Методы оценки параметров модели с изменяющейся вариацией

⇐ ПредыдущаяСтр 9 из 21Следующая ⇒

В общем случае определение параметров оценок моделей с изменяющейся вариацией является более сложной проблемой, чем оценка параметров моделей с постоянной вариацией. Дело в том, что эффекты, обусловленные взаимосвязями между квадратами ошибок, приводят к тому, что соотношения между параметрами модели и исходными данными становятся нелинейными и гораздо более сложными, чем в случае традиционных линейных эконометрических моделей. В такой ситуации в аналитическом виде получить решение становится невозможным, и поэтому обычно приходится прибегать к численным методам определения оценок, основанным на итеративных процедурах последовательного приближения.

Вместе с тем, общий подход для формирования уравнений, связывающих значения параметров моделей с изменяющейся вариацией с исходными данными, использует те же принципы, что и в случае моделей с постоянной вариацией. Он также обычно базируется на принципах максимального правдоподобия и минимума суммы квадратов ошибки.

Например, функция максимального правдоподобия для модели с изменяющейся вариацией в общем случае может быть записана в следующем виде:

при ограничениях, определяющих: а) особенности взаимосвязи между значениями процесса у_t и его условным математических ожиданием. Например,

б) особенности взаимосвязи между условными вариациями. Например, в случае GARCH-модели – это:

где, в свою очередь, значение ошибки e_tявляется разностью между фактическим значением процесса в момент t – у_t и его условным математическим ожиданием m_t:

В результате логарифм выражения (7.153), определяемый как

является функцией как параметров модели (7.154), которые в (7.157) скрыты под обозначением m_t, так и параметров у_t, являющихся исходными данными, как это было и раньше в случае линейных моделей с постоянной вариацией. Но, кроме этого, его значение в нашем случае также зависит от параметров a_iи b_j, определяющих взаимосвязи между условными вариациями, i=1, 2,..., k; j=1, 2,..., r.

В результате система уравнений, на основе которой должны быть определены “оптимальные” значения параметров модели с изменяющейся вариацией, должна быть определена на основании дифференцирования правой части выражения (7.157) по параметрам векторов g =(g₀,..., g_п), a =(a₀,..., a_k) и b =(b₁,..., b_r) и приравнивания к нулю соответствующих производных:

¶lnL/¶ g =0;

¶lnL/¶ a =0;

¶lnL/¶ b =0. (7.158)

При этом получение самих дифференциалов осложняется наличием взаимосвязей между разновременными значениями v_t и e_t, что, в свою очередь, значительно усложняет форму уравнений системы (7.158). В результате ее решения, т. е. оптимальные оценки параметров векторов g, a и b могут быть, как это отмечалось выше, определены лишь с помощью достаточно сложных численных методов решения.

Вместе с тем, для некоторых типов представленных здесь моделей методы оценки их параметров могут быть несколько упрощены на основе учета специфических свойств, описываемых ими процессов.

Рассмотрим основные подходы к оценке параметров моделей с изменяющейся вариацией на примере моделей (7.122) и (7.141).

Здесь сразу следует отметить, что в том случае, когда условная вариация v_tпредставляется как функция прошедших значений цен Y_t–i, i=1, 2,..., то исходная информация для получения оценок соответствующих моделей может быть сформирована, например, в виде ряда значений s_t–i=(Y_t–i–m_t–i)², где условное математическое ожидание m_t–i определяется на основании модели, описывающей динамику цен, т. е. временного ряда Y_t, t=1, 2,..., Т.

В моделях типа (7.120) непосредственно сформировать значения v_t, t=1, 2,... не представляется возможным. Вследствие этого параметры соответствующих моделей могут быть получены опосредованно, например, с использованием значений процессов s_tи z_t.

Обозначим, как и в разделе 7.5, s_t=(Y_t–m)². Тогда выражение (7.123) можно переписать в следующем виде:

M[s_t/ s_t–₁]=a₀+ a₁s_t–₁, (7.159)

где M[s_t/s_t–₁] означает условное математическое ожидание переменной s_t при известном значении s_t–₁.

Напомним, что для уравнения авторегрессии первого порядка условное математическое ожидание M[x_t/x_t–₁]=a₀+a₁x_t–₁определяется точно также, как и для переменной s_t. Эквивалентность выражения (7.128) и ассоциированного с ним уравнения авторегрессии первого порядка позволяет непосредственно установить некоторые свойства процесса (7.123), которые могут быть использованы при получении приблизительных оценок параметров a₀ и a₁. В частности, при условии, что дисперсия переменной существует, в соответствии с выражением (6.58) имеем

где r₁(s_t)– первый коэффициент автокорреляции ряда s_t.

Переходя к безусловному математическому ожиданию переменной s_t, на основе выражения (7.159) получим

откуда непосредственно вытекает, что параметр a₀ находится из соотношения

где

Заметим, что аналогичные рассуждения справедливы и в отношении более общей модели (7.121). Ее коэффициенты приблизительно могут быть оценены на основании системы Юла-Уокера (см. выражение (6.50)) для ряда s_t, а коэффициент a₀ найден из соотношения:

Найденные оценки далее могут быть уточнены на основе использования ММП. Заметим, что в общем случае оценке подлежат следующие параметры: m, a₀, a₁,..., a_k. Функция правдоподобия в предположении, что ошибка распределена по нормальному закону может быть представлена в следующем виде:

L_k( a , ) = a , ), (7.163)

где a =(a₀, a₁,..., a_k) – вектор оценок параметров; – оценка математического ожидания;

a , ) =

и I_t–₁={Y₁, Y₂,..., Y_t–₁}.

Натуральный логарифм функции (7.163) равен

ln L_k( a , ) = (7.165)

Максимизируя выражение (7.165) по параметрам , a₀, a₁,..., a_k при условии, что

получим систему нелинейных уравнений, выражающих эти параметры через значения процесса Y_t. Далее, решая эти уравнения, найдем искомые значения , a₀, a₁,..., a_k.

В моделях типа (7.120) сформировать значения ряда v_t, t=1, 2,..., Т, необходимые для оценки коэффициентов моделей с изменяющейся зависимой вариацией, непосредственно не представляется возможным. В такой ситуации иногда удается решить эту проблему, используя данные рядов s_tи z_t. Рассмотрим особенности оценки параметров уравнения типа (7.120) на примере модели (7.141). Заметим, что эта модель имеет три неизвестные параметра: a, b – параметры закона распределения переменной ln(v_t), a₁ – параметр уравнения (7.141). Для нахождения этих параметров отметим основные соотношения, связывающие моменты процессов v_t, z_t и s_t.

Для начала заметим, что в соответствии с выражением (7.132) мы имеем где

Далее – дисперсия процесса v_t.

Используя значения исходного ряда данных цен Y_t, найдем оценки первых моментов для рядов z_t и s_tна основании следующих выражений:

С учетом найденных значений несложно определить оценки математического ожидания и дисперсии процесса v_t.

Для определения оценок параметров распределения случайной переменной lnv_t a и b используем известные выражения для математического ожидания и второго начального момента переменной v_t(см.(7.137)): С учетом этого, дисперсию b² переменной lnv_t получим на основании следующего выражения:

Подставляя в (7.167) вместо моментов m_v, s_v²их оценки из (7.166), получим следующую формулу для определения дисперсии b² через параметры распределения процессов z_t и s_t:

Аналогично, учитывая, что получим формулу для определения значения его оценки в следующем виде:

Для определения параметра модели a₁(7.141) можно воспользоваться следующей процедурой сформированной с учетом известного выражения для параметра процесса АР(1): Отсюда, с использованием, например, выражения (7.144) получим:

Обозначим через g_i = следующее выражение:

Тогда при известных значениях r_i (z_t) и b значение оценки параметра a₁может быть найдено путем минимизации следующей квадратической функции:

Выражение (7.171) представляет собой сумму квадратов отклонений отношений /g_iот единицы. Заметим, что, вообще говоря, значение a₁=g₁, а g₁является функцией от r₁(z_t). Однако определение значения a₁ только по одному значению коэффициента автокорреляции процесса z_t может привести к значительной ошибке. Использование для этих целей ряда таких коэффициентов способствует ее уменьшению.

Последующая процедура действий по восстановлению процесса v_tсостоит в следующем. На основании найденных значений и с помощью модели (7.141) восстанавливается ряд натуральных логарифмов переменной v_t– ln(v_t). При этом при определении lnv₁в качестве значения переменной v₁ может быть использовано среднеквадратическое отклонение , где –дисперсия переменной Y_t.

Далее по ряду ln(v_t) путем потенцирования находится переменная v_t.

Найденная оценка коэффициента a₁ может быть уточнена путем решения систем нелинейных уравнений, вытекающих из ММП, в котором она обычно используется в качестве начального приближения.

Предложенный метод оценки параметров авторегрессионных уравнений относительно ln(v_t) несложно модифицировать и на модели более высоких порядков.

⇐ Предыдущая 4 5 6 7 8910 11 12 13 Следующая ⇒