Величины и его среднего квадратического отклонения

⇐ ПредыдущаяСтр 2 из 10Следующая ⇒

Предположим, что имеется конечное число независимых измерений некоторой величины: y₁, y₂, …, y_n. Оценить истинное значение измеряемой случайной величины, это значит:

1) указать такую функцию F(y₁, y₂, …, y_n) от результатов измерений, которая дает хорошее приближение к значению Y (такая функция называется точечной оценкой или просто оценкой значения Y);

2) указать границы интервала (F-e, F+e), в который с заданной вероятностью P попадает истинное значение Y (такая оценка e называется доверительной оценкой, вероятность P – доверительной вероятностью или надежностью оценки, интервал (F-e, F+e) – доверительным интервалом, а его границы – доверительными границами). Чтобы обеспечить хорошее приближение к истинному значению Y, его оценка должна обладать указанными ниже свойствами.

1. Несмещенностью: оценка называется несмещенной, если ее теоретическое cреднее значение (математическое ожидание) совпадает со значением Y.

2. Состоятельностью: оценка называется состоятельной, если при неограниченном увеличении числа измерений она стремится к значению Y.

3. Эффективностью: несмещенная оценка называется эффективной, если она имеет наименьшее рассеяние среди всех несмещенных оценок Y по результатам измерений.

Если все измерения случайной величины являются равноточными, то в качестве оценки истинного значения измеряемой величины принимают среднее арифметическое значение результатов измерений,

, (2)

которое отвечает всем трем вышеперечисленным свойствам.

Если средняя квадратическая ошибка заранее неизвестна (что чаще всего бывает в экспериментальных исследованиях, связанных с разработкой математических моделей типа " состав – свойство" и ряда других технических задач), то вместо нее используют величину экспериментальной оценки среднего квадратического отклонения S с указанием в виде индекса символа анализируемой величины: единичного Y_i или среднего результата.

Если по n результатам сначала рассчитывают среднее арифметическое значение измеряемой случайной величины, а затем, используя те же результаты, рассчитывают абсолютные отклонения, то оценку среднего квадратического отклонения единичного результата осуществляют по формуле

, ……………………….… …….(3)

где f – параметр, который называется степенью свободы, связанной с числом измерений соотношением f=n – 1.

Задача № 1. При определении предела прочности бетона при сжатии по трем контрольным образцам были получены следующие единичные результаты в сериях (МПа): 1) 19, 8; 21, 6; 18, 6; 2) 17, 5; 24, 8; 17, 7. Определить, в какой из серий разброс единичных результатов вокруг среднего значения выше.

Квадрат экспериментальной оценки среднего квадратического отклонения измеряемой случайной величины называется экспериментальной оценкой дисперсии. Математическая статистика доказывает, что оценка дисперсии среднего результата будет меньше оценки единичного результата в N раз

. (4)

Для сравнительного анализа больше, чем среднее квадрарическое отклонение и дисперсии опыта, подходит относительная величина – коэффициент вариации измеряемого параметра, %,

. (5)

Задача № 2. Определить, какая из серий определения равновесной влажности древесины имеет меньшую ошибку (по величине коэффициента вариации): серия 1: 9, 8; 7, 6; 8, 4; 8, 7; 10, 1; 9, 1, серия 2: 7, 4; 9, 9; 9, 8; 8, 7; 10, 3; 7, 8.

Задача № 3. По результатам экспериментальных исследований определения средней плотности газобетона (кг/м³): 622; 598; 611; 634; 620; 633; 598; 604; 610; 587; 622; 630 определить влияние количества повторов в серии испытаний (3; 6; 9 или 12) на величину коэффициента вариации и доверительной ошибки среднего значения (абсолютное значение и процент от среднего значения плотности газобетона при q=0.05).

1.4.1. Частный случай определения коэффициента вариации

при приемке бетона по пределу прочности при сжатии

Контроль прочности бетона монолитных и сборных бетонных и железобетонных конструкций проводится в соответствии с требованиями ГОСТ 10180 " Бетоны Методы определения прочности по контрольным образцам" и ГОСТ 18105 " Бетоны Правила контроля прочности".

Определение прочности бетона в партии проводится с целью приемки партии конструкций с учетом характеристик однородности бетона по прочности.

При контроле прочности бетона по образцам при числе единичных значений более 6 среднее квадратическое отклонение прочности бетона рассчитывается по формуле (5).

При меньшем количестве образцов значение S_Ri вычисляется по формуле

, (6)

где W_n –размах единичных значений прочности в контролируемой серии, определяемый как разность между максимальным и минимальным единичными значениями прочности; a – коэффициент, зависящий от количества единичных значений прочности, принимающий при N=2; 3; 4; 5 или 6 соответственно значения 1, 13; 1, 69; 2, 06; 2, 33 и 2, 50

Средний внутрисерийный коэффициент вариации прочности бетона определяется как среднеарифметическое значение коэффициента вариации любых 30 последовательных серий контроля прочности бетона одного класса (марки). В случае, если это значение будет превышать 8 %, необходимо провести внеочередную переаттестацию испытательной лаборатории (изготавливающей контрольные образцы бетона и проводящей их испытание).

Задача № 4. Определить среднее значение внутрисерийного коэффициента вариации отпускной прочности бетона (70 % от марочной) марки М300 на сжатие по результатам испытаний 10 серий (количество серий уменьшено для облегчения расчетов) образцов бетона (округлять до десятой доли значения).

Таблица 1

Прочность бетона на сжатие, МПа

№	Прочность единичных испытаний	№	Прочность единичных испытаний

	18, 6	21, 2	22, 8	17, 6	21, 2	23, 4
	17, 6	18, 4	19, 8	19, 8	20, 1	24, 1
	20, 1	24, 2	22, 8	21, 0	21, 2	24, 6
	24, 6	24, 8	21, 3	24, 8	20, 1	18, 6
	20, 6	22, 4	21, 8	19, 4	18, 7	22, 8

Определение грубых ошибок

Среди повторов опыта могут быть результаты, значительно отличающиеся от других. Если это обстоятельство является результатом появления " грубой" ошибки, то ее можно выявить одним из следующих способов.

Грубая ошибка определяется сравнением табличной величины критерия максимального отклонения R_max (прил. А) с его расчетным значением R_расч:

, (7)

где ½ DY_i _max½ – абсолютное значение максимального отклонения единичного результата измерения от среднего значения.

Если выполняется неравенство R_расч≥ R_max, то результат с максимальным отклонением от среднего значения должен исключаться из анализа. После этого оценка среднего значения должна быть пересмотрена и по необходимости проводится анализ наличия второй и т.д. грубой ошибки в серии оставшихся единичных результатах.

Вторым способом является сравнение табличного значения величины a_т с расчетным значением a_расч, (прил. Б) определяемым по формуле

, (8)

если подозреваемый результат максимальный в серии повторов, или по формуле

, (9)

если подозреваемый результат – минимальный.

Если выполняется неравенство a_расч≥ a_т, то подозреваемый результат является грубой ошибкой.

Рассмотрим работу этих методов на следующем примере.

Упражнение № 1. Определить экспериментальную оценку измеряемой случайной величины (плотности горной породы магнезит), оценки ее среднего квадратического отклонения и дисперсии по следующим результатам единичных испытаний (кг/м³): 3087, 3051, 3025, 3029, 2998, 3042, 3024, 2915, 3031, 3044, 3070, 3087.

Начнем решение этой задачи с оценки наличия грубой ошибки в серии параллельных испытаний. Примем уровень значимости, равный 0, 05.

При использовании критерия максимального отклонения имеем для 12 повторов: =3033, 6; S_Yi=45, 763; R_расч=118, 6/45, 763=2, 59; R_max=2, 39.

Так как 2, 59> 2, 39, то результат 2915 кг/м³ можно квалифицировать как грубую ошибку, и его следует исключить из серии повторов.

По второму способу подозреваемый результат – минимальное значение средней плотности магнезита. Имеем a_расч=(2998 – 2915)/(3087 – 2915)=0, 494. Табличное значение a_т =0, 376 меньше расчетного значения 0, 494. Таким образом и по второму методу результат 2915 кг/м³ является грубой ошибкой. После его исключения из анализа имеем: =3044, 4; S_Yi=27, 743; R_расч=46, 6/27, 74=1, 68; R_max=2, 34. Так как 1, 68< 2, 34, то в оставшихся результатах грубых ошибок нет. Статистические параметры оценки среднего: S_Yi=769, 65; S_Y=8, 36; S_Y²=69, 97; Vp=0, 91 %.

Задача № 5. Определить наличие грубой ошибки в серии определения прочности бетона на сжатие, используя метод оценки по критерию максимального отклонения. Единичные значения прочности (МПа): 41, 8; 44, 7; 31, 6; 41, 7; 40, 8; 42, 9; 43, 5; 39, 7. Проанализировать повторяемость результата при доверительных вероятностях 0, 95 и 0, 99.

Задача № 6. В процессе экспериментальных работ по оптимизации плотности газобетона в серии испытаний из 12 единичных результатов были получены (в порядке их появления) следующие значения (кг/м³): 418; 416; 478; 436; 441; 440; 434; 428; 432; 440; 442; 417. Определить, является ли результат 478 кг/м³ грубой ошибкой (q=0, 95), если для анализа испытаний используется соответственно 3; 6; 9 и 12 результатов.

⇐ Предыдущая 123 4 5 6 7 8 9 10 Следующая ⇒