной картины. (В старинных индийских сочинени­ях бывало так, что доказательство сводилось к черте­жу, подписанному одним словом «Смотри! »). При про­чих равных условиях следует предпочесть наглядный вывод вычислительному и ради наглядности можно жертвовать логической точностью и обоснованностью. Так, полезно привлекать наглядные соображения непре­рывности, наглядно представляемые движения точек и фигур и другие образы, заимствованные даже из меха­ники и физики («сам» Архимед пользовался механиче­скими соображениями в своих геометрических выводах, хотя, конечно, окончательное оформление их совершал со всей строгостью).

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. Esprit de geometrie и esprit de finesse дух геометрии и дух утонченности
2. I. ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА КУРСА «ФИЛОСОФИЯ»
3. II. ПЕРВЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ШКОЛЫ.
4. V. Удмурты в первые годы советской власти
5. Августовские уроки перекодирования ДНК
6. Актуальность и значимость курса.
7. В какой части Казахстана впервые обнаружены стоянки палеолитического периода?
8. В случае систематического осуществления монополистической деятельности хозяйственным обществом, занимающим доминирующее положение.
9. ВВЕДЕНИЕ. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
10. ВВОД И РЕДАКТИРОВАНИЕ СТРУКТУРЫ КУРСА – Дизайнер курса
11. Возникновение и первые этапы развития речи ребёнка.
12. Вступление на престол Александра III. Первые шаги новой власти