Обратные матрицы. Матричный способ решения системы линейных уравнений.

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 4Следующая ⇒

Обра́ тная ма́ трица — такая матрица A^{− 1}, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

Матричный способ!

Решение.

Найдем элементы союзной матрицы

Таким образом,

Проверка АА^-1= Е. Действительно

Системы линейных алгебраических уравнений с п неизвестными. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными в линейной алгебре — это система уравнений вида

Описание метода

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица называется основной матрицей системы, — столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):

При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных ^[3].

Тогда переменные называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число , где , то рассматриваемая система несовместна, т.е. у неё нет ни одного решения.

Пусть для любых .

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом ( , где — номер строки):

,
где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Понятие вектора на плоскости и в пространстве. Скалярное произведение векторов.

Вектором, как на плоскости, так и в пространстве, называется направленный отрезок, то есть такой отрезок, один из концов которого выделен и называется началом, а другой — концом.

Скалярным произведением векторов и называется произведение их длин на косинус угла между ними:

Совершенно аналогично, как в планиметрии, доказываются следующие утверждения:

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда эти векторы перпендикулярны.
Скалярный квадрат вектора, то есть скалярное произведение его самого на себя, равно квадрату его длины.
Скалярное произведение двух векторов и заданных своими координатами, может быть вычислено по формуле

Векторное произведение векторов.

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

§ длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними

§ вектор ортогонален каждому из векторов и

§ вектор направлен так, что тройка векторов является правой.

Обозначение:

Смешенное произведение векторов.

Сме́ шанное произведе́ ние векторов — скалярное произведение вектора на векторное произведение векторов и :

Если векторы , и заданы своими координатами, то их смешанное произведение вычисляется по формуле

Линейное пространство и линейные операторы. Евклидово пространство.

Линейным пространством L = {a, b, c, …}называется множество, относительно элементов которого определены операции сложения и умножения на число, причем результаты этих операций принадлежат этому же множеству (говорят, что L замкнуто относительно операций сложения и умножения на число): .

(Элементы линейных пространств также будем называть векторами)

Для эти операции удовлетворяют следующим условиям:

1. a + b = b + a (коммутативность сложения).

2. (a + b) + c = a + (b + c) (ассоциативность сложения).

3..

5. 1·а = а.

7. (α + β )а = α а + β а (дистрибутивность).

8. α (а + b) = α a + α b (дистрибутивность).

Евкли́ дово простра́ нство (также Эвкли́ дово простра́ нство ) — в изначальном смысле, пространство, свойства которого описываются аксиомами евклидовой геометрии. В этом случае предполагается, что пространство имеет размерность 3.

⇐ Предыдущая 123 4 Следующая ⇒