ГЛАВА VII. МОДЕЛИ ФИНАНСОВОЙ ЭКОНОМЕТРИКИ

ГЛАВА VII. МОДЕЛИ ФИНАНСОВОЙ ЭКОНОМЕТРИКИ

Модели процессов со скачками вариации

Для описания процессов с редкими скачками вариации, вызванными в основном экстраординарными событиями, обычно используются модели, в которых дополнительно к выражению (7.101) вводится ограничение на вероятность такого скачка в произвольный момент времени t. Обычно предполагается, что р(M[v_t]=M[v_t+1])=a, где a®1. Иногда количество скачков за определенный период времени (например, за год) предполагается постоянным.

Примером такого типа моделей является модель с марковской вариацией. Она формируется на основе следующих предпосылок.

Предположим, что переменная v_t может принимать только два значения s₁и s₂, каждое с вероятностью 1/2, t=1, 2,.... И в каждый момент времени t существует вероятность (1–a), что текущее значение этой переменной может поменяться на альтернативное, т. е. вероятность того, что s₁изменится на s₂и, наоборот, равна (1–a), где a – величина, близкая к 1, a< 1. Обозначим

 

 

где, как и ранее, процессы v_t и u_t независимы, и u_t – строгий белый шум, u_t ~ N(0, 1).

Несложно показать, что процесс х_t обладает нулевой автокорреляционной функцией, начиная с первого коэффициента, т. е. по своим свойствам он близок к белому шуму. В самом деле, в силу независимости процессов u_t и u_t–i, i =1, 2,... имеем

 

 

Вообще говоря, значения дисперсии этого процесса на различных временных отрезках могут различаться между собой. Вместе с тем, заметим, что в общем случае значение безусловной дисперсии процесса х_t определяется следующим выражением:

 

 

Выражение (7.106) можно получить, отталкиваясь от понятия условной дисперсии случайной величины х_t при известных значениях v_t–1, v_t–2,... (D(х_t/v_t–1, v_t–2,...)), величина которой определяется следующим образом:

 

 

Выражение (7.107) было получено с учетом того, что если в момент t–1 случайная переменная v_t–1 была равна s₁, то р(v_t=s₁)=a, а р(v_t =s₂)=1–a и наоборот, если v_t–1 была равна s₂, р(v_t=s₂)=a, а р(v_t=s₁)=1–a .

На основании этого (7.107) можно переписать в следующем виде:

 

D(x_t / v_{t - 1}) =

 

Из выражения (7.108) в частности, вытекает, что условные дисперсии рассматриваемого процесса х_t различаются между собой.

С учетом того, что р(v_t–1=s₁)=р(v_t–1=s₂)=1/2 из (7.108) непосредственно следует выражение (7.106):

 

 

Важной характеристикой, которая позволяет идентифицировать процессы, соответствующие модели (7.101) с редкими скачками вариации, является автокорреляционная функция процесса х_t². В общем случае значение i-го коэффициента автокорреляции r_i(х_t²) определяется следующим образом:

 

 

где

Четвертые моменты переменной х_t, входящие в выражение (7.109), с учетом (7.103) получим для i=1 следующим образом:

 

 

При выводе выражения (7.111) учтено, что

1) коэффициент эксцесса случайной переменной u_t, распределенной по нормальному закону, равен 3. При этом его величина для переменной u_t рассчитывается согласно следующему выражению:

 

поскольку u_t~N(0, 1), то из (7.112) непосредственно следует, что M[u_t ⁴]=3;

2) значение M[v_t⁴] определяется с учетом равновероятных событий v_t=s₁и v_t=s₂ как

 

 

Подставляя все известные моменты случайной величины х_t² в выражение (7.109), после несложных преобразований получим:

 

 

При получении второго коэффициента автокорреляции процесса х_t² – r₂(х_t²) необходимо анализировать различные варианты последовательностей v_t, v_t–1, v_t–2с учетом того, что переменная v_t может принимать только значения s₁ иs₂. Опуская достаточно громоздкие выражения, приведем окончательное выражение этого показателя

 

 

Далее также можно показать, что значение i-го коэффициента автокорреляции процесса х_t² определяется общей формулой

 

 

Из выражений (7.114)–(7.116) непосредственно следует, что при a®1 для коэффициентов автокорреляции любого порядка процесса х_t² справедливо следующее соотношение:

 

 

Из выражений (7.114) и (7.115) непосредственно следует, что

 

 

Значения s₁ иs₂ могут быть определены, например, из уравнений (7.106), (7.110) или (7.111) при рассчитанных для ряда х_t значениях M[х_t²], M[х_t⁴] и M[х_t², х_t–1²].

Как это было показано в главе VI (см. раздел (6.5)), выражение (7.116) позволяет считать процесс х_t² адекватным АРСС(1, 1) с малыми, но медленно спадающими значениями коэффициентов автокорреляции.

Приложения к главе VII (к разделу 7.3)

Вопросы к главе VII

1. Назовите объекты изучения финансовой эконометрики.

2. Что собой представляют первичный и вторичный финансовые рынки?

3. Каковы особенности сбора, обработки и анализа исходной информации?

4. Назовите источники исходной информации.

5. Назовите причины, вызывающие необходимость преобразования финансовых показателей.

6. Каким образом проводится преобразование финансовых показателей?

7. Назовите законы распределения финансовых показателей.

8. Охарактеризуйте гипотезы финансовой эконометрики (гипотезы случайного блуждания: ГСБ-1, ГСБ-2, ГСБ-3.

9. Каким образом проводится тестирование гипотез финансовой эконометрики?

10. Что собой представляет Броуновское движение?

11. Охарактеризуйте методы оценки параметров Броуновского движения.

12. Что такое “арифметическое” и “геометрическое” Броуновское движение?

13. Что собой представляет стохастический дифференциал?

14. Дайте характеристику ИТО-процесса и его основных свойств?

15. Каким образом проводится тестирование процессов с изменяющейся вариацией?

16. Перечислите типы моделей с изменяющейся вариацией и способы ее формализованного представления.

17. Методы оценки параметров моделей с изменяющейся вариацией.

18. Что собой представляют модели с нелинейными математическим ожиданием и дисперсией?

19. Как проводится тестирование нелинейных финансовых процессов?

Упражнения к главе VII

Задание 7.1

В табл. 7.1 представлена информация о курсе акций Ростелекома за период со 2 июня по 19 октября 1999 г.

Таблица 7.1

№	Y(t)	№	Y(t)	№	Y(t)	№	Y(t)	№	Y(t)
	82, 90		83, 20		75, 90		57, 50		69, 00
	82, 90		79, 70		75, 90		62, 20		68, 45
	87, 45		79, 70		78, 98		63, 81		67, 36
	87, 45		79, 40		79, 80		65, 00		64, 56
	87, 39		71, 50		75, 80		64, 50		64, 56
	93, 25		66, 99		74, 00		64, 50		65, 00
	87, 95		61, 50		74, 00		64, 90		65, 00
	94, 20		61, 50		74, 80		64, 90		64, 33
	94, 20		63, 70		74, 80		66, 24		65, 03
	91, 00		63, 70		76, 30		67, 17		67, 10
	91, 00		67, 15		72, 65		66, 53		67, 17
	94, 78		68, 35		69, 57		70, 75		67, 17
	93, 85		67, 50		68, 70		70, 75		67, 90
	91, 98		70, 10		68, 70		70, 42		67, 90
	90, 49		70, 10		68, 95		70, 42		72, 10
	90, 49		73, 00		68, 95		70, 49		72, 69
	86, 50		73, 00		66, 50		69, 20		72, 69
	86, 50		74, 15		63, 86		69, 00		72, 29
	83, 90		81, 80		59, 20		68.00		72, 29
	92, 55		79, 50		59, 35		68, 00		71, 43
	79, 00		74, 60		59, 35		68, 00		71, 43
	83, 20		74, 60		57, 50		68, 00		70, 81

 

Требуется проверить ГСБ-1 (гипотезу случайного блуждания) с помощью теста Коула-Джонса.

Задание 7.2

В табл. 7.2 представлена информация о курсе акций “Аэрофлота” (в USD) за период с 16 мая по 31 октября 1999 г.

Таблица 7.2

Пе-ри-од	Курс	Пе-ри-од	Курс	Пе-ри-од	Курс	Пе-ри-од	Курс	Пе-ри-од	Курс
	1, 74743		1, 72750		1, 8059		1, 67983		1, 62192
	1, 74743		1, 72750		1, 81322		1, 67365		1, 66921
	1, 74586		1, 71873		1, 78395		1, 68067		1, 65418
	1, 74586		1, 71873		1, 72273		1, 67281		1, 63893
	1, 74586		1, 70875		1, 76221		1, 68959		1, 58376
	1, 73391		1, 70736		1, 82840		1, 78445		1, 57432
	1, 71066		1, 66320		1, 76005		1, 78483		1, 56988
	1, 68767		1, 67393		1, 72860		1, 73256		1, 56157
	1, 68767		1, 67590		1, 69081		1, 64623		1, 54331
	1, 68767		1, 67744		1, 56266		1, 59628		1, 50830
	1, 68643		1, 67865		1, 61779		1, 64257		1, 57977
	1, 66069		1, 68037		1, 64890		1, 62110		1, 58464
	1, 76961		1, 68037		1, 68623		1, 64022		1, 54148
	1, 77793		1, 70231		1, 72028		1, 66683		1, 57437
	1, 78085		1, 70533		1, 66088		1, 61148		1, 64615
	1, 79986		1, 70533		1, 64763		1, 57825		1, 64261
	1, 79986		1, 70764		1, 61718		1, 45163		1, 64593
	1, 79986		1, 74827		1, 62044		1, 43571		1, 62085
	1, 79922		1, 75833		1, 61402		1, 39625		1, 62687
	1, 79922		1, 78198		1, 63402		1, 54607		1, 69528
	1, 79922		1, 81418		1, 66084		1, 56413		1, 70047
	1, 79200		1, 81872		1, 76046		1, 56434		1, 73319
	1, 79200		1, 81883		1, 57818		1, 56734		1, 78416
	1, 77238		1, 82585		1, 59254		1, 61169		1, 85672

 

Требуется:

1. Построить и проверить на адекватность модель ARCH(1).

2. Построить и проверить на адекватность модель ARCH(2).

Задание 7.3

В табл. 7.3 представлена динамика курса акций корпорации “Омега”.

Требуется:

1. Построить модель GARCH (1, 1).

2. Проверить ее адекватность с помощью критерия Люнга-Бокса (LB).

Таблица 7.3

Пе-ри-од

Курс

Пе-риод

Курс

Пе-риод

Курс

Пе-ри-од

Курс

Пе-риод

Курс

Пе-риод

Курс

 

Задание 7.4

В табл. 7.4 представлена динамика «премии за риск» (разницы между доходностью акций корпорации “Гамма” и безрисковой доходностью).

Требуется:

1. Оценить параметры модели Е-GARCH (1, 1) и проверить ее качество.

2. Оценить параметры модели GARCH-М и проверить ее качество.

Таблица 7.4

Пе-риод	Премия, %	Пе-риод	Пре-мия, %	Пе-риод	Пре-мия, %	Пе-риод	Премия, %	Пе-риод	Пре-мия, %
	6, 6		4, 5		6, 4		5, 9		5, 5
	6, 6				6, 2				5, 9
	6, 5		5, 5		6, 2		6, 1		5, 9
	6, 6		5, 1		6, 1		5, 9		5, 7
	6, 7		3, 5		6, 1				5, 7
	6, 5		5, 5		6, 2				5, 8
	6, 4		6, 1				5, 9		5, 8
	6, 4		6, 2				5, 9		5, 7
	3, 5		6, 3		6, 1		5, 7		5, 7
			6, 3		5, 9		5, 5		5, 8

 

Первый шаг.

На основании выражения

 

= X × ( X ¢ × X )^–1 × X ¢ × Y ₁, (8.54)

 

определяется матрица расчетных значений эндогенных переменных

Выражение (8.54) учитывает, что уравнение (8.52), на основании которого рассчитываются значение переменной , в векторно-матричной форме принимает следующий вид:

 

= X × c _i = X × ( X ¢ × X )^–1 × X ¢ × у _i ,

где = ( )¢ – вектор-столбец матрицы , c _i=(c_i0, c_i1, …, c_ik)¢ – вектор-столбец коэффициентов уравнения (8.52). В результате для i=2,..., m на основе значений формируется матрица .

Второй шаг.

Заметим, что матрица значений независимых переменных структурной формы модели (8.49) может быть представлена в виде объединения матриц Y ₁ и Х ₁, т. е. [ Y ₁ Х ₁], а вектор коэффициентов – в виде объединения векторов a ₁ и b ₁, т. е.

 

a ₁

b _1.

 

На втором шаге матрица Y ₁ заменяется на матрицу . Таким образом, оценки коэффициентов модели (8.49) согласно МНК определяются на основании следующего выражения:

= {[ Х ₁] ¢ × [ Х ₁] }^-1× [ Х ₁] ¢ × y ₁, (8.55)

 

где y ₁ – вектор-столбец наблюдаемых значений переменной y ₁, состоящей из Т компонент;

[ Х ₁] – матрица значений “независимых” переменных модели (8.49) размера Т´ (т+п).

Матрица [ Х ₁]¢ равна матрице Y ₁ ¢

Х ₁¢ .

 

С учетом правил умножения матриц блочного типа окончательный вид выражения (8.55) может быть записан следующим образом:

a ₁ ^–1 × y ₁

= × . (8.56)

b ₁ Х ₁¢ Х ₁¢ Х ₁ Х ₁¢ × y ₁

 

Заметим, что каждое расчетное значение эндогенной переменной на основании выражений (8.51) и (8.52) можно представить в следующем виде =у_it –и_it, где и_it – значение ошибки i-го уравнения приведенной формы в момент t, i=2,..., m. С использованием значений и_it сформируем матрицу U ₁ размера Т´ (т–1). Поскольку ошибки и_it по предположению по своим свойствам близки к процессу “белого шума” (обычное предположение МНК), то можно ожидать, что временные ряды и и_it, как и ряды х_jt и и_it, будут статистически независимыми. С учетом этого матрица U ₁ удовлетворяет следующему равенству:

× U ₁ =0= Х ₁ ¢ × U ₁ . (8.57)

Используя очевидные равенства = Y ₁– U ₁ и Х ₁¢ × U ₁=0= U ₁¢ × Х ₁ и представление матрицы в форме (8.54), выражение (8.56) можно переписать в следующем виде:

 

a ₁ Y ₁¢ Х × ( Х ¢ × Х ) ^-1× Х ¢ Y ₁ Y ₁¢ Х ₁ ^–1 Y ₁¢ Х × ( Х ¢ × Х ) ^-1× Х ¢ × y ₁

= ×

b ₁ Х ₁¢ Y ₁ Х ₁¢ Х ₁ Х ₁¢ × y ₁ .(8.58)

 

 

В выражении (8.58) учтено, что в соответствии с (8.57)

=( Y ₁ – U ₁) = Y ₁¢ Х × ( Х ¢ × Х ) ^-1× Х ¢ Y ₁, а Х ₁=( Y ₁¢ – U ₁¢ ) Х ₁= Y ₁¢ Х ₁.

С учетом матрицы U ₁ выражение (8.50) можно записать в следующем виде:

y ₁ = × a ₁ + Х ₁× b ₁ +( e ₁ + U ₁× b ₁). (8.59)

В целях упрощения записи обозначим матрицу [ Х ₁] через Z ₁, вектор ( a ₁, b ₁)¢ – через d ₁. C учетом новых обозначений выражение (8.56) можно представить в традиционном виде:

 

d ₁ =( Z ₁¢ × Z ₁)^–1× Z ₁¢ × y ₁

 

и ошибку этого вектора согласно выражениям (2.9), (8.50) и (8.59) как

 

D d ₁ =( Z ₁¢ × Z ₁)^–1× Z ₁¢ × ( e ₁ + U ₁× b ₁). (8.60)

 

Из условия (8.57) следует, что Z ₁¢ × U ₁ =0. В силу этого выражение (8.60) приводится к следующему виду:

 

D d ₁ =( Z ₁¢ × Z ₁)^–1× Z ₁¢ × e ₁.

 

Таким образом, из выражения (8.60) следует, что вопросы определения факта смещения и его величины у оценок коэффициентов структурной формы каждого уравнения системы взаимозависимых эконометрических моделей сводятся к исследованию свойств произведения

Z ₁¢ × e ₁ = × e ₁

Х ₁¢ × e ₁. (8.61)

 

В случае независимости (или отсутствия корреляции в пределе) у экзогенных переменных х_jt, j=0,..., k; и ошибки e_1t можно ожидать, что M[D d ₁]=0 и оценки вектора d ₁, полученные из выражения (8.56), окажутся несмещенными (состоятельными). В самом деле, независимость х_jt, j=0,..., п; п £ k, входящих в структурную форму, и ошибки e_1t непосредственно влечет за собой равенство M[ Х ₁¢ × e ₁]=0.

В случае состоятельности в качестве исходной предпосылки рассматривается равенство

Х ₁¢ × e ₁]=0.

 

Далее, поскольку матрица расчетных значений эндогенных переменных выражается через полную матрицу значений всех экзогенных переменных Х и матрицу оценок коэффициентов приведенной формы c_ij, i=2,..., m; j=0,..., k, которую обозначим через С, согласно следующему выражению:

= Х × С, (8.62)

то произведение × e ₁ можно представить в следующем виде:

× e ₁ = С ¢ × Х ¢ × e ₁ . (8.62)

 

Заметим при этом, что из независимости переменных х_п+1,..., х_k и ошибки e₁ также должно следовать, что M[ С ¢ × Х ¢ × e ₁]= С ¢ × M[ Х ¢ × e ₁]=0. Однако этот теоретический вывод опровергается результатами практических исследований, которые свидетельствуют, что переход от фактических значений у_it к их расчетным значениям – инструментальным переменным путем определения их значений с помощью выражения (8.52), не устраняет смещения в условиях малых выборок (при небольшом количестве измерений).

Вместе с тем, свойство состоятельности оценок коэффициентов структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей при состоятельности оценок коэффициентов ее приведенной формы сохраняется.

На основании выражения (8.61) может быть получена оценка ковариационной матрицы параметров соответствующего уравнения структурной формы системы эконометрических моделей. Напомним, что в соответствии с выражением (2.14) для первого уравнения эта матрица при отсутствии в ряду e ₁ автокорреляционных связей и наличии свойства гомоскедастичности имеет следующий вид:

Cov ( d )=M[( Z ₁¢ × Z ₁)^–1× Z ₁¢ × e ₁ × e ₁¢ × Z ₁× ( Z ₁¢ × Z ₁)^–1]=s_e² × ( Z ₁¢ × Z ₁)^–1 =

=s_e² × × × Х ₁ ^–1

Х ₁¢ × Х ₁¢ × Х ₁ . (8.64)

Выражая значения элементов матрицы через значения экзогенных и эндогенных переменных структурной формы системы (см. выражение (8.58)), Cov ( d ) можно также представить в следующем виде:

Cov ( d ) =s_e² × Y ₁¢ × Х× (Х¢ × Х) ^-1 × Х¢ Y ₁ Y ₁¢ × Х ₁ ^–1

Х ₁¢ × Y ₁ Х ₁¢ × Х ₁ . (8.65)

 

Дисперсия ошибки s_e² оценивается согласно выражению (2.19) следующим образом:

 

s_e² =( y ₁ – Y ₁ × a ₁ – Х ₁ × b ₁)¢ × ( y ₁ – Y ₁ × a ₁ – Х ₁ × b ₁)/(Т– т – п). (8.66)

 

Матрица Cov ( d ), определенная на основании выражений (8.64) и (8.65) является состоятельной оценкой ковариационной матрицы параметров структурной формы системы взаимозависимых эконометрических моделей, в том смысле, что при достаточно большом количестве измерений Т вероятность значительного отклонения ее элементов от истинных значений стремится к нулю.

В заключение данного раздела приведем варианты уравнений отдельных моделей системы взаимозависимых моделей (8.34) (пример 8.3), полученные с использованием обычного и двухшагового МНК.

Уравнения получены для ФРГ с использованием исходных данных за период 1960-1977 гг.

 

 

Уравнение 1.

(1 МНК) у_1t = 23, 10 + 0, 31 у_4t + 0, 51 у_{1, t- 1} + e_1t ;

(2 МНК) у_1t = 22, 81 + 0, 30 у_4t + 0, 53 у_{1, t- 1} + e_1t .

Уравнение 2.

(1 МНК) у_2t = 10, 72 + 0, 0004 у_4t + 0, 79 х_{2, t- 1} + e_2t ;

(2 МНК) у_2t = –16, 84 – 0, 1392 у_4t + 1, 43 х_{2, t- 1} + e_2t .

Уравнение 3.

(1 МНК) у_3t = – 29, 72 + 0, 17 у_4t + 0, 63 у_{3, t- 1} + e_3t ;

(2 МНК) у_3t = – 22, 27 + 0, 13 у_4t + 0, 71 у_{3, t- 1} + e_3t .

 

Представленные варианты уравнений свидетельствуют о различии (порой значительном, как в случае второй модели, описывающей динамику инвестиций) между значениями коэффициентов отдельных моделей системы (8.34), полученных на основе обычного и двухшагового МНК. При этом, вообще говоря, при использованном для построения этих моделей количестве измерений (Т=18) нельзя сказать, что результаты, полученные на основе двухшагового МНК лучше, чем аналогичные результаты, основанные на обычном МНК.

Первые и третьи пары уравнений свидетельствует о наличии различий в оценках их коэффициентов. Если ориентироваться на “теорию”, двухшагового МНК, то данные результаты можно интерпретировать как эмпирическое доказательство того, что этот метод действительно “корректирует” соответствующие оценки, полученные на основе обычного МНК. Однако остается вопрос: в какой степени смещение оценок устранено? Достаточно ли для этого всего 18 измерений, когда теория утверждает, что его “полное” устранение имеет место при Т®¥?

Вторая пара уравнений вообще свидетельствует о принципиальных различиях результатов, полученных с использованием обычного и двухшагового МНК. На это указывают изменения знаков коэффициентов при однотипных переменных. В частности, двухшаговый МНК дает основание считать, что с увеличением национального дохода происходит более значительное изменение структуры инвестиций в сторону увеличения доли частного капитала, по сравнению с результатами обычного МНК. Увеличение национального дохода ведет даже к снижению капитальных вложений в экономику. Иными словами, результаты, полученные на основе двухшагового МНК, заставляют переосмыслить экономические предпосылки модели (8.34).

Укажем еще на один вычислительный аспект, который может воспрепятствовать получению «хороших» оценок коэффициентов структурной формы системы эконометрических моделей с использованием двухшагового МНК и инструментальных переменных, значения которых определяются на основе приведенной формы. Обратим внимание на то, что согласно выражениям (8.52) и (8.54) значения инструментальных переменных , образующие соответcтвующие столбцы матрицы , определяются как линейные комбинации одного и того же множества переменных х_jt, j=1, 2,..., k, значения которых являются элементами матрицы Х ₂.

В такой ситуации, во-первых, при совпадении тенденций хотя бы у двух эндогенных переменных у_lt и у_rt, значения которых образуют соответствующие столбцы матрицы Y ₁, возникает угроза линейной зависимости аналогичных столбцов

матрицы . Такая угроза особенно реальна, если число независимых переменных х_j невелико. Во-вторых, если количество экзогенных переменных в каком-либо уравнении системы приближается к общему числу таких переменных во всей системе и, таким образом, матрицы Х ₁ и Х ₂ совпадают почти или полностью, то можно ожидать, что зависимыми окажутся столбцы и Х ₁.

Вследствие этого, матрица

Y ₁¢ Y ₁¢ Х ₁

Х ₁¢ Х ₁¢ Х ₁

 

из выражения (8.56) окажется плохо обратимой, что повлечет за собой снижение точности оценок коэффициентов структурной формы рассматриваемого уравнения системы эконометрических моделей.

На наш взгляд, избежать подобных трудностей можно путем формирования значений инструментальных переменных не на основе приведенной формы системы эконометрических моделей, а другими альтернативными путями, способами. В самом деле, нашей целью является формирование ряда (в случае первого уравнения системы i=2,..., m), тенденции которого совпадают с тенденциями соответствующей экзогенной переменной у_it, но при этом случайные флюктуации ряда у_it, взаимосвязанные с ошибкой e_it не должны учитываться.

Этого следует добиваться без использования уравнений приведенной формы. Например, инструментальные переменные можно сформировать как линейные комбинации каких-либо факторов, не включенных в систему взаимозависимых эконометрических моделей, в частности, как функции времени. Иными словами, в этом случае для получения их значений следовало бы вместо уравнен<

12345678910Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. V1: 2. Основные этапы становления и развития финансовой системы России
2. V2: 2.1 Становление и развитие финансовой системы России до сер. ХIХ в
3. V6: Нелинейные модели регрессии
4. Абсолютные и относительные показатели финансовой устойчивости предприятия
5. Алмазно-расточный станок модели 2А78
6. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
7. Анализ полученных результатов моделирования.
8. Анализ прибыли и рентабельности и их роль в финансовой
9. Бальный метод выбора наиболее конкурентоспособной модели.
10. Бизнес-модели в медиабизнесе Республики Беларусь
11. В реализации финансовой политики
12. В.1. Ознакомление с системой моделирования MATLAB