Предел числовой последовательности.

⇐ ПредыдущаяСтр 3 из 4Следующая ⇒

Последовательность - это функция, заданная на множестве натуральных чисел . Число называется пределом последовательности , если для любого положительного числа , как бы мало оно ни было, существует такой номер , что для всех c номерами справедливо неравенство . Неравенство , эквивалентное неравенству , означает, что для любого существует такой номер , что все c номерами расположены между и . Последовательность, предел которой - конечное число , называется сходящейся, и ее предел обозначают . Если изобразить элементы последовательности на плоскости точками с координатами , то неравенства означают, что все точки с номерами расположены между параллельными оси абсцисс прямыми и .

Бесконечно малая последовательность. Последовательность , предел которой равен нулю , называется бесконечно малой.

Бесконечно большая последовательность. Последовательность называетсябесконечно большой, если для любого положительного числа , как бы велико оно ни было, существует такой номер , что для всех с номерами справедливо неравенство , записываем .

Предел функции в точке и на бесконечности.

Предел функции по Коши

Значение называется пределом ( предельным значением ) функции в точке , если для любого наперёд взятого положительного числа найдётся отвечающее ему положительное число такое, что для всех аргументов , удовлетворяющих условию , выполняется неравенство .^[1]

Предел на бесконечности по Коши

· Пусть числовая функция задана на множестве , в котором отыщется сколь угодно большой элемент, то есть для всякого положительного в нём найдётся элемент, лежащий за границами отрезка . В этом случае число называется пределом функции на бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, превышающих по абсолютному значению, справедливо неравенство .

· Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий правее него. В этом случае число называется пределом функции на плюс бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих правее , справедливо неравенство .

· Пусть числовая функция задана на множестве , в котором для любого числа найдётся элемент, лежащий левее него. В этом случае число называется пределом функции на минус бесконечности, если для произвольного положительного числа отыщется отвечающее ему положительное число такое, что для всех точек, лежащих левее , справедливо неравенство .

Первый и второй замечательные пределы.

· Первый замечательный предел:

· Второй замечательный предел:

Непрерывность функции в точке на бесконечности. Теорема о непрерывных функциях.

Определение непрерывности функции в точке.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке , то есть .

Теоремы непрерывности

Теорема 1.
Пусть функция f (x) непрерывна в точке x = a, и C является константой. Тогда функция Сf (x) также непрерывна при x = a.

Теорема 2.
Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные в точке x = a. Тогда сумма этих функций f (x) + g (x) также непрерывна в точке x = a.

Теорема 3.
Предположим, что две функции f (x) и g (x) непрерывны в точке x = a. Тогда произведение этих функцийf (x) g (x) также непрерывно в точке x = a.

Теорема 4.

Даны две функции f (x) и g (x), непрерывные при x = a. Тогда отношение этих функций также непрерывно при x = a при условии, что .

Теорема 5.
Предположим, что функция f (x) является дифференцируемой в точке x = a. Тогда функция f (x) непрерывна в этой точке (т.е. из дифференцируемости следует непрерывность функции в точке; обратное − неверно).

Теорема 6 (Теорема о предельном значении).
Если функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b], то она ограничена сверху и снизу на данном интервале. Другими словами, существуют числа m и M, такие, что

для всех x в интервале [a, b].

Теорема 7 (Теорема о промежуточном значении).
Пусть функция f (x) непрерывна на закрытом и ограниченном интервале [a, b]. Тогда, если c − некоторое число, большее f (a) и меньшее f (b), то существует число x₀, такое, что

Асимптоты графика функции.

Вертикальная

Вертикальная асимптота — прямая вида при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон. Например: