Модели процессов с зависимой вариацией

Привязка изменений вариации цен к экстраординарным событиям не выглядит достаточно реалистично, хотя бы по той причине, что такого рода события возникают достаточно редко и они не в полной мере объясняют весь спектр этих изменений. Многие менее значительные события, какая-либо информация также воздействуют на цены, изменяя их пусть и на незначительную величину. Вместе с тем, подобная информация поступает на рынок практически непрерывно и в результате ее наложение может вызвать и достаточно сильные колебания в уровнях цен даже в течение одного дня. Это позволяет считать условную вариацию процесса Y_t случайной величиной, значения которой в моменты t=1, 2,... зависят от некоторых других переменных, отражающих сложившуюся на рынке текущую ситуацию.

В таком случае процесс v_t, отражающий стандартные отклонения в уровне цен, может обладать более широким спектром закономерностей, по сравнению с рассмотренными выше. В научной литературе выдвинут целый ряд гипотез в отношении переменной v_t. Основными из них являются следующие две, отражающие ГСБ-3, t=1, 2,... Первая гипотеза предполагает, что значения v_t представляют собой условное стандартное отклонение, являющееся детерминированной функцией от прошлых значений цен:

 

v_t=f(Y_t–1, Y_t–2,...). (7.118)

 

В качестве примера такой функции может рассматриваться следующее выражение:

 

 

где коэффициенты a ₀ и a₁ являются положительными.

Вторая гипотеза предполагает независимость условного стандартного отклонения от уровня цен, но допускает, что переменная v_t может быть представлена функцией типа уравнения авторегрессии-скользящего среднего

 

v_t=j(v_t–1, v_t–2,..., h_t), (7.120)

 

ставящей ее уровень в момент t в зависимость от ее значений в прошедшие периоды времени и случайной составляющей h_t. Случайную составляющую h_t будем отличать от ошибки e_t, присутствовавшей в моделях цены, хотя их статистические свойства идентичны, h_t~N(0, s_h²), e_t=Y_t–m(t), e_t ~N(0, s_e²).

В отношении переменной u_t будем придерживаться предположения о том, что это – процесс строгого белого шума.

Выражения (7.118) и (7.120) предполагают, что во временных рядах квадратов отклонений цен от их среднего уровня существуют корреляционные взаимосвязи. Модели с такого рода взаимосвязями получили название ARCH-моделей (Autoregressive Conditionally Heteroskedastic models).

Общий вид ARCH-модели, построенной на основе выражения (7.119), может быть представлен следующим уравнением:

 

 

Для k=1 в соответствии с выражением (7.119) получим

 

 

Все коэффициенты a ₀, a ₁,..., a_k в выражениях (7.121) и (7.122) являются неотрицательными*.

Из выражения (7.122), в частности, следует, что условная дисперсия цены в момент t D(Y_t/Y_t–1) при известном значении Y_t–1 определяется как

 

 

Таким образом, согласно (7.123) большие отклонения цен от математического ожидания в день t влекут за собой увеличение дисперсии в ценах следующего периода и, наоборот, уменьшение отклонений влечет за собой снижение величины этой дисперсии.

Из выражения (7.123) также вытекает, что переменные v_t² и u_t–1² не являются статистически независимыми. Это следует из того, что v_t²=D(Y_t /у_t–1) зависит от (Y_t–1–m)² =v_t–1²× u_t–1².

Из выражений (7.121) и (7.122) непосредственно вытекает, что свойства автокорреляционных функций процесса (Y_t–m)² в первом случае должны соответствовать процессу АР(k), а во втором – удовлетворять следующему соотношению r_i(s_t)=a₁ⁱ, где s_t=(Y_t –m)².

Представление стандартного отклонения v_t в виде функции типа (7.120) основано на том, что отклонение цены актива за t-й день торговли от ее среднего уровня может быть представлено в виде суммы приростов цен в ходе торговых сделок, имевших место в этот день

 

 

В выражении (7.124) переменные w_it и N_t являются случайными. Причем w_it означает изменение цены в ходе i-й сделки в течение t-го дня, а N_t выражает общее количество таких сделок.

Предположим, что w_it независимы и одинаково распределены по нормальному закону с нулевым математическим ожиданием и дисперсиейs_w², w_it~N(0, s_w²) и также независимы от переменной N_t. Тогда при фиксированном числе сделок условное стандартизованное отклонение может быть определено как v_t =s_w²

В предположении, что цены не влияют на переменную v_t можно записать*

 

Поскольку , как сумма одинаково распределенных по нормальному закону случайных величин, также имеет нормальное распределение, причем то очевидно, что переменная u_t распределена по стандартизованному нормальному закону, u_t ~N(0, 1). Из построения переменной u_t, t=1, 2,... также вытекает, что распределение ее значений, является одинаковым для всех v_t и переменные u_t, u_t–i являются статистически независимыми между собой и с переменными v_t и v_t–j для всех сдвигов i и j. Иными словами, процесс и_t можно считать по крайней мере белым шумом.

Отметим основные свойства процессов v_t и v_t ². В частности, заметим, что если u_t является белым шумом, то процесс u_t=Y_t –m также является белым шумом в силу условия (7.105). Однако значения s_t=(Y_t –m)²=х_t²× могут коррелировать между собой в случае коррелированности значений переменной v_t² и v_t–i², i=1, 2,.... Это непосредственно следует из определения ковариации и математического ожидания произведения переменных v_t ² и s_t соответственно

 

и

 

При выводе этих выражений учтено, что (см. (7.103)).

Из выражения (7.127) непосредственно вытекает, что

 

 

В частности, при положительной автокорреляции процесса условной вариации v_t² можно показать, что коэффициенты автокорреляции процессов v_t² и s_t удовлетворяют следующему соотношению:

 

Соотношение (7.129) непосредственно вытекает из того, что

 

 

и K_u=3, если u_t ~N(0, 1).

В свою очередь, при получении выражения (7.130) учтено, что

 

 

где K_u – коэффициент эксцесса процесса u_t определяется как

 

 

Для оценки параметров процесса v_t² можно использовать также и характеристики неотрицательного процесса абсолютных отклонений цен от своего среднего уровня z_t=ï Y_t–mï =ï х_tï. Для этого процесса при v_t > 0 получим

 

 

Очевидно, что

 

 

Из определения z_t процесса также вытекает следующая взаимосвязь между его ковариациями и ковариациями процесса v_t:

 

 

Из выражения (7.133) непосредственно следует, что коэффициенты автокорреляции процессов z_t и v_t связаны следующим соотношением:

 

 

Далее, выражая дисперсии через второй начальный момент и математическое ожидание, увидим, что *. Из этого факта вытекает следующее соотношение для коэффициентов автокорреляции процессов z_t и v_t:

 

 

Результаты (7.129) и (7.135) являются достаточно общими в пределах исходного ограничения v_t> 0, t=1, 2,.... Однако на практике выполнение этого ограничения гарантировано не при всех типах распределения v_t. Например, при нормальном распределении v_t~N(M[v_t], s_v²) всегда существует вероятность того, что некоторые значения v_t могут быть отрицательными. Таким образом, функция плотности распределения v_t должна быть определена только на положительной полуоси. Такую функцию плотности имеет, в частности, переменная, логарифм которой распределен по нормальному закону.

Предположим, что ln(v_t)~N(a, b ²), b> 0. В этом случае функция плотности переменной v_t имеет следующий вид:

 

 

Тогда в соответствии с выражениями (7.9) и(7.10) получим, что и поскольку то для всех начальных моментов переменной v_t имеем

 

 

С учетом (7.137), выражая дисперсию через второй начальный момент и математическое ожидание, получим, что

 

 

Далее, принимая во внимание, что для u_t ~N(0, 1) , вместо условий (7.129) и (7.133) получим следующие соотношения для коэффициентов автокорреляции процессов s_t и v_t ², z_t и v_t :

 

Из (7.139), в частности, вытекает, что А(b) монотонно увеличивается с ростом b от значения А(0)=0, до значения А(¥ )=1/3. Аналогично ведет себя и В(b): В(0)=0, В(¥ )=2/p.

Из выражений (7.139) и (7.140) также следует, что коэффициенты автокорреляции r_i (s_t) и r_i (v_t²), r_i (z_t) и r_i(v_t) должны быть одного знака, поскольку А(b) и В(b) являются неотрицательными числами. При этом многочисленные исследования реальных процессов показывают, что в случае стационарных процессов значения r_i(s_t) и r_i(z_t) для первых десяти сдвигов являются положительными. Из этого эмпирического факта следует, что коэффициенты r_i(v_t ²) и r_i(v_t) также являются положительными.

В том случае, если процесс ln(v_t) представлен моделью авторегрессии первого порядка:

 

 

где a – математическое ожидание процесса ln(v_t), ln(v_t)~N(a, b²); h_t ~N(0, s_h²) – ошибка модели, являющаяся процессом белого шума, s_h²=D(b²)× (1–a₁²); a₁=r₁(ln(v_t))– коэффициент модели, то можно показать, что коэффициенты автокорреляции процесса ln(v_t) и коэффициенты автокорреляции процесса v_t связаны следующим соотношением:

 

 

Для процесса v_t², чтобы получить соответствующие выражения для коэффициентов автокорреляции достаточно в правой части (7.142) b ² заменить на 4b ².

Далее, поскольку коэффициенты автокорреляции модели (7.141) равны a₁ⁱ (r_i(ln(v_t ))=a₁ⁱ), то соответствующие коэффициенты процессов s_t и z_t на основании (7.139) и (7.140) будут определяться следующими выражениями:

 

и

 

Выражения (7.143) и (7.144) показывают, что эти коэффициенты с увеличением сдвига монотонно уменьшаются с некоторого значения меньшего 1 до нуля.

 

Дальнейшее направление разработок моделей с изменяющейся зависимой вариацией связывается с подбором более удачной модели для описания динамики переменной v_t в тех случаях, когда количество параметров в авторегрессионных версиях достаточно велико. Напомним, что авторегрессионные версии моделей этой переменной могут быть представлены, например, следующими выражениями:

 

 

Коэффициенты этих и других возможных вариантов моделей такого типа определяются на основе коэффициентов автокорреляции процессов s_t и z_t, t=1, 2,..., значения которых являются неотрицательными, но достаточно небольшими и стремятся к нулю с увеличением сдвига. Как отмечалось в главе VI, при k> 2 относительные погрешности эмпирических коэффициентов автокорреляции могут быть достаточно большими, что повлечет за собой и ошибки коэффициентов модели. В результате построенная модель не будет достаточно точно воспроизводить поведение процесса.

Избежать влияния погрешностей в оценках коэффициентов автокорреляции процессов s_t и z_t на точность представления переменной v_t при больших сдвигах можно на основе использования при ее описании вместо авторегрессионных моделей (АР(k)) моделей более общего класса – авторегрессии-скользящего среднего (АРСС(k, m)) с гораздо меньшим числом параметров. В частности, в главе VI было показано, что добавление к модели авторегрессии первого порядка модели скользящего среднего первого порядка позволяет сформировать модель, по своим свойствам эквивалентную модели авторегрессии достаточно высокого порядка. Такой подход, в частности, предполагает, что вместо модели (7.145) для описания процесса v_t², может быть использована, например, модель следующего вида:

 

 

связывающую текущее значение условной дисперсии с ее предшествующим значением и предшествующим квадратом ошибки , определяемой по отклонению цены актива в момент t–1 от ее математического ожидания.

Модели типа (7.146) в научной литературе получили название GARCH моделей (Generalized Autoregressive Conditionally Heteroskedastic models). Общий вид GARCH модели порядка (k, r) может быть определен следующим выражением:

 

 

Коэффициенты модели (7.147) в общем случае должны быть неотрицательными, чтобы гарантировать выполнение естественного условия v_t²> 0. Это ограничение не совсем удобно обеспечивать при оценке параметров модели (7.147) традиционными методами. Кроме того, в GARCH–моделях условная дисперсия зависит лишь от размера отклонения цены от ее математического ожидания, а не от ее знака. Вместе с тем эмпирические данные (реальные временные ряды цен), свидетельствуют, что их вариация и доходность часто имеют отрицательную корреляцию. Иными словами, с ростом цен активов, обеспечивающим увеличение их доходности, условная вариация ряда Y_t уменьшается, и, наоборот, с уменьшением цен и соответственно снижением доходности – вариация растет. В результате периоды высокой вариации обычно совпадают с периодами спадов на финансовых рынках, а периоды низкой вариации с периодами роста активности на них. Такие закономерности учитываются, например, модификацией GARCH-модели, уравнение которой в общем виде может быть представлено следующим выражением:

 

Согласно модели (7.148) условная дисперсия в момент t является асимметричной функцией от положительных и отрицательных значений ошибки e_t–i=Y_t–i–m_t–i, i=1, 2,..., где m_t–i – условное математическое ожидание в момент t–i. Иными словами, положительные и отрицательные значения ошибки e_t–i оказывают различное влияние на зависимую переменную. Кроме того, использование в модели логарифма дисперсии позволяет не беспокоиться о знаках коэффициентов данной модели.

Дальнейшее развитие ARCH-модели связывается с предположением о существовании зависимости значений у_t от их условной вариации. Класс этих моделей, названный ARCH-М моделями, отражает мнение, что на финансовых рынках покупатели как бы “требуют” компенсации за рискованные вложения. В результате “плата за риск” рассматривается как возрастающая функция от условной вариации цены акции.

Простейший вариант ARCH-М модели, отражающий данное предположение, может быть представлен в следующем виде:

 

 

где условное математическое ожидание цены актива m_t=M_t–1[y_t], в свою очередь, ставится в зависимость от условной вариации ошибки согласно следующему выражению:

 

 

и v_t²является ARCH-процессом:

 

 

В более общем случае условная вариация ошибки может быть представлена в виде GARCH-процесса:

 

 

где, напомним, e_t=у_t–m_t.

Тестирование моделей типа ARCH и GARCH обычно сводится к проверке существования характерных для них эффектов. Для этих целей, как правило, используется так называемый критерий TR², где T – объем выборки и R² – коэффициент детерминации соответствующей модели для квадрата ошибок (например, типа (7.145) и (7.146)). Этот показатель распределен по закону c²с числом степеней свободы равным количеству используемых в модели лаговых переменных e_t–i и v_t–j. Если расчетное значение TR²> c²_*(р_*, n), где р_* – заданный уровень доверительной вероятности и n – число степеней свободы, то гипотеза о присутствии ARCH или GARCH-эффектов принимается, в противном случае она отвергается. Здесь следует отметить, что наличие эффекта в данном случае связывается со значимостью коэффициентов a_i и b_j, i=1, 2,..., k; j=1, 2,..., n; модели, описывающей взаимосвязи между квадратами ошибки. Если TR²> c²_*(р_*, n), то коэффициенты принимаются значимыми, т. е. отличными от нуля (по крайней мере, некоторые из них), и в этом случае допускается наличие эффекта типа ARCH или GARCH (условная дисперсия меняется согласно соответствующей закономерности). В противном случае, т. е. когда TR²£ c²_*(р_*, n), следует принять гипотезу о равенстве нулю всех коэффициентов при лаговых значениях квадрата ошибки, и в этом случае дисперсия должна рассматриваться как постоянная величина.

 

⇐ Предыдущая3456789101112Следующая ⇒

Поделиться:

Популярное:

1. E) Способ взаимосвязанной деятельности педагога и учащихся, при помощи которого достигается усвоение знаний, умений и навыков, развитие познавательных процессов, личных качеств учащихся.
2. V6: Нелинейные модели регрессии
3. Алмазно-расточный станок модели 2А78
4. Анализ моделей - аналогов в разрезе проектируемой модели
5. Анализ полученных результатов моделирования.
6. Бальный метод выбора наиболее конкурентоспособной модели.
7. Безопасность процессов оказания услуг
8. Бизнес-модели в медиабизнесе Республики Беларусь
9. В.1. Ознакомление с системой моделирования MATLAB
10. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ, МАРКОВСКИЕ МОДЕЛИ
11. Взаимосвязь модели AD—AS и кейнсианской модели совокупных доходов и совокупных расходов.
12. Вид 4. «Салонное моделирование ногтей