Архитектура Аудит Военная наука Иностранные языки Медицина Металлургия Метрология
Образование Политология Производство Психология Стандартизация Технологии


Методы оценки параметров модели с изменяющейся вариацией



В общем случае определение параметров оценок моделей с изменяющейся вариацией является более сложной проблемой, чем оценка параметров моделей с постоянной вариацией. Дело в том, что эффекты, обусловленные взаимосвязями между квадратами ошибок, приводят к тому, что соотношения между параметрами модели и исходными данными становятся нелинейными и гораздо более сложными, чем в случае традиционных линейных эконометрических моделей. В такой ситуации в аналитическом виде получить решение становится невозможным, и поэтому обычно приходится прибегать к численным методам определения оценок, основанным на итеративных процедурах последовательного приближения.

Вместе с тем, общий подход для формирования уравнений, связывающих значения параметров моделей с изменяющейся вариацией с исходными данными, использует те же принципы, что и в случае моделей с постоянной вариацией. Он также обычно базируется на принципах максимального правдоподобия и минимума суммы квадратов ошибки.

Например, функция максимального правдоподобия для модели с изменяющейся вариацией в общем случае может быть записана в следующем виде:

 

 

при ограничениях, определяющих: а) особенности взаимосвязи между значениями процесса уt и его условным математических ожиданием. Например,

 

 

б) особенности взаимосвязи между условными вариациями. Например, в случае GARCH-модели – это:

 

 

где, в свою очередь, значение ошибки et является разностью между фактическим значением процесса в момент tуt и его условным математическим ожиданием mt:

 

 

В результате логарифм выражения (7.153), определяемый как

 

 

является функцией как параметров модели (7.154), которые в (7.157) скрыты под обозначением mt, так и параметров уt, являющихся исходными данными, как это было и раньше в случае линейных моделей с постоянной вариацией. Но, кроме этого, его значение в нашем случае также зависит от параметров ai и bj, определяющих взаимосвязи между условными вариациями, i=1, 2,..., k; j=1, 2,..., r.

В результате система уравнений, на основе которой должны быть определены “оптимальные” значения параметров модели с изменяющейся вариацией, должна быть определена на основании дифференцирования правой части выражения (7.157) по параметрам векторов g =(g0,..., gп), a =(a0,..., ak) и b =(b1,..., br) и приравнивания к нулю соответствующих производных:

 

¶lnL/ g =0;

¶lnL/ a =0;

¶lnL/ b =0. (7.158)

 

При этом получение самих дифференциалов осложняется наличием взаимосвязей между разновременными значениями vt и et, что, в свою очередь, значительно усложняет форму уравнений системы (7.158). В результате ее решения, т. е. оптимальные оценки параметров векторов g, a и b могут быть, как это отмечалось выше, определены лишь с помощью достаточно сложных численных методов решения.

Вместе с тем, для некоторых типов представленных здесь моделей методы оценки их параметров могут быть несколько упрощены на основе учета специфических свойств, описываемых ими процессов.

Рассмотрим основные подходы к оценке параметров моделей с изменяющейся вариацией на примере моделей (7.122) и (7.141).

Здесь сразу следует отметить, что в том случае, когда условная вариация vt представляется как функция прошедших значений цен Yt–i, i=1, 2,..., то исходная информация для получения оценок соответствующих моделей может быть сформирована, например, в виде ряда значений st–i=(Yt–imt–i)2, где условное математическое ожидание mt–i определяется на основании модели, описывающей динамику цен, т. е. временного ряда Yt, t=1, 2,..., Т.

В моделях типа (7.120) непосредственно сформировать значения vt, t=1, 2,... не представляется возможным. Вследствие этого параметры соответствующих моделей могут быть получены опосредованно, например, с использованием значений процессов st и zt.

Обозначим, как и в разделе 7.5, st=(Ytm)2. Тогда выражение (7.123) можно переписать в следующем виде:

M[st/ st–1]=a0+ a1st–1, (7.159)

 

где M[st/st–1] означает условное математическое ожидание переменной st при известном значении st–1 .

Напомним, что для уравнения авторегрессии первого порядка условное математическое ожидание M[xt/xt–1]=a0+a1xt–1 определяется точно также, как и для переменной st. Эквивалентность выражения (7.128) и ассоциированного с ним уравнения авторегрессии первого порядка позволяет непосредственно установить некоторые свойства процесса (7.123), которые могут быть использованы при получении приблизительных оценок параметров a0 и a1. В частности, при условии, что дисперсия переменной существует, в соответствии с выражением (6.58) имеем

 

 

где r1(st)– первый коэффициент автокорреляции ряда st .

Переходя к безусловному математическому ожиданию переменной st , на основе выражения (7.159) получим

 

 

откуда непосредственно вытекает, что параметр a0 находится из соотношения

 

 

где

Заметим, что аналогичные рассуждения справедливы и в отношении более общей модели (7.121). Ее коэффициенты приблизительно могут быть оценены на основании системы Юла-Уокера (см. выражение (6.50)) для ряда st, а коэффициент a0 найден из соотношения:

 

 

Найденные оценки далее могут быть уточнены на основе использования ММП. Заметим, что в общем случае оценке подлежат следующие параметры: m, a0, a1,..., ak. Функция правдоподобия в предположении, что ошибка распределена по нормальному закону может быть представлена в следующем виде:

Lk ( a , ) = a , ), (7.163)

 

где a =(a0, a1,..., ak) – вектор оценок параметров; – оценка математического ожидания;

 

a , ) =

и It–1={Y1, Y2,..., Yt–1}.

Натуральный логарифм функции (7.163) равен

 

ln Lk ( a , ) = (7.165)

Максимизируя выражение (7.165) по параметрам , a0, a1,..., ak при условии, что

 

получим систему нелинейных уравнений, выражающих эти параметры через значения процесса Yt. Далее, решая эти уравнения, найдем искомые значения , a0, a1,..., ak.

В моделях типа (7.120) сформировать значения ряда vt, t=1, 2,..., Т, необходимые для оценки коэффициентов моделей с изменяющейся зависимой вариацией, непосредственно не представляется возможным. В такой ситуации иногда удается решить эту проблему, используя данные рядов st и zt. Рассмотрим особенности оценки параметров уравнения типа (7.120) на примере модели (7.141). Заметим, что эта модель имеет три неизвестные параметра: a, b – параметры закона распределения переменной ln(vt), a1 – параметр уравнения (7.141). Для нахождения этих параметров отметим основные соотношения, связывающие моменты процессов vt, zt и st.

Для начала заметим, что в соответствии с выражением (7.132) мы имеем где

Далее – дисперсия процесса vt.

Используя значения исходного ряда данных цен Yt, найдем оценки первых моментов для рядов zt и st на основании следующих выражений:

 

 

С учетом найденных значений несложно определить оценки математического ожидания и дисперсии процесса vt.

 

 

Для определения оценок параметров распределения случайной переменной lnvt a и b используем известные выражения для математического ожидания и второго начального момента переменной vt (см.(7.137)): С учетом этого, дисперсию b2 переменной lnvt получим на основании следующего выражения:

 

 

Подставляя в (7.167) вместо моментов mv, sv2 их оценки из (7.166), получим следующую формулу для определения дисперсии b2 через параметры распределения процессов zt и st:

 

 

Аналогично, учитывая, что получим формулу для определения значения его оценки в следующем виде:

 

Для определения параметра модели a1 (7.141) можно воспользоваться следующей процедурой сформированной с учетом известного выражения для параметра процесса АР(1): Отсюда, с использованием, например, выражения (7.144) получим:

 

 

Обозначим через gi = следующее выражение:

 

 

Тогда при известных значениях ri (zt) и b значение оценки параметра a1 может быть найдено путем минимизации следующей квадратической функции:

 

Выражение (7.171) представляет собой сумму квадратов отклонений отношений /gi от единицы. Заметим, что, вообще говоря, значение a1=g1, а g1 является функцией от r1(zt ). Однако определение значения a1 только по одному значению коэффициента автокорреляции процесса zt может привести к значительной ошибке. Использование для этих целей ряда таких коэффициентов способствует ее уменьшению.

Последующая процедура действий по восстановлению процесса vt состоит в следующем. На основании найденных значений и с помощью модели (7.141) восстанавливается ряд натуральных логарифмов переменной vt – ln(vt ). При этом при определении lnv1 в качестве значения переменной v1 может быть использовано среднеквадратическое отклонение , где –дисперсия переменной Yt.

Далее по ряду ln(vt) путем потенцирования находится переменная vt.

Найденная оценка коэффициента a1 может быть уточнена путем решения систем нелинейных уравнений, вытекающих из ММП, в котором она обычно используется в качестве начального приближения.

Предложенный метод оценки параметров авторегрессионных уравнений относительно ln(vt) несложно модифицировать и на модели более высоких порядков.

 


Поделиться:



Популярное:

Последнее изменение этой страницы: 2016-03-25; Просмотров: 702; Нарушение авторского права страницы


lektsia.com 2007 - 2024 год. Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав! (0.041 с.)
Главная | Случайная страница | Обратная связь