Некоторые сведения из математики

Стр 1 из 10Следующая ⇒

ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ

Некоторые сведения из математики

Оператор «набла» (оператор Гамильтона) – .

Градиент скалярной величины .

Дивергенция вектора (скалярная величина)

Ротор вектора – =

= .

Теорема Гаусса

Поток вектора , характеризующего какое-либо поле, через произвольную замкнутую поверхность S, мысленно проведённую в этом поле, равен интегралу от дивергенции вектора , взятому по объёму V, ограниченному замкнутой поверхностью S

Теорема Стокса

Циркуляция вектора , характеризующего какое-либо поле, вдоль произвольного замкнутого контура l , мысленно проведённого в этом поле, равна потокуротора вектора через поверхность S , натянутую на контур l.

Лекция 1

ЭЛЕКТРОСТАТИКА

Электрический заряд.

Все тела в природе способны электризоваться, т.е. приобретать электрический заряд.

Наличие электрического заряда проявляется в том, что заряженное тело взаимодействует с другими заряженными телами. Заряды условно различают на положительные и отрицательные. Точечные заряды одного знака отталкиваются, разных знаков – притягиваются друг другом.

Заряд заряженных элементарных частиц (электронов, позитронов и протонов) одинаков по абсолютной величине и представляет собой наименьший встречающийся в природе электрический заряд, называемый элементарным зарядом

Всякий заряд образуется совокупностью элементарных зарядов и является целым кратным е:

q = N^.e

т.е. электрический заряд «квантуется».

Закон сохранения электрического заряда: суммарный заряд электрически изолированной системы не может изменяться.

Этот закон тесно связан с релятивистской инвариантностью заряда т.е. величина заряда не зависит от того движется этот заряд или покоится.

Закон Кулона: сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов, находящихся в вакууме, прямо пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними. Направление силы совпадает с соединяющей заряда прямой

Точечным зарядом называют заряженное тело, размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием от этого тела до других тел, несущих электрический заряд.

сила, действующая на заряд q₁ со стороны заряда q₂ ;

вектор, направленный от q₂ к q₁;

электрическая постоянная, относящаяся к числуфундаментальных физических постоянных . Здесь Ф – – размерность электрической ёмкости фарад.

Энергия взаимодействия системы зарядов.

Для двух точечных зарядов q₁ и q₂, находящихся на расстоянии друг от друга потенциальная энергия их взаимодействия равна .

Для системы, состоящей из N точечных зарядов q₁, q₂, …, q_N энергия взаимодействия всех зарядов равна сумме энергий взаимодействия зарядов, взятых попарно:

Суммирование производится по индексам i и k. Оба индекса пробегают, независимо друг от друга, все значения от 1 до N. Слагаемые, для которых значения индекса i совпадают со значением индекса k, не принимаются во внимание.

потенциал, создаваемый всеми зарядами, кроме q_i в точке, где помещается заряд q_i_.

Принцип суперпозиции полей:

а) Напряжённость поля системы зарядов равна векторной сумме напряжённости полей, которые создавал бы каждый из зарядов системы в отдельности:

;

б) Потенциал поля, создаваемого системой зарядов, равен алгебраической сумме потенциалов, создаваемых каждым из зарядов в отдельности:

Лекция 2

Число линий, пронизывающих элементарную площадку dS , нормаль которой составляет угол α с вектором определяют как . Эту величину называют потоком вектора сквозь площадку dS:

Если имеется некоторая произвольная поверхность S , то поток вектора сквозь неё

Эта величина алгебраическая. В случае замкнутых поверхностей, положительное направление нормали принято выбирать наружу области, охватываемой этими поверхностями (внешняя нормаль).

Теорема Остроградского – Гаусса : поток вектора напряжённости электростатического поля в вакууме сквозь произвольную замкнутую поверхность равен отношению алгебраической суммы электрических зарядов, находящихся внутри этой поверхности, к электрической постоянной .

Если заряды распределены непрерывно с объёмной плотностью , зависящей от координат, то

Где интегрирование производится только по объёму, заключённому внутри замкнутой поверхности S.

Если поле создаётся системой точечных зарядов , то . Тогда

Само поле зависит от конфигурации всех зарядов, а поток сквозь произвольную замкнутую поверхность S определяется только алгебраической суммой зарядов внутри поверхности S.

Лекция 3

Электроёмкость

Лекция 4

Поляризация диэлектрика

Диэлектриками (изоляторами) называют вещества, практически не проводящие электрический ток.

Диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов, находящихся в узлах кристаллической решётки. Сами же молекулы могут быть полярными и неполярными. Полярные молекулы обладают собственным дипольным моментом.

Под действием внешнего электрического поля происходит поляризация диэлектрика. В неполярных молекулах происходит смещение зарядов – положительных ядер атомов по полю, а отрицательных электронных оболочек атомов против поля. Если же диэлектрик состоит из полярных молекул , то при отсутствии внешнего поля их дипольные моменты ориентированы совершенно хаотически (из-за теплового движения). Под действием внешнего поля дипольные моменты ориентируются в пространстве преимущественно в направлении внешнего поля.

В диэлектрических ионных кристаллах типа КСl , NaCl при включении внешнего поля все положительные ионы смещаются по полю, отрицательные – против поля.

Во всех перечисленных случаях включение внешнего электрического поля приводит к возникновению или переориентации дипольных моментов.

В результате поляризации на поверхности диэлектрика, а если диэлектрик неоднородный, то и в его объёме появляются нескомпенсированные заряды, которые называют поляризационными или связанными и обозначают q’; ρ ’; σ ’.

Заряды, которые не входят в состав молекул диэлектрика, называют сторонними или свободными. Они могут находиться как внутри, так и вне диэлектрика.

Пусть напряжённость поля сторонних зарядов;

напряжённость поля связанных зарядов.

Полем в диэлектрике называют величину, являющуюся суперпозицией полей и :

Для количественного описания поляризации диэлектрика естественно взять дипольный момент единицы объёма.

Поляризованностью в данной точке М пространства называют вектор :

, где

физически бесконечно малый объём вокруг точки М, содержащий диполей;

сумма дипольных моментов всех молекул в объёме ;

концентрация молекул;

средний дипольный момент одной молекулы.

В системе СИ поляризованность измеряется в Кл/м².

Как показывает опыт, вектор для большинства диэлектриков линейно зависит от напряжённости поля в диэлектрике. Если диэлектрик изотропный и не слишком велико, то

, где

диэлектрическая восприимчивость вещества (безразмерная величина, характеризующая свойства самого диэлектрика). Всегда .

Для ионных кристаллов, электретов и сегнетоэлектриков зависимость от не является линейной.

Теорема Гаусса для вектора : поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность S равен взятому с обратным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объёме, охватываемом поверхностью S, т.е.

В дифференциальной формеТеорема Гаусса для вектора имеет следующий вид:

Если диэлектрик однородный и внутри него нет сторонних зарядов (ρ = 0) то и ρ ’ = 0

На границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора испытывает разрыв, величина которого зависит от :

Если среда 2 – вакуум, то .

Вектор электрического смещения

Поскольку источниками поля внутри диэлектрика являются все электрические заряды – сторонние и связанные, то теорему Гаусса для поля можно записать так:

Но . Тогда .

Величину, стоящую под интегралом в скобках обозначают буквой и называют вектором электрического смещения или электрической индукцией. Это вспомогательный вектор. В системе СИ Кл/м².

Теорема Гаусса для поля вектора : поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью

В дифференциальной форме

Дивергенция поля вектора равна объёмной плотности стороннего заряда в той же точке.

В тех точках, где дивергенция положительна находятся источники поля , а в тех точках, где она отрицательна, – стоки поля (ρ < 0).

Связь между векторами и

Подставив выражение для изотропных диэлектриков в определение вектора ( ), получаем соотношение

или , где

диэлектрическая проницаемость вещества. Для всех веществ , для вакуума .

Поле вектора наглядно можно изобразить с помощью линий вектора . Источниками и стоками этого вектора являются только сторонние заряды. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора проходят не прерываясь.

В некоторых симметричных случаях (см. дом. Задание №1) поле вектора можно определить, используя только сторонние заряды. Именно для таких случаев вектор является особенно полезным, резко упрощая расчёт.

Лекция 5

Энергия электрического поля

Ранее было определено для энергии взаимодействия системы точечных зарядов

Если заряды распределены непрерывно, то, разлагая систему зарядов на совокупность элементарных зарядов и переходя от суммирования к интегрированию, получаем

, где

потенциал, создаваемый всеми зарядами системы в элементе объёмом .

Аналогично можно записать для распределения заряда на поверхности

Для уединённого проводника , имеющего заряд и потенциал , потенциал можно вынести из под знака интеграла и получить

Для конденсатора

Подставив в выражение формулу для плоского конденсатора , получаем

Если поле неоднородно, то для изотропных диэлектриков

Последнее выражение наводит на мысль, что носителем энергии является само электрическое поле, что на практике подтверждается на примере электромагнитных волн.

Для изотропных диэлектриков можно найти объёмную плотность электрической энергии

Постоянный электрический ток –

– это направленное движение заряженных частиц (электронов или ионов) под действием электрического поля или сторонних сил. Количественной мерой электрического тока служит сила тока , т.е. заряд, переносимый сквозь рассматриваемую поверхность в единицу времени:

(ампер).

Для постоянного тока .

Сила тока является скалярной величиной.

Для детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока . Модуль этого вектора – , где – сила тока через элементарную площадку , расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей тока.

Если объёмные плотности положительного и отрицательного зарядов-носителей, а скорости их упорядоченного движения, то

В проводниках носителями тока являются электроны

, где

п – концентрация электронов в проводнике.

Поле вектора можно изобразить графически с помощью линий тока.

Зная распределение вектора плотности тока в каждой точке интересующей нас поверхности , можно найти силу тока через эту поверхность как поток вектора :

Уравнение непрерывности

Выберем в проводящей среде замкнутую поверхность . Интеграл определяет заряд, выходящий из объёма , охватываемого поверхностью в единицу времени:

Это соотношение называют уравнением непрерывности (или уравнением неразрывности). Знак « – » показывает, что этот интеграл равен убыли заряда в единицу времени внутри объёма .

В случае постоянного тока распределение зарядов в пространстве должно оставаться неизменным, т.е.

И говорят, что для постоянного тока поле вектора не имеет источников.

Закон Ома открытый экспериментально, гласит: сила тока, протекающего по однородному проводнику, пропорциональна разности потенциалов на его концах (напряжению) – U:

, где

R – электрическое сопротивление проводника, Ом.

Для цилиндрического проводника , где удельное электрическое сопротивление, Ом ^.м.

Если в окрестности некоторой точки проводящей среды выделить элементарный цилиндрический объём , и принимая , получаем закон Ома в локальной форме:

, где

удельная электропроводимость среды. См/м (сименс на метр).

Подставив в уравнение непрерывности для постоянного тока, получаем для однородного проводника

По теореме Гаусса . Видно, что избыточный заряд внутри проводника равен нулю. Избыточный заряд может появиться только на поверхности однородного проводника, в местах соприкосновения с другими проводниками, а также там, где проводник имеет неоднородности.

Электрическое поле проводника с током. Т.к. на поверхности проводника выступает избыточный заряд, то существует , а из закона Ома следует наличие , т.е. вектор вблизи поверхности проводника составляет с нормалью к нему угол α отличный от нуля.

Электростатическое поле внутри проводника равно нулю, а электрическое поле стационарных токов существует и внутри проводника с током. Оно также как и электростатическое есть кулоновское поле, однако заряды, его возбуждающие, находятся в движении.

Сторонние силы.

Для обеспечения протекания постоянного электрического тока в замкнутой цепи наряду с участками, где положительные носители тока движутся в сторону уменьшения потенциала , должны иметься участки, на которых перенос положительных носителей происходит в сторону возрастания , т.е. против сил электрического поля. Перенос носителей на этих участках возможен лишь с помощью сторонних сил не электростатического происхождения, которые могут быть вызваны, например, химической и физической неоднородностью проводника (гальванические элементы, аккумуляторы, фотоэлементы) или проводников различной температуры (термоэлементы) и др.

Для количественной характеристики сторонних сил вводят понятие напряжённости поля сторонних сил (вектор численно равный сторонней силе, действующей на единичный положительный заряд). Для неоднородного участка проводящей среды, т.е. для участка цепи, на котором действуют сторонние силы, получаем обобщённый закон Ома в локальной (дифференциальной) форме:

а для провода между точками 1 и 2

или

, где

;

ξ ₁₂ – электродвижущая сила (ЭДС), действующая на данном участке цепи.

Если ЭДС способствует движению положительных носителей тока в выбранном направлении, то ξ ₁₂> 0, если же препятствует, то ξ ₁₂< 0.

Разветвлённые цепи

Первое правило Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю (закон сохранения электрического заряда):

Второе правило Кирхгофа: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраичекой сумме ЭДС, действующей в этом контуре: (закон Ома для совокупности всех участков замкнутого контура):

R_K = ξ _K.

При составлении уравнений по правилам Кирхгофа на практике следует поступать следующим образом:

1). Обозначить стрелками предположительные направления токов, не задумываясь над тем, куда эти стрелки направить. Если в результате вычисления окажется, что какой-то ток положителен, то это значит, что его направление выбрано правильно. Если же ток окажется отрицательным, то его истинное направление противоположно направлению стрелки.

2). Выбрав произвольно замкнутый контур, все его участки следует обойти в одном направлении, например, по часовой стрелке. Если предположительное направление некоторого тока совпадает с выбранным направлением обхода, то соответствующее слагаемое IR в уравнение по 2-ому правилу надо брать со знаком плюс. Если какая-то ЭДС ξ повышает потенциал в направлении обхода, её надобрать со знаком плюс, в противоположном случае – со знаком минус.

Закон Джоуля–Ленца

Однородный участок цепи

Если сила тока в проводнике на участке 1 – 2 равна I, то за время dt через каждое сечение проводника пройдёт заряд .

Совершаемая при переносе этого заряда от сечения 1 к сечению 2 работа сил поля

Если проводник неподвижен и в нём не происходят химические превращения, то эта энергия должна выделяться в форме внутреннеё (тепловой)) энергии.

, где

тепловая мощность.

С учётом закона Ома получаем закон Джоуля–Ленца:

Используя формулы и получаем закон Джоуля–Ленца в локальной (дифференциальной) форме:

удельная тепловая мощность постоянного тока пропорциональна квадрату плотности электрического тока и удельному сопротивлению среды в данной точке.

Если на носители тока действуют только электрические силы, то на основании закона Ома в локальной форме получаем

Неоднородный участок цепи

Если в законе Ома для неоднородного участка цепи каждое слагаемое умножить на силу тока I получаем

ξ , где

тепловая мощность;

Iξ – мощность, развиваемая сторонними силами на данном участке цепи.

Для замкнутой цепи . Получаем

ξ , т.е.

Общее количество джоулевой теплоты, выделяемое за единицу времени в замкнутой цепи, равно мощности только сторонних сил.

В локальной форме для неоднородного участка цепи закон закон Джоуля–Ленца имеет вид

Лекция 6

Магнитное поле в вакууме

Опыт показывает, что сила, действующая на точечный заряд , зависит в общем случае не только от положения этого заряда, но и от его скорости . Соответственно этому силу, действующую на точечный заряд, разделяют на две составляющие – электрическую (она не зависит от движения заряда) и магнитную (она зависит от скорости заряда). Все свойства магнитной силы можно описать, если ввести понятие магнитного поля, которое характеризуется вектором магнитной индукции .

Полная электромагнитная сила, действующая на заряд ( сила Лоренца):

Это выражение является универсальным: оно справедливо как для постоянных, так и для переменных электрических и магнитных полей, при любых значениях скорости заряда.

Выражение для силы Лоренца можно рассматривать как определение электрического и магнитного полей.

Вектор аналогично вектору характеризует силовое действие магнитного поля на движущийся заряд.

Магнитная сила всегда перпендикулярна вектору скорости заряда и потому работы над зарядом не совершает. Это означает, что в постоянном магнитном поле энергия движущейся заряженной частицы всегда остаётся неизменной.

В нерелятивистском приближении сила Лоренца, как и любая другая сила, не зависит от выбора инерциальной системы отсчёта. Вместе с тем магнитная сила меняется при переходе от одной системы отсчёта к другой из-за . Поэтому должна меняться и электрическая составляющая . Следовательно разделение на и зависит от выбора системы отсчёта.

Закон Био – Савара

Этот закон позволяет находить индукцию магнитного поля, создаваемого постоянным электрическим током.

Подставим в выражение для индукции магнитного поля движущегося точечного заряда вместо , где – элементарный объём, объёмная плотность электрического заряда.

Так как , то получаем

Учитываем, что , где – элемент длины провода.

Введя вектор в направлении тока можно записать .

И тогда окончательно получаем закон Био – Савара (иногда называют закон Био – Савара – Лапласа ):

Полное поле в соответствии с принципом суперпозиции получается интегрированием:

или .

Пример 1. Магнитное поле прямого тока , текущего по тонкому прямому проводу бесконечной длины.

В произвольной точке А векторы от всех элементов тока имеют одинаковое направление (от нас).

Из рисунка видно, что и .

Тогда .

Угол для всех элементов бесконечного прямого проводника с током изменяется в пределах от нуля до π.

Интегрируя, получаем

.

Пример 2. Магнитное поле на оси кругового тока.

От всех элементов тока будет образовываться конус векторов , а результирующий вектор в точке А будет направлен по оси Z.

Проекция на ось Z:

Интегрируя по всему круговому витку получаем

Т.к. и , то .

При (в центре витка) .

На большом расстоянии .

Лекция 7

Закон Ампера

Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передаётся проводнику, по которому движутся заряды. В результате магнитное поле действует с определённой силой на сам проводник с током.

, где